Nội dung

Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ðịnh nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một ñoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác ñịnh trên K ñược gọi là ( ) ( ) ⇒ f ( x ) > f (x ) • ðồng biến trên K nếu với mọi x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 < f x 2 • Nghịch biến trên K nếu với mọi x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 1 2 2. ðiều kiện cần ñể hàm số ñơn ñiệu : Giả sử hàm số f có ñạo hàm trên khoảng I ( ) I thì f ' ( x ) ≤ 0 với mọi x ∈ I • Nếu hàm số f ñồng biến trên khoảng I thì f ' x ≥ 0 với mọi x ∈ I • Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng 3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñơn ñiệu : ðịnh lý 1 : ðịnh lý về giá trị trung bình của phép vi phân (ðịnh lý Lagrange): Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có ñạo hàm trên khoảng a;b thì tồn tại ít nhất một ñiểm c ∈ a;b ( ) () () ( )( sao cho f b − f a = f ' c b − a ( ) ) ðịnh lý 2 : Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một ñoạn , f là hàm số liên tục trên I và có ñạo hàm tại mọi ñiểm trong của I ( tức là ñiểm thuộc I nhưng không phải ñầu mút của I ) .Khi ñó : ( ) Nếu f ' ( x ) < 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f Nếu f ' ( x ) = 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f • Nếu f ' x > 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f ñồng biến trên khoảng I • • nghịch biến trên khoảng I không ñổi trên khoảng I Chú ý : ( ) ( ) ( ) ( ) • Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có ñạo hàm f ' x > 0 trên khoảng a;b thì hàm số f ñồng biến trên a;b  • Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có ñạo hàm f ' x < 0 trên khoảng a;b thì hàm số f nghịch biến trên a;b  5 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số : 1 a ) f x = x 3 − 3x 2 + 8x − 2 3 x 2 − 2x b) f x = x −1 c) f x = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) d) f x = 1 3 1 2 x − x − 2x + 2 3 2 Giải : 1 3 x − 3x 2 + 8x − 2 3 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ( ) a) f x = ( ) Ta có f ' x = x 2 − 6x + 8 ( ) f ' x = 0 ⇔ x = 2, x = 4 Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : x −∞ 2 4 +∞ f' x + 0 − 0 + ( ) f (x ) +∞ −∞ ( ) ( ) ( ) Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng −∞;2 và 4; +∞ , nghịch biến trên khoảng 2; 4 x 2 − 2x b) f x = x −1 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp ℝ \ 1 . ( ) {} ( ) Ta có f ' x = (x − 1) + 1 > 0, x ≠ 1 = ( x − 1) ( x − 1) x 2 − 2x + 2 2 2 2 Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : x −∞ 1 +∞ f' x + + ( ) +∞ ( ) +∞ f x −∞ −∞ 6 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 ( ) ( Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng −∞;1 và 1; +∞ ) ( ) c) f x = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ( ) ( Ta có f ' x = 3x 2 = 6x + 3 = 3 x + 1 ( ) ) 2 ( ) f ' x = 0 ⇔ x = −1 và f ' x > 0 với mọi x ≠ −1 ( ) Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng −∞; −1 và  −1; +∞ nên hàm số ñồng biến trên ℝ . Hoặc ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số : x −∞ −1 +∞ f' x + 0 + ( ) f (x ) +∞ 1 −∞ Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng −∞; −1 và  −1; +∞ nên hàm số ñồng biến trên ℝ . 1 1 d ) f x = x 3 − x 2 − 2x + 2 Tương tự bài a ) 3 2 ( ) ( ) Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số : a ) f x = 2x 3 + 3x 2 + 1 ( ) f (x ) = x b) 4 − 2x 2 − 5 4 2 c) f x = − x 3 + 6x 2 − 9x − 3 3 d) ( ) f (x ) = 2x − x 2 Giải : ( ) a ) f x = 2x 3 + 3x 2 + 1 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có f ' x = 6x 2 + 6x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; 0 ) ⇒ f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1; 0 ) . Ngoài ra : Học sinh có thể giải f ' ( x ) = 0 , tìm ra hai nghiệm x = −1, x = 0 , kẻ bảng biến thiên rồi kết f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x ñồng biến trên mỗi khoảng −∞; −1 và 0; +∞ . luận. 7 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 ( ) b ) f x = x 4 − 2x 2 − 5 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có f ' x = 4x 3 − 4x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) . Ngoài ra : Học sinh có thể giải f ' ( x ) = 0 , tìm ra hai nghiệm x = −1, x = 0, x = 1 , kẻ bảng biến thiên rồi f ' x > 0, x ∈ −1; 0 , 1; +∞ ⇒ f x ñồng biến trên mỗi khoảng −1; 0 và 1; +∞ . kết luận. 4 2 c) f x = − x 3 + 6x 2 − 9x − 3 3 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ( ) ( ) ( Ta có f ' x = −4x 2 + 12x − 9 = − 2x − 3 ) 2 3 3 và f ' x < 0 với mọi x ≠ 2 2  3 Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng  −∞;  và 2  ( ) f' x =0⇔x = ( ) 3   ; +∞  nên hàm số nghịch biến trên ℝ . 2  ( ) d ) f x = 2x − x 2 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên 0;2  . 1−x Ta có f ' x = , x ∈ 0;2 2x − x 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) nghịch ( 0;1) biến trên khoảng (1;2 ) f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñồng biến trên khoảng Hoặc có thể trình bày : ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) nghịch f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñồng biến trên ñoạn 0;1 biến trên ñoạn 1;2  Ví dụ 3: ( ) Chứng minh rằng hàm số f x = 4 − x 2 nghịch biến trên ñoạn 0;2  Giải : ( ) Dễ thấy hàm số ñã cho liên tục trên ñoạn 0;2  và có ñạo hàm f ' x = ( ) x ∈ 0;2 . Do ñó hàm số nghịch biến trên ñoạn 0;2  . 8 −x 4 − x2 < 0 với mọi Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 4: ( ) 2 . Chứng minh rằng hàm số f ( x ) = cos 2x − 2x + 3 nghịch biến trên ℝ . 1. Chứng minh rằng hàm số f x = x 3 + x − cos x − 4 ñồng biến trên ℝ . Giải : 1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ( ) Ta có f ' x = 3x 2 + 1 + sin x ( ) Vì 3x 2 ≥ 0, x ∈ ℝ 1 + sin x ≥ 0, x ∈ ℝ nên f ' x ≥ 0, x ∈ ℝ . Do ñó hàm số ñồng biến trên ℝ . 2 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ( ) ( ) ( ) Ta có f ' x = −2 sin 2x + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ và f ' x = 0 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ x = − π 4 + kπ , k ∈ ℤ  π  π Hàm số nghịch biến trên mỗi ñoạn  − + k π ; − + k + 1 π  , k ∈ ℤ . Do ñó hàm số nghịch biến trên 4  4  ℝ. ( ) Ví dụ 5: ( ) ( Tìm khoảng ñơn ñiệu của hàm số f x = sin x trên khoảng 0;2π ) Giải : ( ) ( ) ( ) Hàm số ñã cho xác ñịnh trên khoảng 0;2π và có ñạo hàm f ' x = cos x , x ∈ 0;2π . 3π 2 2 Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : π 3π x 0 2π 2 2 f' x + 0 − 0 + ( ) ( ) f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = ( ) f (x ) 1 0 π ,x = 0 −1  π   3π   π 3π Hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng  0;  và  ;2π  , nghịch biến trên khoảng  ;  2  2  2 2 9  .  Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 6:  π Chứng minh rằng : sin x + tan x > 2x , ∀x ∈  0;  .  2 Giải :  π Xét hàm số f x = sin x + tan x − 2x liên tục trên nửa khoảng 0;  .Ta có :  2  π 1 1 2 2 cos 2 0, − > + − > ∀ ∈ f ' x = cos x + x x  0;  ⇒ f x là hàm số ñồng biến trên cos2 x cos2 x  2 ( ) ( ) ( )  π  π  π 0;  và f x > f 0 , ∀x ∈  0;  hay sin x + tan x > 2x , ∀x ∈  0;  .  2  2  2 ( ) () ỨNG DỤNG ðẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ðẠI SỐ Ví dụ 1: Giải phương trình : 81sin x + cos x = 10 10 81 * 256 () Giải : ðặt t = sin x ; 0 ≤ t ≤ 1 . 2 81 , t ∈ 0;1 256 5 5 Xét hàm số f (t ) = 81t + (1 − t ) liên tục trên ñoạn  0;1 , ta có: () Khi ñó phương trình * ⇔ 81t + (1 − t ) = 5 5 f '(t ) = 5[81t 4 − (1 − t )4 ],t ∈ 0;1 81t 4 = (1 − t )4 1  f '(t ) = 0 ⇔  ⇔t = 4 t ∈ 0;1  1 4 81 256 1 1 1 π ⇔ sin 2 x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = + k π (k ∈ Z ) . Vậy phương trình có nghiệm t = 4 4 2 6 Lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên ta có: f (t ) ≥ f ( ) = 10 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 2: Giải phương trình : 1. 3x (2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 2. e tan 2 x  π π + cosx=2 ,x ∈  - ;  .  2 2 3. 2003x + 2005x = 4006x + 2 4. 3x = 1 + x + log 3(1 + 2x ) Giải : 1. 3x (2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 (1) ( ) Phương trình (1) ⇔ −3x (2 + (−3x )2 + 3) = (2x + 1)(2 + (2x + 1)2 + 3) (2) ðặt u = −3x , v = 2x + 1, u, v > 0 Phương trình (1) ⇔ u(2 + Xét hàm số f (t ) = 2t + Ta có f '(t ) = 2 + u 2 + 3) = v(2 + v 2 + 3) (3) t 4 + 3t 2 , t > 0 2t 3 + 3t t + 3t 4 ( () ) > 0, ∀t > 0 ⇒ f t ñồng biến trên khoảng 0; +∞ . 2 Khi ñó phương trình (3) ⇔ f (u ) = f (v ) ⇔ u = v ⇔ −3x = 2x + 1 ⇔ x = − Vậy x = − Chú ý : 1 5 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. 5 ( ) Nếu hàm số y = f x luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) thì ( ) ( ) () số nghiệm của phương trình : f x = k sẽ không nhiều hơn một và f x = f y x =y. 2. e tan 2 x  π π + cosx =2 ,x ∈  - ;   2 2 Xét hàm số : f (x ) = e tan2 x  π π + cosx liên tục trên khoảng x ∈  - ;  . Ta có  2 2 11 khi và chỉ khi Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm f '(x ) = 2 tan x . 1 2 e tan Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 2 x cos x tan2 x  tan2x  2e − cos3x   − sin x = sin x   cos3x   ≥ 2 > cos x > 0 Vì 2e Nên dấu của f '(x ) chính là dấu của sin x . Từ ñây ta có f (x ) ≥ f (0) = 2 Vậy phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất x = 0 . 3 3. 2003x + 2005x = 4006x + 2 x x Xét hàm số : f (x ) = 2003 + 2005 − 4006x − 2 x x Ta có: f '(x ) = 2003 ln 2003 + 2005 ln 2005 − 4006 f ''(x ) = 2003x ln2 2003 + 2005x ln2 2005 > 0 ∀x ⇒ f "(x ) = 0 vô nghiệm ( ) ( ) và f ( 0 ) = f (1) = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghiệm x = 0, x = 1 f ' x = 0 có nhiều nhất là một nghiệm . Do ñó phương trình f x = 0 có nhiều nhất là hai nghiệm Chú ý : ( ) • Nếu hàm số y = f x luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) ( ) và hàm số y = g x luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) trên ( ) ( ) D , thì số nghiệm trên D của phương trình f x = g x không nhiều hơn một. ( ) • Nếu hàm số y = f x ) có ñạo hàm ñến cấp n và phương trình f phương trình f (k ) (x ) = 0 có m nghiệm, khi ñó (k −1) (x ) = 0 có nhiều nhất là m + 1 nghiệm 4. 3x = 1 + x + log 3(1 + 2x ) x >− 1 2 Phương trình cho () 1 > 0, t > 0 ⇒ f (t ) là hàm ñồng biến Xét hàm số: f (t ) = t + log 3 t, t > 0 ta có f ' (t ) = 1 + t ln 3 khoảng ( 0; +∞ ) nên phương trình (*) ⇔ f (3x ) = f (1 + 2x ) ⇔ 3x = 2x + 1 ⇔ 3x − 2x − 1 = 0 (* *) ⇔ 3x + x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) ⇔ 3x + log3 3x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) * x x x 2 Xét hàm số: f (x ) = 3 − 2x − 1 ⇒ f '(x ) = 3 ln 3 − 2 ⇒ f "(x ) = 3 ln 3 > 0 12 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 () ⇒ f (x ) = 0 có nhiều nhất là hai nghiệm, và f (0) = f 1 = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghiệm x = 0, x = 1 . Ví dụ 3: Giải phương trình : log 3 ( ) 1 x 2 − 3x + 2 + 2 +   5 3 x −x 2 −1 () =2 * Giải : ðiều kiện x 2 − 3x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 2 ðặt u = x 2 − 3x + 2, u ≥ 0 1−u 2 1 Phương trình * ⇔ log 3 u + 2 +   5 () ( ) 1 2 = 2 ⇔ log 3 u + 2 +   .5u = 2, u ≥ 0 * * 5 ( ) ( ) 1 2 Xét hàm số : f u = log 3 u + 2 +   .5u liên tục trên nửa khoảng 0; +∞ , ta có : 5 ( ) f ' (u ) = ( ) ) 1 1 2 + 5u .ln 5.2u > 0, ∀u ≥ 0 ⇒ f u ñồng biến trên nửa khoảng 0; +∞ và (u + 2)ln 3 5 ( ) () ( ) f 1 = 2 ⇒ u = 1 là nghiệm phương trình * * . Khi ñó  3− 5 x = 2 thoả ñiều kiện. x 2 − 3x + 2 = 1 ⇔ x 2 − 3x + 1 = 0 ⇔   3+ 5 x = 2  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình : 1. 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2)  x 3 + 2x = y ( 1 ) 2.  3  y + 2y = x ( 2 ) x 3 − 3x = y 3 − 3y (1) 3.  6 6 (2) x + y = 1 13 ) Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giải : 1. 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2)  3  − ≤ x ≤ 4 ðiều kiện:  2 .  3  − ≤ x ≤ 4  2 Cách 1: Trừ (1) và (2) ta ñược: 2x + 3 − 4 − x = 2y + 3 − 4 − y (3)  3  2t + 3 − 4 − t , t ∈  − ; 4  , ta có:  2   3  1 1 f / (x ) = + > 0, ∀t ∈  − ; 4  ⇒ (3) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y .  2  2t + 3 2 4 − t Thay x = y vào (1) ,ta ñược: Xét hàm số f (t ) = 2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 x = 3  9 − x ≥ 0   ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔   9x − 38x + 33 = 0  x = 11   9  11  x = 3  x = 9 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  ,  .  y = 3  11   y =  9 Cách 2: 2 Trừ (1) và (2) ta ñược: ( ) ( 2x + 3 − 2y + 3 +  2 ⇔ (x − y )  +  2x + 3 + 2y + 3 Thay x = y vào (1) ,ta ñược: 2x + 3 + ) 4 −y − 4 −x = 0 ⇔ 1 4 −y + (2x + 3) − (2y + 3) 2x + 3 + 2y + 3  = 0 ⇔ x = y .  4 − x  4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 x = 3  9 − x ≥ 0   ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔   9x − 38x + 33 = 0  x = 11   9 2 14 + (4 − y ) − (4 − x ) 4 −y + 4−x =0