Tuyệt Chiêu Hàm Số

pdf
Số trang Tuyệt Chiêu Hàm Số 42 Cỡ tệp Tuyệt Chiêu Hàm Số 603 KB Lượt tải Tuyệt Chiêu Hàm Số 2 Lượt đọc Tuyệt Chiêu Hàm Số 17
Đánh giá Tuyệt Chiêu Hàm Số
4.4 ( 17 lượt)
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Đang xem trước 10 trên tổng 42 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
Chủ đề liên quan

Tài liệu tương tự

Nội dung

Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ðịnh nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một ñoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác ñịnh trên K ñược gọi là ( ) ( ) ⇒ f ( x ) > f (x ) • ðồng biến trên K nếu với mọi x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 < f x 2 • Nghịch biến trên K nếu với mọi x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 1 2 2. ðiều kiện cần ñể hàm số ñơn ñiệu : Giả sử hàm số f có ñạo hàm trên khoảng I ( ) I thì f ' ( x ) ≤ 0 với mọi x ∈ I • Nếu hàm số f ñồng biến trên khoảng I thì f ' x ≥ 0 với mọi x ∈ I • Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng 3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñơn ñiệu : ðịnh lý 1 : ðịnh lý về giá trị trung bình của phép vi phân (ðịnh lý Lagrange): Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có ñạo hàm trên khoảng a;b thì tồn tại ít nhất một ñiểm c ∈ a;b ( ) () () ( )( sao cho f b − f a = f ' c b − a ( ) ) ðịnh lý 2 : Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một ñoạn , f là hàm số liên tục trên I và có ñạo hàm tại mọi ñiểm trong của I ( tức là ñiểm thuộc I nhưng không phải ñầu mút của I ) .Khi ñó : ( ) Nếu f ' ( x ) < 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f Nếu f ' ( x ) = 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f • Nếu f ' x > 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f ñồng biến trên khoảng I • • nghịch biến trên khoảng I không ñổi trên khoảng I Chú ý : ( ) ( ) ( ) ( ) • Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có ñạo hàm f ' x > 0 trên khoảng a;b thì hàm số f ñồng biến trên a;b  • Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có ñạo hàm f ' x < 0 trên khoảng a;b thì hàm số f nghịch biến trên a;b  5 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số : 1 a ) f x = x 3 − 3x 2 + 8x − 2 3 x 2 − 2x b) f x = x −1 c) f x = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) d) f x = 1 3 1 2 x − x − 2x + 2 3 2 Giải : 1 3 x − 3x 2 + 8x − 2 3 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ( ) a) f x = ( ) Ta có f ' x = x 2 − 6x + 8 ( ) f ' x = 0 ⇔ x = 2, x = 4 Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : x −∞ 2 4 +∞ f' x + 0 − 0 + ( ) f (x ) +∞ −∞ ( ) ( ) ( ) Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng −∞;2 và 4; +∞ , nghịch biến trên khoảng 2; 4 x 2 − 2x b) f x = x −1 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp ℝ \ 1 . ( ) {} ( ) Ta có f ' x = (x − 1) + 1 > 0, x ≠ 1 = ( x − 1) ( x − 1) x 2 − 2x + 2 2 2 2 Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : x −∞ 1 +∞ f' x + + ( ) +∞ ( ) +∞ f x −∞ −∞ 6 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 ( ) ( Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng −∞;1 và 1; +∞ ) ( ) c) f x = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ( ) ( Ta có f ' x = 3x 2 = 6x + 3 = 3 x + 1 ( ) ) 2 ( ) f ' x = 0 ⇔ x = −1 và f ' x > 0 với mọi x ≠ −1 ( ) Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng −∞; −1 và  −1; +∞ nên hàm số ñồng biến trên ℝ . Hoặc ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số : x −∞ −1 +∞ f' x + 0 + ( ) f (x ) +∞ 1 −∞ Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng −∞; −1 và  −1; +∞ nên hàm số ñồng biến trên ℝ . 1 1 d ) f x = x 3 − x 2 − 2x + 2 Tương tự bài a ) 3 2 ( ) ( ) Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số : a ) f x = 2x 3 + 3x 2 + 1 ( ) f (x ) = x b) 4 − 2x 2 − 5 4 2 c) f x = − x 3 + 6x 2 − 9x − 3 3 d) ( ) f (x ) = 2x − x 2 Giải : ( ) a ) f x = 2x 3 + 3x 2 + 1 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có f ' x = 6x 2 + 6x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; 0 ) ⇒ f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1; 0 ) . Ngoài ra : Học sinh có thể giải f ' ( x ) = 0 , tìm ra hai nghiệm x = −1, x = 0 , kẻ bảng biến thiên rồi kết f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x ñồng biến trên mỗi khoảng −∞; −1 và 0; +∞ . luận. 7 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 ( ) b ) f x = x 4 − 2x 2 − 5 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có f ' x = 4x 3 − 4x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) . Ngoài ra : Học sinh có thể giải f ' ( x ) = 0 , tìm ra hai nghiệm x = −1, x = 0, x = 1 , kẻ bảng biến thiên rồi f ' x > 0, x ∈ −1; 0 , 1; +∞ ⇒ f x ñồng biến trên mỗi khoảng −1; 0 và 1; +∞ . kết luận. 4 2 c) f x = − x 3 + 6x 2 − 9x − 3 3 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ( ) ( ) ( Ta có f ' x = −4x 2 + 12x − 9 = − 2x − 3 ) 2 3 3 và f ' x < 0 với mọi x ≠ 2 2  3 Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng  −∞;  và 2  ( ) f' x =0⇔x = ( ) 3   ; +∞  nên hàm số nghịch biến trên ℝ . 2  ( ) d ) f x = 2x − x 2 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên 0;2  . 1−x Ta có f ' x = , x ∈ 0;2 2x − x 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) nghịch ( 0;1) biến trên khoảng (1;2 ) f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñồng biến trên khoảng Hoặc có thể trình bày : ( ) ( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ (1;2 ) ⇒ f ( x ) nghịch f ' x > 0, x ∈ 0;1 ⇒ f x ñồng biến trên ñoạn 0;1 biến trên ñoạn 1;2  Ví dụ 3: ( ) Chứng minh rằng hàm số f x = 4 − x 2 nghịch biến trên ñoạn 0;2  Giải : ( ) Dễ thấy hàm số ñã cho liên tục trên ñoạn 0;2  và có ñạo hàm f ' x = ( ) x ∈ 0;2 . Do ñó hàm số nghịch biến trên ñoạn 0;2  . 8 −x 4 − x2 < 0 với mọi Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 4: ( ) 2 . Chứng minh rằng hàm số f ( x ) = cos 2x − 2x + 3 nghịch biến trên ℝ . 1. Chứng minh rằng hàm số f x = x 3 + x − cos x − 4 ñồng biến trên ℝ . Giải : 1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ( ) Ta có f ' x = 3x 2 + 1 + sin x ( ) Vì 3x 2 ≥ 0, x ∈ ℝ 1 + sin x ≥ 0, x ∈ ℝ nên f ' x ≥ 0, x ∈ ℝ . Do ñó hàm số ñồng biến trên ℝ . 2 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ( ) ( ) ( ) Ta có f ' x = −2 sin 2x + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ và f ' x = 0 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ x = − π 4 + kπ , k ∈ ℤ  π  π Hàm số nghịch biến trên mỗi ñoạn  − + k π ; − + k + 1 π  , k ∈ ℤ . Do ñó hàm số nghịch biến trên 4  4  ℝ. ( ) Ví dụ 5: ( ) ( Tìm khoảng ñơn ñiệu của hàm số f x = sin x trên khoảng 0;2π ) Giải : ( ) ( ) ( ) Hàm số ñã cho xác ñịnh trên khoảng 0;2π và có ñạo hàm f ' x = cos x , x ∈ 0;2π . 3π 2 2 Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : π 3π x 0 2π 2 2 f' x + 0 − 0 + ( ) ( ) f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = ( ) f (x ) 1 0 π ,x = 0 −1  π   3π   π 3π Hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng  0;  và  ;2π  , nghịch biến trên khoảng  ;  2  2  2 2 9  .  Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 6:  π Chứng minh rằng : sin x + tan x > 2x , ∀x ∈  0;  .  2 Giải :  π Xét hàm số f x = sin x + tan x − 2x liên tục trên nửa khoảng 0;  .Ta có :  2  π 1 1 2 2 cos 2 0, − > + − > ∀ ∈ f ' x = cos x + x x  0;  ⇒ f x là hàm số ñồng biến trên cos2 x cos2 x  2 ( ) ( ) ( )  π  π  π 0;  và f x > f 0 , ∀x ∈  0;  hay sin x + tan x > 2x , ∀x ∈  0;  .  2  2  2 ( ) () ỨNG DỤNG ðẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ðẠI SỐ Ví dụ 1: Giải phương trình : 81sin x + cos x = 10 10 81 * 256 () Giải : ðặt t = sin x ; 0 ≤ t ≤ 1 . 2 81 , t ∈ 0;1 256 5 5 Xét hàm số f (t ) = 81t + (1 − t ) liên tục trên ñoạn  0;1 , ta có: () Khi ñó phương trình * ⇔ 81t + (1 − t ) = 5 5 f '(t ) = 5[81t 4 − (1 − t )4 ],t ∈ 0;1 81t 4 = (1 − t )4 1  f '(t ) = 0 ⇔  ⇔t = 4 t ∈ 0;1  1 4 81 256 1 1 1 π ⇔ sin 2 x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = + k π (k ∈ Z ) . Vậy phương trình có nghiệm t = 4 4 2 6 Lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên ta có: f (t ) ≥ f ( ) = 10 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Ví dụ 2: Giải phương trình : 1. 3x (2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 2. e tan 2 x  π π + cosx=2 ,x ∈  - ;  .  2 2 3. 2003x + 2005x = 4006x + 2 4. 3x = 1 + x + log 3(1 + 2x ) Giải : 1. 3x (2 + 9x 2 + 3) + (4x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 (1) ( ) Phương trình (1) ⇔ −3x (2 + (−3x )2 + 3) = (2x + 1)(2 + (2x + 1)2 + 3) (2) ðặt u = −3x , v = 2x + 1, u, v > 0 Phương trình (1) ⇔ u(2 + Xét hàm số f (t ) = 2t + Ta có f '(t ) = 2 + u 2 + 3) = v(2 + v 2 + 3) (3) t 4 + 3t 2 , t > 0 2t 3 + 3t t + 3t 4 ( () ) > 0, ∀t > 0 ⇒ f t ñồng biến trên khoảng 0; +∞ . 2 Khi ñó phương trình (3) ⇔ f (u ) = f (v ) ⇔ u = v ⇔ −3x = 2x + 1 ⇔ x = − Vậy x = − Chú ý : 1 5 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. 5 ( ) Nếu hàm số y = f x luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) thì ( ) ( ) () số nghiệm của phương trình : f x = k sẽ không nhiều hơn một và f x = f y x =y. 2. e tan 2 x  π π + cosx =2 ,x ∈  - ;   2 2 Xét hàm số : f (x ) = e tan2 x  π π + cosx liên tục trên khoảng x ∈  - ;  . Ta có  2 2 11 khi và chỉ khi Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm f '(x ) = 2 tan x . 1 2 e tan Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 2 x cos x tan2 x  tan2x  2e − cos3x   − sin x = sin x   cos3x   ≥ 2 > cos x > 0 Vì 2e Nên dấu của f '(x ) chính là dấu của sin x . Từ ñây ta có f (x ) ≥ f (0) = 2 Vậy phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất x = 0 . 3 3. 2003x + 2005x = 4006x + 2 x x Xét hàm số : f (x ) = 2003 + 2005 − 4006x − 2 x x Ta có: f '(x ) = 2003 ln 2003 + 2005 ln 2005 − 4006 f ''(x ) = 2003x ln2 2003 + 2005x ln2 2005 > 0 ∀x ⇒ f "(x ) = 0 vô nghiệm ( ) ( ) và f ( 0 ) = f (1) = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghiệm x = 0, x = 1 f ' x = 0 có nhiều nhất là một nghiệm . Do ñó phương trình f x = 0 có nhiều nhất là hai nghiệm Chú ý : ( ) • Nếu hàm số y = f x luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) ( ) và hàm số y = g x luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) trên ( ) ( ) D , thì số nghiệm trên D của phương trình f x = g x không nhiều hơn một. ( ) • Nếu hàm số y = f x ) có ñạo hàm ñến cấp n và phương trình f phương trình f (k ) (x ) = 0 có m nghiệm, khi ñó (k −1) (x ) = 0 có nhiều nhất là m + 1 nghiệm 4. 3x = 1 + x + log 3(1 + 2x ) x >− 1 2 Phương trình cho () 1 > 0, t > 0 ⇒ f (t ) là hàm ñồng biến Xét hàm số: f (t ) = t + log 3 t, t > 0 ta có f ' (t ) = 1 + t ln 3 khoảng ( 0; +∞ ) nên phương trình (*) ⇔ f (3x ) = f (1 + 2x ) ⇔ 3x = 2x + 1 ⇔ 3x − 2x − 1 = 0 (* *) ⇔ 3x + x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) ⇔ 3x + log3 3x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) * x x x 2 Xét hàm số: f (x ) = 3 − 2x − 1 ⇒ f '(x ) = 3 ln 3 − 2 ⇒ f "(x ) = 3 ln 3 > 0 12 Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 () ⇒ f (x ) = 0 có nhiều nhất là hai nghiệm, và f (0) = f 1 = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghiệm x = 0, x = 1 . Ví dụ 3: Giải phương trình : log 3 ( ) 1 x 2 − 3x + 2 + 2 +   5 3 x −x 2 −1 () =2 * Giải : ðiều kiện x 2 − 3x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 2 ðặt u = x 2 − 3x + 2, u ≥ 0 1−u 2 1 Phương trình * ⇔ log 3 u + 2 +   5 () ( ) 1 2 = 2 ⇔ log 3 u + 2 +   .5u = 2, u ≥ 0 * * 5 ( ) ( ) 1 2 Xét hàm số : f u = log 3 u + 2 +   .5u liên tục trên nửa khoảng 0; +∞ , ta có : 5 ( ) f ' (u ) = ( ) ) 1 1 2 + 5u .ln 5.2u > 0, ∀u ≥ 0 ⇒ f u ñồng biến trên nửa khoảng 0; +∞ và (u + 2)ln 3 5 ( ) () ( ) f 1 = 2 ⇒ u = 1 là nghiệm phương trình * * . Khi ñó  3− 5 x = 2 thoả ñiều kiện. x 2 − 3x + 2 = 1 ⇔ x 2 − 3x + 1 = 0 ⇔   3+ 5 x = 2  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình : 1. 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2)  x 3 + 2x = y ( 1 ) 2.  3  y + 2y = x ( 2 ) x 3 − 3x = y 3 − 3y (1) 3.  6 6 (2) x + y = 1 13 ) Nguyễn Phú Khánh -ðàsốLạt Tính ñơn ñiệu của hàm Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giải : 1. 2x 3 4 y 4 (1) 2y 3 4 x 4 (2)  3  − ≤ x ≤ 4 ðiều kiện:  2 .  3  − ≤ x ≤ 4  2 Cách 1: Trừ (1) và (2) ta ñược: 2x + 3 − 4 − x = 2y + 3 − 4 − y (3)  3  2t + 3 − 4 − t , t ∈  − ; 4  , ta có:  2   3  1 1 f / (x ) = + > 0, ∀t ∈  − ; 4  ⇒ (3) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y .  2  2t + 3 2 4 − t Thay x = y vào (1) ,ta ñược: Xét hàm số f (t ) = 2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 x = 3  9 − x ≥ 0   ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔   9x − 38x + 33 = 0  x = 11   9  11  x = 3  x = 9 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  ,  .  y = 3  11   y =  9 Cách 2: 2 Trừ (1) và (2) ta ñược: ( ) ( 2x + 3 − 2y + 3 +  2 ⇔ (x − y )  +  2x + 3 + 2y + 3 Thay x = y vào (1) ,ta ñược: 2x + 3 + ) 4 −y − 4 −x = 0 ⇔ 1 4 −y + (2x + 3) − (2y + 3) 2x + 3 + 2y + 3  = 0 ⇔ x = y .  4 − x  4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 x = 3  9 − x ≥ 0   ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔   9x − 38x + 33 = 0  x = 11   9 2 14 + (4 − y ) − (4 − x ) 4 −y + 4−x =0
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.