Nội dung

HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12 I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos  = (KỀ chia HUYỀN) BC BC A AB AC   3. tan = (ĐỐI chia KỀ) 4. cot = (KỀ chia ĐỐI) AC AB 1. sin  = II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2 2. AB2 = BH.BC 3. AC2 = CH.BC 4. AH2 = BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6. B  H 1 1 1  2 2 AH AB AC 2 III. ĐỊNH LÍ CÔSIN 1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC a b c   2R sin A sin B sin C IV. ĐỊNH LÍ SIN V. ĐỊNH LÍ TALET a) 2. b2 = a2 + c2 – 2accosB A MN // BC AM AN MN   ; AB AC BC b) N M AM AN  MB NC B C VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG 1. Tam giác thường: a) S = 1 ah 2 b) S = p(p  a)(p  b)(p  c) (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) 2. Tam giác đều cạnh a: a 3; a) Đường cao: h = 2 2 a 3 b) S = 4 c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 3. Tam giác vuông: a) S = 1 ab (a, b là 2 cạnh góc vuông) 2 b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): a) S = 1 2 a (2 cạnh góc vuông bằng nhau) 2 b) Cạnh huyền bằng a 2 5. Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o b) BC = 2AB c) AC = a 3 2 d) S = a2 3 8 1 6. Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 2 A B 60 o 30 o C b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) 8. Hình thoi: S= 1 d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo) 2 THPT QT www.thaydo.net 1 C 9. Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2 10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11. Đường tròn: a) C = 2  R (R: bán kính đường tròn) b) S =  R2 (R: bán kính đường tròn) VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC 1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm 2 1 b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN 3 3 A N M G B C P 2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy). Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 2. Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều .Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 3. Đường thẳng d vuông góc với mp(  ): d  a; d  b   d ( ) a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(  ) Tức là: a  b a,b    ()  ()  b) ( )  () a  d  (  ) d a  d  ()  c) Đt d vuông góc với mp(  ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(  ) 4. Góc  giữa đt d và mp(  ): d cắt (  ) tại O và A d AH  () d' ˆ =  Nếu  thì góc giữa d và (  ) là  hay AOH  H  ( ) 5. Góc giữa 2 mp(  ) và mp(  ): ()  () AB  Nếu  FM  AB;EM  AB EM  (),FM  ()  ˆ = thì góc giữa (  ) và (  ) là  hay EMF A  O H  F E B  M  A 6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(  ): Nếu AH  (  ) thì d(A, (  )) = AH (với H  (  )) IX. KHỐI ĐA DIỆN: 1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) 2. Thể tích khối chóp: THPT QT V= 1 Bh (diện tích đáy là đa giác) 3 www.thaydo.net 2 3. Tỉ số thể tích của khối chóp: 4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay: 5. Thể tích của khối nón tròn xoay: 6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: 7. Thể tích của khối trụ tròn xoay: 8. Diện tích của mặt cầu: 9. Thể tích của khối nón tròn xoay: THPT QT VS.ABC SA SB SC  . . VS.ABC SA SB SC Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) 1 V = Bh (diện tích đáy là đường tròn) 3 Sxq = 2 Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) V = Bh = R 2 h ( h: chiều cao khối trụ) S = 4 R 2 (R: bk mặt cầu ) 4 3 V = R (R: bán kính mặt cầu) 3 www.thaydo.net 3 PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN I. CÔNG THỨC VECTƠ: . Trong không gian với hệ trục Oxyz cho  a  a1 ; a 2 ; a3   b  b1; b2 ; b3  và k R Ta có:   1) a b  a1 b1; a2 b2 ; a3 b3    xM    yM    zM  xA  kx B 1 k yA  ky B 1 k zA  kz B  1 k   k 1 6) I là trung điểm của đoạn AB thì:    xI    yI    zI  2) ka  ka1; ka2 ; ka3   3) a.b a1b1  a2 b2  a3 b3    xA yA zA  xB 2  yB 2  z 2 2 III. MẶT PHẲNG: 1) Giả sử mp    có cặp VTCP là :  4) a  a12  a22  a32   5) Tích có hướng của hai vectơ a và b là  a  a1; a2 ; a3     a a aa aa  a, b  2 3 ; 3 1 ; 1 2   b2 b3 b3b1 b1b2   b  b1; b2 ; b3          a, b  a . b .Sina, b     6) 7)      8) a cùng phương b   a, b 0       9) a a, b hay b a, b       10) a , b , c đồng phẳng   a, b.c 0   11) ab  a1b1  a2 b2  a3 b3 0  Ứng dụng của vectơ:  a1   a2   a3   a b   Nên có VTPT là:    a a aa aa  n a, b  b b ; b b ; b b  2) Phương trình tổng quát của mp    có dạng: Ax + By + Cz + D = 0  2 Với A  B 2  C 2 0 ; trong đó n  A; B; C  là VTPT của mp    3) Phương trình các mặt phẳng toạ độ: b 1 b 2 b 3 1 SABC  . AB, AC 2    VHoäpABCD .A  /    AB, AD .AA/ B / C /D / VTöùdieänAB CD  1 . AB, AC .AD 6   II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM: Trog không gian Oxyz cho A xA ; yA ; zA  B xB ; yB ; zB  2) AB   xB  xA  2   yB  yA  2   zB  zA  2 3) G là trọng tâm ABC , ta có:  xA  yA  z A xB  x C 3 y  y B C 3 z  z B C 3      GA GB  GC  GD 0     xA yA zA    xB yB z B  x  XD C 4  y  yD C 4  z  z C D 4 5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta có: THPT QT 3 1 1 2 3 1 1 2  (Oxy) : z = 0 ; (Ozy) : x = 0  (Oxz) : y = 0 4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau:   1  : A1 x  B1 y  C1z  D1 0   2  : A2 x  B2 y  C2 z D2 0 P.tr của chùm mp xác định bởi   1  và   2  là:  A1x  B1y  C1z  D1   A2x  B2y  C2z  D2   0 A x  x0   B y  y0   C z  z0  0 4) G là trọng tâm tứ diện ABCD   xG   y G   G z  2 3 2 3 với 2   2 0 5) Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng: Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng P.Pháp:   Tìm VTPT n  A; B; C  và điểm đi qua M 0  x 0 ; y 0 ; z 0   dạng: 1) AB  xB  xA ; yB  yA ; zB  zA   G x   y G   G z  , Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C P.Pháp:  Tính AB, AC   Mp (ABC) có VTPT là n  AB, AC và qua A  Kết luận. www.thaydo.net  4  Vấn Đề 3: Viết phương trình mp    đi qua điểm A và vuông góc BC P.Pháp: Mp     BC. Nên có VTPT là BC qua A Chú ý:   Trục Ox chứa i 1;0;0   Trục Oy chứa j  0;1;0   Trục Oz chứa k  0;0;1 Vấn Đề 4: Viết phương tình mp    là mặt phẳng trung trực của AB. P.Pháp:  Mp     AB. Nên có VTPT là AB đi qua I là trung điểm của AB  Kết luận. Vấn Đề 5: Viết phương tình mp    đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và song song với mặt phẳng    : Ax By Cz D 0 P.pháp:     //   . Nên phương trình    có dạng: Ax + By + Cz + D / = 0  M 0     D /  Kết luận Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q) P.Pháp:  Mp (P) có cặp VTCP là: AB và VTPT  của (Q) là nQ    Mp (P) có VTPT là n  AB, nQ và qua A  Kết luận. Vấn Đề 7: Viết phương trình mp    đi qua các điểm là hình chiếu của điểm M  x0 ; y0 ; z0  trên các trục toạ độ. P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0)  x y z * Phương trình mp    là: x  y  z 1 0 0 Vấn Đề 8: Viết phương trình mp    đi qua điểm M0 và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). P.Pháp:  (P) có VTPT là nP   (Q) có VTPT là nQ     Mp    có VTPT là  nP , nQ  và qua Mo Kết luận.   THPT QT  www.thaydo.net 5  Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A. P.Pháp:  Xác định tâm I của mặt cầu (S)  Mặt phẳng    : Mp tiếp diện có VTPT : IA  Viết phương trình tổng quát. IV. ĐƯỜNG THẲNG:  Phương trình đường thẳng: 1) Phương trình tổng quát của đường thẳng:  A1 x  B1 y  C1 z  D1  0   A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 với A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 2) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  có VTCP  a a1; a2 ; a3  là:  a  x  x0 1t   a2 t  y  y0   a3 t z z 0  t R 3) Phương trình chính tắc của đường thẳng đi  qua điểm M0 có VTCP: a a1; a2 ; a3  là x  x0 y  y0 z  z0   Với a1 a2 a3 a12  a22  a32 0  Qui ước: Nếu ai = 0 thì x – x0 = 0  Vấn Đề 1: Tìm VTCP của đường thẳng tổng quát. 0  A x  B y C z D :  0  A x  B y C z D P.Pháp:  có VTCP là :  Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng  : P.Pháp:   Cần biết VTCP a  a1 ; a2 ; a3  và điểm M 0  x0 ; y0 ; z0     Viết phương trình tham số theo công thức (2)  Viết phương trình chính tắc theo công thức (3)  Viết phương trình tổng quát. thì từ phương trình chính tắc , ta có phương trình tổng quát: 1 2 1 1 2 1 2 2   BC C A AB  a  1 1 ; 1 1 ; 1 1   B2 C 2 C 2 A2 A1 B2   x  x0  a1    x  x0  a1   y  y0 a2  z  z0 a3  Rút gọn về dạng (1)  Chú ý: Viết phương trình tổng quát về phương trình tham số Hoặc chính tắc. Ta tìm:  - VTCP u  a1; a2 ; a3  bằng vấn đề 11 - Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị nào đó. Giải hệ tìm x, y => z - Có điểm thuộc đường thẳng - Kết luận.  Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng  đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và vuông góc với mặt phẳng    : Ax By Cz D 0 P.Pháp:   Mp    có VTPT là n  A; B; C  Đường thẳng  đi qua điểm M0 và có VTCP là  n  Viết phương trình chính tắc => Ptr tổng quát  Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu của d trên mp    P.Pháp:  Gọi d/ là hình chiếu của d trê mp     Gọi    là mặt phẳng chứa d và        Nên    có cặp VTCP là    VTCP của d là ud và n là VTPT của mặt phẳng        Mp    có VTPT n  ud , n   Mp    đi qua điểm M0  d  Viết phương trình tổng quát của Mp   Phương trình đường thẳng d/:    :     :  Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và vuông góc với hai đường  1 và  2 P.Pháp:    1 có VTCP u1    2 có VTCP u2  d vuông góc với  1 và  2 . Nên d có VTCP    là ud  u1 ,u2   Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt cả hai đường  1 và  2 . P.Pháp:  Thay toạ độ A vào phương trình  1 và  2  A  1, A  2  Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa 1  Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa 2  P  :  P.tr đường thẳng d:   Q :  Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d   P  cắt cả hai đường  1 và  2 . P.Pháp:  Gọi A  1   P   Gọi B  2   P   Đường thẳng chính là đường thẳng AB  Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng d // d1 và cắt cả hai đường  1 và  2 . P.Pháp Gọi (P) là mặt phẳng chứa  1 và (P) // d1   Gọi (Q) là mặt phẳng chứa  2 và (Q) // d1  d  P    Q  P  :   Q : Phương trình đường thẳng d   Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau  1 và  2 . P.Pháp:    Gọi u1 và u2 lần lượt là VTCP của  1 và 2     Gọi v  u1 ,u2   Gọi (P) là mặt phẳng chứa  1 và có một     VTCP là v . Nên có VTPT là nP  u1 , v  phương trình mặt phẳng (P)  Gọi (Q) là mặt phẳng chứa  2 và có một     VTCP là v . Nên có VTPT là nQ  u2 , v  phương trình mặt phẳng (Q)  Phương trình đường vuông góc chung  P  : của  1 và  2 :   Q :  Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc (P) và cắt hai đường thẳng  1 và 2 P.Pháp:  Gọi    là mặt phẳng chứa  1 và có một VTCP là nP ( VTPT của (P) )  Gọi    là mặt phẳng chứa  2 và có một VTCP là nP ( VTPT của (P) )  Đường thẳng d        Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0 vuông góc với đường thẳng  1 và cắt đường thẳng  2 P.Pháp:  Gọi    là mặt phẳng đi qua M0 và vuông góc  1  Gọi    là mặt phẳng đi qua điểm M0 và chứa  2  Đường thẳng d        Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng    và d    , d P.Pháp:  Gọi  A       Gọi    là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với  . Nên    có VTPT là VTCP của  Đường thẳng d       V. MẶT CẦU: 1. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 2. Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = 0 với đk a2 + b2 + c2 –d > 0 thì (S) có : Tâm I(a ; b ; c) Bán kính R  a2  b2  c2  d  Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu P.Pháp: Cần:  Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu  Bán kính R  Viết phương trình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2  Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB P.Pháp:   Gọi I là trung điểm của AB. Tính toạ độ I => I là tâm mặt cầu  1 2 Bán kính R  AB  Viết phương trình mặt cầu  Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với    : Ax + By + Cz + D = 0 P.Pháp:  Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với    . Nên có bán kính R d I ,       AxI  ByI  CzI  D A2  B 2  C 2  Viết phương trình mặt cầu  Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD P.Pháp:  Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = 0  A, B, C, D thuộc (S). Ta có hệ phương trình  Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D  Kết luận  Vấn Đề 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy P.Pháp:  Gọi I(xI ; yI ; 0) là tâm của mặt cầu, I   Oxy Ta có AI2 = BI2 = CI2  AI  BI  Ta có Hpt  CI  AI  IA = R  Giải Hpt  I  Kết luận VI. KHOẢNG CÁCH: 1) Khoảng cách giữa hai điểm AB  2 2 2 2 2 2 AB   xB  xA    yB  yA    zB  zA  2 2) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng    : Ax + By + Cz + D = 0 d M 0 ,      Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 3) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d  Lấy M0  d   Tìm VTCP của đường thẳng d là u d M1 , d  M 0   M1 , u  u 4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và /   Gọi u và u/ lần lượt là VTCP của  và /   đi qua điểm M0 , M 0/  / u, u .M M d ,    u, u  / 0 / / 0 / VII.GÓC:  1. Góc giữa hai vectơ a và Gọi  là góc giữa hai vectơ  b giữa hai đường thẳng (a) và (b) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng (a) và (b)  0  900  Đường thẳng (a) và (b) có VTCP lần lượt là :  b  b1 , b2 , b3     Đặc biệt: ab  a .b 0 3. Góc giữa hai mặt phẳng    và   /     : Ax + By + Cz + D = 0  /  : A/x + B/y + C/z + D/ = 0 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng    và   /  Cos  AA/  BB/  CC / A2  B 2  C 2 . A/ 2  B / 2  C / 2 4. Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng     (d): có VTCP là u = (a, b, c)    : Ax + By + Cz + D = 0 Gọi  là góc nhọn giữa (d) và    Sin    a và b   a1b1  a2 b2  a3b3 a.b Cos     2. Góc 2 a. b a1  a22  a32 . b12  b22  b32  a  a1 , a2 , a3   a.b a1b1  a2 b2  a3 b3 Cos     2 a. b a1  a22  a32 . b12  b22  b32 Aa Bb Cc A2  B 2  C 2 . a2  b2  c2 5. Vị trí tương đối giữa mp    và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R P.Pháp:  Tính d(I,    )  Nếu d(I,    ) > R =>    không cắt (S)  Nếu d(I,    ) = R =>    tiếp xúc (S)  Nếu d(I,    ) < R =>    cắt (S) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính 2 r  R 2   d I ,      Gọi d/ là đường thẳng đi qua tâm I và d /    Gọi  H d /      H là tâm đường tròn giao tuyến 5. Tọa độ giao điểm của đường thẳng  và mặt cầu (S) P.Pháp: * Viết phương trình đường  về dạng phương trình tham số * Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình () theo t  Nếu ptr () vô nghiệm =>  không cắt mặt cầu (S)  Nếu ptr () có nghiệm kép =>  cắt (S) tại một điểm Nếu ptr () có hai nghiệm =>  cắt (S) tại hai điểm. Thế t = ... vào phương trình tham số của  => Tọa độ giao điểm  Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M/ đối xứng của M qua mặt phẳng    P.Pháp:  Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) là điểm đối xứng của M qua      Gọi d là đường thẳng đi qua M và d   . Nên d có VTCP là n  Viết phương trình tham số của d  Gọi  H d      d :  Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình  => Tọa độ điểm H    :  Vì H là trung điểm của MM/ => Tọa độ điểm M/  Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng của M0 qua đường thẳng d P.Pháp:  Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ )  Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M0 và  P  d . Nên (P) nhận VTCP của d làm VTPT   Gọi  H d   P  M/ là điểm đối xứng của M0 qua đường thẳng d. Nên H là trung điểm của đoạn M0M/ Ta có:   xH    yH    zH     x0 y0 z0  x/ 2  y/ 2  z/ 2 => M/