Nội dung

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN www.facebook.com/tilado.toanhoc TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HAY VÀ ĐẶC SẮC (phiên bản 1) Giáo viên : Nguyễn Minh Tiến Hà Nội tháng 12 năm 2014 1 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề bài 01 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (1; 5), điểm B nằm trên đường thẳng (d1 ) : 2x + y + 1 = 0 và chân đường cao hạ đỉnh B xuống đường thẳng AC nằm trên đường thẳng (d2 ) : 2x + y − 8 = 0. Biết điểm M (3; 0) là trung điểm của cạnh BC. Tìm tọa độ các đỉnh B và C của tam giác. Lời giải tham khảo : w .t ila do .e du .v n Gọi điểm B (a; −2a − 1) ∈ (d1 ) Điểm H (b; 8 − 2b) ∈ (d2 ) Ta có M là trung điểm của BC ⇒ C (6 − a; 2a + 1) −−→ −−→ Ta có H ∈ AC nên AH và HC cùng phương −−→ −−→ AH = (b − 1; 3 − 2b) và HC = (6 − a − b; 2a + 2b − 7) −−→ −−→ AH và HC cùng phương ⇒ b−1 3 − 2b = ⇔ a = 11 − 6b 6−a−b 2a + 2b − 7 −−→ −−→ H là chân đường cao hạ từ B xuống AC ⇒ AH⊥BH ⇔ AH.BH = 0 (1) −−→ −−→ −−→ BH = (b − a; 2a − 2b + 9) ⇒ AH.BH = 0 ⇔ (b − 1) (b − a) + (3 − 2b) (2a − 2b + 9) = 0 ⇔ 5b2 − 5ab − 25ab + 7a + 27 = 0 (2) Thay (1) vào (2) ta được 5b2 − 5b (11 − 6b) − 25b + 7 (11 − 6a) + 27 = 0  b=2  2 ⇔ 35b − 122b + 104 = 0 ⇔  52 b= 35 Thay ngược lại ta có điểm B và C cần tìm 45 , đáy lớn CD nằm 2 trên đường thẳng (d) : x − 3y − 3 = 0. Biết hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại điểm I (2; 3). Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ dương. w w Đề bài 02 : Trong hệ tọa độ Oxy hình thang cân ABCD có diện tích bằng Lời giải tham khảo : ABCD là hình thang cân ⇒ tam giác ICD vuông cân tại I Ta có CD = 2d (I; CD) = 2. √ √ |2 − 3.3 − 3| √ = 2 10 ⇒ IC = 20 10 Lấy C (3a + 3; a) ∈ (d) ⇒ IC 2 = (3a + 1)2 + (a − 3)2 = 20 ⇔ a = ±1 ⇒ C (6; 1) −→ Phương trình BD đi qua điểm I và nhận IC làm vtpt ⇒ BD : 2x − y − 1 = 0 D là giao điểm của BD và CD ⇒ D (0; −1) Tổng hợp các bài toán đặc sắc 2 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ⇒ w .t ila do .e du .v n √ 1 Đặt IA = IB = x ⇒ SIAB = x2 ; SIAD = x 5 = SIBC ; SICD = 10 2  √ 5 (tm) x = √ 45 1 ⇒ SABCD = x2 + 2x 5 + 10 = ⇔ √ 2 2 x = −5 5 (loai) −→ −→ DI = 2 ⇒ DI = 2IB IB (∗) Gọi B (b; 2b − 1) ∈ BD từ (∗) ⇒ B (3; 5) Phương trình đường thẳng BC đi qua B và C ⇒ BC : 4x + 3y − 27 = 0. Bài toán giải quyết xong. Đề bài 03 (k2pi Lần 15 - 2014) : Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng AD là (d) : 3x − 4y − 7 = 0. Gọi E là điểm nằm bên trong hình vuông ABCD sao cho \ = 150o . Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm E (2; −4). tam giác EBC cân có BEC w w Lời giải tham khảo : \ = 150o ⇒ tam giác BEC cân tại E Tam giác BEC cân và có BEC Gọi H là hình chiếu của E lên AD ⇒ H là trung điểm của AD và HE = d (E; AD) = 3 Đặt cạnh hình vuông là AB = x \ = 150o ⇒ EBC \ = 15o . Gọi I là trung điểm của BC ⇒ BI = x ; EI = Tam giác BEC cân tại E có BEC 2 x−3 [ = 15o ⇒ tan 15o = EI = 2x − 6 Tam giác BIE vuông tại I có góc EBI BI x Tổng hợp các bài toán đặc sắc 3 www.tilado.edu.vn ⇒2− √ 3= HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ 2x − 6 ⇔x=2 3 x Phương trình đường thẳng EH qua điểm E và vuông góc với AD ⇒ EH : 4x + 3y + 4 = 0 Đường thẳng AB // EH ⇒ AB có dạng (d) : 4x + 3y + α = 0 √ √ |α − 4| = BI = 3 ⇔ α = 4 ± 5 3 5 √ Phương trình đường thẳng AB là (d) : 4x + 3y + 4 ± 5 3 = 0 Ta có d (E, AB) = w .t ila do .e du .v n Bài toán giải quyết xong. Đề bài 04 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B và phân giác kẻ từ C có phương trình lần lượt là (d1 ) : 3x − 4y + 27 = 0; (d2 ) : 4x + 5y − 3 = 0; (d3 ) : x + 2y − 5 = 0. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lời giải tham khảo : → = (3; −4) Ta có AH⊥BC ⇒ BC có vtcp là − u 4 → = (a; b) là vtcp của đường thẳng AC. Ta có CD là phân giác trong góc C Gọi − u 5 w →, − → − → − → ⇒ cos (− u 3 u4 ) = cos (u3 , u5 ) − → = (2; −1) u 3  w b=0 |2a − b| 10  ⇒√ √ = √ √ ⇔ 4 5. 25 5. a2 + b2 b=− a 3 4 → = (3; −4) loại vì trùng với − → Với b = − a ⇒ chọn − u u 5 4 3 → = (1; 0) Với b = 0 ⇒ − u 5 −→ Điểm A ∈ (d1 ) ⇒ A (−1 + 4a; 6 + 3a) và C ∈ (d3 ) ⇒ C (5 − 2c; c) ⇒ AC = (6 − 2c − 4a; c − 3a − 6) → → và − Ta có − u AC cùng phương ⇒ c − 3a − 6 = 0 (1) 5   4a + 4 − 2c 3a + c + 6 M là trung điểm của AC ⇒ M ; . Trung điểm M thuộc (d2 ) 2 2 Tổng hợp các bài toán đặc sắc 4 www.tilado.edu.vn ⇒ 4. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 4a + 4 − 2c 3a + c + 6 + 5. − 3 = 0 ⇔ 31a − 3a + 40 = 0 2 2 (2) Từ (1) và (2) ⇒ a = 1; c = 3 ⇒ A (−5; 3) ; C (−1; 3) Phương trình đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH ⇒ BC : 4x + 3y − 5 = 0 B là giao điểm của BM và BC ⇒ B (2; −1) w .t ila do .e du .v n Bài toán cở  bản : Biếttọa độ 3 đỉnh √ tam giác tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam 5 65 13 và R = giác. Tâm I −3; − . 8 8 Đề bài 05 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB và BC lần lượt là (d1 ) : 7x − y + 17 = 0; (d2 ) : x − 3y − 9 = 0. Viết phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh C của tam giác ABC biết điểm M (2; −1) nằm trên đường thẳng AC. Lời giải tham khảo : → = (7; −1), BC có vtpt là − → = (1; −3) Đường thẳng AB có vtpt là − n n 1 2 → = (a; b) là vtpt của đường thẳng AC Gọi − n 3 10 |a − 3b| →, − → − → − → √ =√ √ Tam giác ABC cân tại A ⇒ cos (− n 1 n2 ) = cos (n2 , n3 ) ⇒ √ 50. 10 10. a2 + b2  a=b ⇔ a2 + 6ab − 7b2 = 0 ⇔  a = −7b → = (7; −1) loại vì cùng phương với − → X Với a = −7b chọn − n n 3 1 → = (1; 1) ⇒ đường thẳng AC : x + y − 1 = 0 X Với a = b chọn − n 3 Tọa độ C là giao điểm của BC và AC ⇒ C (3; −2) w Phương trình đường cao xuất phát từ C là (d) : x + 7y + 11 = 0. w Đề bài 06 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao và đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh A lần lượt là (d1 ) : x − 2y = 0; (d2 ) : x − y + 1 = 0. Biết điểm 180 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam M (1; 0) nằm trên cạnh AB và diện tích tam giác ABC bằng 7 giác ABC. Lời giải tham khảo : Tổng hợp các bài toán đặc sắc 5 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A là giao điểm của (d1 ) và (d2 ) ⇒ tọa độ điểm A (−2; −1) Qua M kẻ đường thẳng ⊥(d2 ) cắt (d2 ) tại I và AC tại N MN qua M và ⊥(d2 ) ⇒ (M N ) : x + y − 1 = 0 I là giao điểm của MN và (d2 ) ⇒ I (0; 1) I là trung điểm của MN ⇒ N (−1; 2) w .t ila do .e du .v n Phương trình đường thẳng (AB) : x − 3y − 1 = 0 và (AC) : 3x − y + 5 = 0 Điểm B ∈ AB ⇒ B (3a + 1; a), điểm C ∈ AC ⇒ C (b; 3b + 5) −−→ −−→ −−→ −−→ Ta có BC⊥AH ⇔ AH⊥BC ⇔ AH.BC = 0 −−→ −−→ AH = (2; 1) ; BC = (b − 3a − 1; 3b + 5 − a) ⇒ 2 (b − 3a − 1) + (3b + 5 − a) = 0 ⇔ 5b − 7a + 3 = 0 (1) q 180 |8b + 14| 1 . (3a + 3)2 + (a + 1)2 = Ta có SABC = d (C, AB) .AB = √ 2 7 10  8 a=  7 Từ (1) và (2) ⇒  thay ngược lại ta có các điểm A, B, C. 22 a=− 7 (2) Bài toán giải quyết xong. Đề bài 07 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AC =  2AB,  phương 1 trình đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình là (d) : 2x − y + 7 = 0, điểm G 0; là trọng 3 tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ bé hơn −2. w w Lời giải tham khảo : \ Gọi M là trung điểm của AC ⇒ AM = M C = AB ⇒ ∆BAM vuông cân tại A ⇒ M BA = 45o Tổng hợp các bài toán đặc sắc 6 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG → là vtpt của đường thẳng (d) ⇒ − → − → Gọi − n 1 √ √ n1 = (2; −1) và n2 = (a; b) là vtpt của đường thẳng BG 2 |2a − b| 2 →, − → ⇒ cos (− n ⇒√ √ = 1 n2 ) = 2 2 2 2 5. a + b  a = 3b  ⇔ 3a2 − 8ab − 3b2 = 0 ⇔  1 a=− b 3 X Với a = − w .t ila do .e du .v n → = (3; 1) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt − → ⇒ BG : 9x + y − 1 = 0 X Với a = 3b chọn − n n 2 2  4   x=− 3 loại do hoành độ điểm B nhỏ hơn −2 B là giao điểm của AB và BG ⇒ 13   y= 3 b → = (1; −3) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt − → ⇒ BG : x − 3y + 1 = 0 chọn − n n 2 2 3 B là giao điểm của AB và BG ⇒ B (−4; −1) ( thỏa mãn ) −−→ 2 −−→ M là trung điểm của AC ⇒ M (3a − 1; a) ∈ BG ta có BG = BM ⇒ M (2; 1) 3 Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm M và vuông góc với AB ⇒ AC : x + 2y − 4 = 0 Tọa độ điểm A là giao điểm AC và AB ⇒ A (−2; 3) ⇒ C (6; −1) Bài toán giải quyết xong. Đề bài08 ( k2pi Lần 14 - 2014) : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm 1 ; 1 . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA và AB tại D, E và F. B 2 Biết điểm D (3; 1) và phương trình đường thẳng EF có phương trình là (d) : y − 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A biết đỉnh A có tung độ không âm. w w Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B và D ⇒ BC : y − 1 = 0 ⇒ BC//EF Do đó tam giác ABC cân tại A và D chính là trung điểm của BC. Phương trình đường thẳng AD đi qua D và vuông góc với BC ⇒ AD : x − 3 = 0 Tổng hợp các bài toán đặc sắc 7 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG    2  a=2 1 2 25 1 9 Điểm E (a; 3) ∈ EF ta có BE = BD ⇒ a − + 22 = ⇔ a− = ⇔ 2 4 2 4 a = −1 X a = 2 ⇒ phương trình AB đi qua điểm B và E ⇒ AB : 4x − 3y + 1 = 0   13 A là giao điểm của AB và AD ⇒ A 3; 3 w .t ila do .e du .v n X a = −1 ⇒ phương trình AB đi qua điểm B và E ⇒ AB : 4x + 3y − 5 = 0   7 A là giao điểm của AB và AD ⇒ A 3; − ( loại) 3   13 Vậy điểm A 3; 3 Đề bài 09 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB điểm A (1; 5), phương trình đường chéo BD là 3x + 4y − 13 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật biết B có hoành độ âm. Lời giải tham khảo : √ Xét tam giác ABD vuông tại A có BD2 = AB 2 + AD2 = 5AB 2 ⇒ BD = AB 5 w Phương trình đường chéo BD có w + 4b| 1 \ = |3a √ ⇒ cos ABD =√ 2 2 5 5. a + b \ = AB = √1 ⇒ cos ABD BD 5 → = (3; 4). Gọi → − vtpt − n n = (a; b) là vtpt của đường thẳng AB 1  11 a=− b  2 ⇔ 4a2 + 24ab + 11b2 = 0 ⇔  1 a=− b 2 11 − b chọn → n = (11; −2) ⇒ đường thẳng AB có phương trình 11x − 2y − 1 = 0 2   3 14 Tọa độ điểm B là giao điểm của AB và BD ⇒ B ; loại do B có hoành độ âm. 5 5 X Với a = − 1 − X Với a = − b chọn → n = (1; −2) ⇒ đường thẳng AB có phương trình x − 2y + 9 = 0 2 Tọa độ điểm B là giao điểm của AB và BD ⇒ B (−1; 4) ( thỏa mãn ) Tổng hợp các bài toán đặc sắc 8 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thẳng AD đi qua điểm A và vuông góc với AB ⇒ AD : 2x + y − 7 = 0 Tọa độ điểm D là giao điểm của AD và BD ⇒ D (3; 1)   5 ⇒ C (1; 0) Trung điểm I của BD có tọa độ I 1; 2 Vậy B (−1; 4) ; D (3; 1) ; C (1; 0) w .t ila do .e du .v n Bài toán giải quyết xong. Đề bài 10 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo BD √
là (d) : x − y = 0. Đường thẳng AB đi qua điểm P 1; 3 , đường thẳng CD đi qua điểm √
Q −2; −2 3 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết độ dài AB = AC và điểm B có hoành độ lớn hơn 1. Lời giải tham khảo : \ = 60o ⇒ ABD \ = 30o Ta có AB = AC ⇒ tam giác ABC đều ⇒ ABC w w → = (1; −1). Giả sử → − Đường thẳng BD có vtpt − n n = (a; b) là vtpt của AB 1 √ √
|a − b| 3 →, → − ⇒ cos (− n = ⇔ a2 + 4ab + b2 = 0 ⇔ a = −2 ± 3 b 1 n) = √ √ 2 2. a2 + b2 √
√
− − X Với a = −2 − 3 b chọn → n = −2 − 3; 1 đường thẳng AB đi qua điểm P và có vtpt → n ⇒ √
AB : 2 + 3 x − y − 2 = 0   2 2 √ ; √ Tọa độ điểm B là giao điểm của AB và BD ⇒ B loại do xB > 1 1+ 3 1+ 3 √
√
− − X Với a = −2 + 3 b chọn → n = −2 + 3; 1 đường thẳng AB đi qua điểm P và có vtpt → n ⇒ √
√ AB : 2 − 3 x − y − 2 + 2 3 = 0 Tọa độ điểm B là giao điểm của AB và BD ⇒ B (2; 2) thỏa mãn √
√ Ta có CD // AB và CD đi qua điểm Q ⇒ CD : 2 − 3 x − y + 4 − 4 3 = 0 Tọa độ điểm D là giao điểm của BD và CD ⇒ D (−4; −4) ⇒ tọa độ tâm k của hình thoi là trung điểm của BD ⇒ K (−1; −1) Tổng hợp các bài toán đặc sắc 9 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường chéo AC đi qua điểm K và vuông góc với BD ⇒ AC : x + y + 2 = 0 Tọa độ điểm A là giao điểm của AB và AC ⇒ A (....) Tọa độ điểm C là giao điểm của CD và AC ⇒ C (....) Bài toán giải quyết xong. w .t ila do .e du .v n Đề bài 11 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (5; 2)phương trình đường trung trực cạnh BC và trung tuyến xuất phát từ đỉnh C lần lượt là (d1 ) : 2x+y−5 = 0; (d2 ) : x+y−6 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC. Lời giải tham khảo :  Giả sử điểm B (a; b). Ta có trung điểm của AB là M ⇒ a+5 b+2 ; 2 2  ∈ (d2 ) a+5 b+2 + − 6 = 0 ⇔ a + b − 7 = 0 ⇔ b = 7 − a ⇒ B (a; 7 − a) 2 2 Lấy điểm C (c; 6 − c) ∈ (d2 )  (d1 ) là trung trực của BC ⇒ trung điểm của BC là N a + c 13 − a − c ; 2 2  ∈ (d1 ) 13 − a − c −5=0⇔a+c+3=0 (1) 2 −−→ → −−→ (d1 ) là trung trực của BC ⇒ BC⊥(d1 ) ⇒ BC⊥− ud1 ta có − u→ d1 = (1; −2) ; BC = (c − a; a − 1 − c) ⇒a+c+ ⇒ c − a − 2 (a − 1 − c) = 0 ⇔ 3c − 3a + 2 = 0   7   c + a = −3  a=− 6 Từ (1) và (2) ta có ⇔  3c − 3a = −2   c = − 11 6 (2) ⇒ tọa độ điểm B và C w Bài toán giải quyết xong. w Đề bài 12 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (−1; −3), trực tâm H (1; −1) và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I (2; −2). Xác định tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC. Lời giải tham khảo : Gọi D là điểm đối xứng với A qua I ⇒ AD là đường kính đường tròn tâm I và I là trung điểm của AD ⇒ D (5; −1) AD là đường kính đường tròn tâm I ⇒ CD⊥AC, H là trực tâm ⇒ BH⊥AC ⇒ CD//BH Tương tự ta có CH//BD ⇒ BHCD là hình bình hành ⇒ BC và DH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Tổng hợp các bài toán đặc sắc 10