Nội dung

CHUYEÂN ÑEÀ 1 TOÏA ÑOÄ PHAÚNG Trong caùc baøi toaùn veà toïa ñoä trong maët phaúng thöôøng gaëp caùc yeâu caàu nhö tìm toïa ñoä moät ñieåm, moät vectô, tính ñoä daøi moät ñoaïn thaúng, soá ño goùc giöõa hai vectô, quan heä cuøng phöông hoaëc vuoâng goùc giöõa hai vectô, 3 ñieåm thaúng haøng. Ta vaän duïng caùc kieán thöùc cô baûn sau ñaây: r r Cho a = ( a1 , a 2 ) , b = ( b1 , b2 ) ta coù: r r a= b ⇔ ⎧a1 = b1 ⎨ ⎩a 2 = b 2 r r a + b = ( a1 + b1 , a 2 + b2 ) r r a – b = ( a1 - b1 , a 2 - b2 ) r k a = (k a1 , k a 2 ) (k ∈ R) r r α a + β b = ( α a1 + β b1 , α a 2 + β b 2 ) r r a . b = a1 b1 + a 2 b 2 . Vôùi caùc quan heä veà ñoä daøi ta coù: r a = ( a1 , a 2 ) ⎧⎪ A ( x A , y A ) ⇒ ⎨ ⎪⎩B ( x B , y B ) vaø ⇒ r a = a12 + a 2 2 uuur AB = ( x B – x A , y B – y A ) AB = (xB - xA ) 2 + (yB - yA ) 2 . Vôùi quan heä cuøng phöông hoaëc vuoâng goùc ta coù: r r a ⊥ b ⇔ a1 b1 + a 2 b 2 = 0 r r r r a cuøng phöông b ⇔ si n( a, b) = 0 ⇔ a1 b 2 – a 2 b1 = 0 ⇔ A, B, C thaúng haøng a1 a = 2 ( b1 , b 2 ≠ 0) b1 b2 uuur uuur ⇔ AB cuøng phöông AC ⇔ xB - xA yB - y A xC - x A yC - y A =0 . Vôùi vieäc tìm goùc cuûa hai vectô ta coù: r r - Goùc hình hoïc taïo bôûi hai vectô a , b ñöôïc suy töø coâng thöùc: r r ab +a b cos( a, b ) = 1 1r r 2 2 a.b (1) r r - Soá ño goùc ñònh höôùng cuûa hai vectô a , b ngoaøi (1) coøn ñöôïc suy theâm töø moät trong hai coâng thöùc: ab - a b r r si n( a, b) = 1 2r r 2 1 a .b r r a b - a2 b1 tg( a, b) = 1 2 a1b1 + a2 b2 Ngoaøi ra trong caùc baøi toaùn veà toïa ñoä phaúng ta coù theå aùp duïng caùc keát quaû sau ñaây: . M( x M , y M ) laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB ⇔ xA ⎧ ⎪⎪ x M = ⎨ ⎪y = y A ⎪⎩ M + xB 2 + yB 2 . G( x G , y G ) laø troïng taâm cuûa Δ ABC ⇔ x A + xB + xC ⎧ ⎪⎪ x G = 3 ⎨ ⎪y = y A + y B + y C ⎪⎩ G 3 . I( x I , y I ) vaø J( x J , y J ) laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa goùc A trong Δ ABC thì: uuur uur AB IB JB uur = − uuur = − AC IC JC . Vôùi A( x A , y A ), B( x B , y B ), C( x C , y C ) thì dieän tích tam giaùc ABC laø: S= 1 Δ 2 vôùi Δ= xB - xA yB - y A xC - x A yC - y A Ví duï 1: Trong maët phaúng Oxy cho ba ñieåm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2). a) Tìm toïa ñoä ñieåm D ñoái xöùng vôùi A qua B. uuuur uuuur uuuur r b) Tìm toïa ñoä ñieåm M ñeå 2 AM + 3 BM - 4 CM = 0 c) Tìm toïa ñoä ñieåm E ñeå ABCE laø hình thang coù moät caïnh ñaùy laø AB vaø E naèm treân Ox. d) Tìm toïa ñoä tröïc taâm H, troïng taâm G vaø taâm I ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Δ ABC. e) Chöùng toû H, G, I thaúng haøng. Giaûi a) D laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua B ⇔ B laø trung ñieåm cuûa AD ⇔ xA + xD ⎧ ⎪⎪x B = 2 ⎨ ⎪y = y A + y D ⎪⎩ B 2 ⎧⎪x D = 2x B − x A = 2 ( 0 ) − 2 = − 2 hay D(–2, 7) ⎨ ⎪⎩y D = 2y B − y A = 2 ( 3 ) + 1 = 7 uuuur uuuur uuuur r b) Ta coù: 2 AM + 3 BM – 4 CM = 0 = ( 0, 0 ) ⇔ ⇔ ⎧⎪2 ( x M − 2 ) + 3 ( x M − 0 ) − 4 ( x M − 4 ) = 0 ⎨ ⎪⎩2 ( y M + 1) + 3 ( y M − 3) − 4 ( y M − 2 ) = 0 ⇔ ⎧x M = − 12 ⎨ ⎩y M = − 1 hay M(–12, –1) c) ABCE laø hình thang coù ñaùy AB vaø E naèm treân Ox. ⇔ ⎧⎪ y E = 0 ⎨ uuur uuur ⎪⎩CE // ΑΒ ⇔ ⎧y E = 0 ⎪ ⎨ xE - 4 yE - 2 ⎪⎩ 0 - 2 = 3 + 1 ⇔ ⎧y E = 0 ⎨ ⎩x E = 5 hay E(5, 0) ⇔ uuuur uuur ⎧⎪ AH.BC = 0 ⎨ uuuuruuur ⎪⎩BH .AC = 0 d) H laø tröïc taâm cuûa Δ ABC ⇔ ⎧ AH ⊥ BC ⎨ ⎩BH ⊥ AC ⇔ ⎧⎪( x H − 2 )( 4 − 0 ) + ( y H + 1)( 2 − 3) = 0 ⎨ ⎪⎩( x H − 0 )( 4 − 2 ) + ( y H − 3)( 2 + 1) = 0 ⇔ 18 ⎧ ⎪⎪ x H = 7 ⎨ ⎪y = 9 ⎪⎩ H 7 ⎧4 x H − y H − 9 = 0 ⇔ ⎨ ⎩ 2 x H + 3y H − 9 = 0 ⎛ 18 9 ⎞ hay H ⎜ , ⎟ ⎝ 7 7⎠ G laø troïng taâm Δ ABC ta coù: xA + xB + xC 2 + 0 + 4 ⎧ = =2 ⎪⎪ x G = 3 3 ⎨ ⎪ y = y A + y B + y C = −1 + 3 + 2 = 4 ⎪⎩ G 3 3 3 ⎛ 4⎞ hay G ⎜ 2, ⎟ ⎝ 3⎠ + I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Δ ABC 2 2 ⎪⎧I A = I B ⎨ 2 2 ⎪⎩I A = I C ⇔ IA = IB = IC ⇔ ⎧⎪( 2 − x I )2 + ( −1 − y I )2 = ( 0 − x I )2 + ( 3 − y I )2 ⎨ 2 2 2 2 ⎪⎩( 2 − x I ) + ( −1 − y I ) = ( 4 − x I ) + ( 2 − y I ) ⇔ ⎧ −4 x I + 8 y I − 4 = 0 ⎨ ⎩4 x I + 6 y I − 15 = 0 ⇔ 24 12 ⎧ ⎪⎪ x I = 14 = 7 ⎨ ⎪ y = 19 ⎪⎩ I 14 ⇔ hay ⎛ 12 19 ⎞ I⎜ , ⎟ ⎝ 7 14 ⎠ uuur ⎛ 6 1 ⎞ uuuur ⎛ 4 1 ⎞ e) Ta coù : H G = ⎜ − , ⎟ vaø H I = ⎜ − , ⎟ ⎝ 7 21 ⎠ ⎝ 7 14 ⎠ ⇒ 4 1 7 = 21 = 2 1 6 3 − 14 7 uuur uuuur H G cuøng phöông vôùi H I ⇒ H, I, G thaúng haøng. ⇒ − Ví duï 2: Trong maët phaúng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, uuur uuur cos ( AO , AB ) vaø dieän tích tam giaùc ABC. 3 ) . Tính Giaûi uuur uuur AO = (–2, –2 3 ), AB = (–1, 3 ) = ( a1;a2 ) Ta coù: uuur uuur cos( AO , AB ) = 2−6 1 =− 2 4 + 12 . 1 + 3 uuur AC = (–3, – 3 ) = = ( b1; b2 ) ⇒ SABC = 1 1 a1b2 − a2 b1 = ( −1 )( − 3 ) − 3 ( −3 ) = 2 3 2 2 CHUYEÂN ÑEÀ 2 ÑÖÔØNG VAØ PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG Caùc baøi toaùn veà phaàn ñöôøng vaø phöông trình ñöôøng thöôøng yeâu caàu xaùc ñònh quyõ tích caùc ñieåm trong maët phaúng toïa ñoä theo nhöõng ñieàu kieän cho tröôùc, quyõ tích naøy laø moät ñöôøng maø ta phaûi tìm phöông trình cuûa noù döïa vaøo ñònh nghóa: F(x, y) = 0 laø phöông trình cuûa ñöôøng (L) neáu ta coù : M( x M , y M ) ∈ (L) ⇔ F( x M , y M ) = 0 Neáu M ∈ (L) vaø M coù toïa ñoä phuï thuoäc tham soá t: ⎧⎪ x = f ( t ) ⎨ ⎪⎩ y = g ( t ) (t ∈ R) thì ñoù laø phöông trình tham soá cuûa ñöôøng (L). Töø phöông trình tham soá, ta khöû t thì coù theå trôû veà daïng F(x, y) = 0 Löu yù vieäc giôùi haïn cuûa quyõ tích tuyø theo caùc ñieàu kieän ñaõ cho trong ñaàu baøi. Ví du1: Trong maët phaúng Oxy cho A(2, 1), B(–3, 2). Tìm quyõ tích ñieåm M ñeå uuuur uuuur uuur ( M A + M B ) AB = 1 Giaûi Goïi (L) laø quyõ tích phaûi tìm. M( x M , y M ) ∈ (L) ⇔ uuuur uuuur uuur ( M A + M B ) AB = 1 ⇔ [ (2 – x M ) + (–3 – x M ) ] (–3 – 2) + (1 – y M + 2 – y M ) (2 – 1) = 1 ⇔ 5 + 10 x M + 3 – 2 y M = 1 ⇔ 10 x M – 2 y M + 7 = 0 ⇔ M( x M , y M ) coù toïa ñoä thoûa phöông trình F(x, y) = 10x – 2y + 7 = 0 Vaäy quyõ tích phaûi tìm laø ñöôøng thaúng (L) coù phöông trình 10x – 2y + 7 = 0. Ví duï 2: Laäp phöông trình quyõ tích taâm cuûa nhöõng ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi truïc Ox vaø ñi qua ñieåm A(1, 2). Giaûi Goïi (L) laø quyõ tích nhöõng taâm ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi truïc Ox vaø ñi qua ñieåm A(1, 2). I( x I , y I ) ∈ (L) ⇔ I laø taâm ñöôøng troøn qua A(1, 2) vaø tieáp xuùc vôùi Ox taïi M ⇔ ⎧I M ⊥ Ox t aïi M ⎨ ⎩I M = I A ⇔ ⎧⎪ x M − x I = 0 vaøy M = 0 ⎨ 2 2 ⎪⎩ ( x M − x I ) + ( y M − y I ) = ⇔ xI 2 – 2 xI – 4 yI + 5 = 0 ⇔ I( x I , y I ) coù toïa ñoä thoûa phöông trình (xA F(x, y) = x2 – 2x – 4y + 5 = 0 − xI ) + ( y A − yI ) 2 2 Ñoù laø phöông trình cuûa quyõ tích phaûi tìm (Parabol). CHUYEÂN ÑEÀ 3 ÑÖÔØNG THAÚNG I. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, muoán vieát phöông trình moät ñöôøng thaúng ( Δ ) ta caàn phaûi bieát: 1) (Δ) r qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù vectô chæ phöông a = (a1, a2) seõ coù: ⎧ x = x 0 + t a1 . Phöông trình tham soá : ⎨ ⎩y = y 0 + t a2 . Phöông trình chính taéc : (t ∈ R) x − x0 y − y0 = (a1, a2 ≠ 0) a1 a2 Töø phöông trình chính taéc ta coù theå ñoåi thaønh daïng phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 2) (Δ) (A2 + B2 > 0) qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù 1 phaùp veùctô laø (a,b) coù phöông trình : a(x – x0) + b(y – y0) = 0 3) i) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng Ax + By + C = 0 vôùi A2 + B2 > 0 (1) ii) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng x = x0 hoaëc y = kx + m (2). Ta deã daøng thaáy (1) vaø (2) laø töông ñöông. + (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thoûa (1) vôùi A = k, B = - 1 , C = m. + Neáu B = 0 ⇒ x = − y=− C A , coù daïng x = x0 vôùi x0 = − C . Neáu B ≠ 0 ⇒ A A C x − , coù daïng y = kx + m. B B 3) ( Δ ) qua hai ñieåm A(xA, yA), B(xB, yB) coù phöông trình : x − xA y − yA = neáu ( xB − x A ) ( yB − yA ) ≠ 0 xB − xA yB − yA Neáu ( Δ ) qua A(a, 0) ∈ Ox vaø B(0, b) ∈ Oy vôùi a.b ≠ 0; ta noùi ( Δ ) coù ñoaïn chaén a, b vôùi phöông trình: x y + =1 a b * Ghi chuù: Neáu ñeà baøi toaùn yeâu caàu ta vieát phöông trình cuûa ñöôøng thaúng, thoâng thöôøng ta neân vieát phöông trình ôû daïng toång quaùt vaø löu yù : (Δ) : Ax + By + C = 0 thì ( Δ ) coù : r . moät phaùp vectô n = (A, B) r . moät vectô chæ phöông a = (–B, A) uuur A . heä soá goùc k = tg( Ox , Δ ) = − B . ( Δ′ ) // ( Δ ) ⇒ ( Δ′ ) : Ax + By + C0 = 0 . ( Δ′ ) ⊥ ( Δ ) ⇒ ( Δ′ ) : Bx – Ay + C0 = 0 Ta tìm ñöôïc C0 neáu bieát theâm moät ñieåm naèm treân ( Δ′ ) . Ngoaøi ra khi vieát phöông trình cuûa moät ñöôøng thaúng ( Δ ) theo heä soá goùc k, baøi toaùn coù theå bò thieáu nghieäm do tröôøng hôïp ( Δ ) ⊥ x ′ x (heä soá goùc k khoâng toàn taïi), do ñoù ta phaûi xeùt theâm tröôøng hôïp ( Δ ) coù phöông trình x = C ñeå xem ñöôøng thaúng ( Δ ) naøy coù thoûa maõn ñieàu kieän cuûa ñaàu baøi khoâng. r Ghi chuù - Neáu n = (A, B) laø 1 phaùp veùc tô cuûa ñöôøng thaúng ( Δ ) thì r k. n = (kA, kB) cuõng laø phaùp veùc tô cuûa ( Δ ) vôùi moïi soá thöïc k ≠ 0. ur - Neáu a = ( a1 ,a2 ) laø 1 veùc tô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng ur a = ( ka1 ,ka2 ) cuõng laø veùc tô chæ phöông cuûa ( Δ ) vôùi moïi soá thöïc k khaùc 0. II. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG Ñeå xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng ta caàn nhôù Cho (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 Ñaët : D= A1 A2 B1 ; B2 Dx = B1 B2 C1 ; C2 Dy = C1 C2 A1 thì : A2 ( Δ ) thì k. Dx ⎧ ⎪⎪ x I = D D ≠ 0 ⇔ (d1) caét (d2) taïi I ⎨ ⎪y = D y ⎪⎩ 1 D D = 0 vaø Dx ≠ 0 hoaëc Dy ≠ 0 D = D x = Dy = 0 ⇔ (d1) // (d2) ⇔ (d1) ≡ (d2) hoaëc vôùi A2, B2, C2 ≠ 0 ta coù : Ghi chuù B1 C1 B2 C2 A1 B ≠ 1 B2 A2 ⇔ (d1) caét (d2) A1 B C = 1 ≠ 1 B2 C2 A2 ⇔ (d1) // (d2) A1 B C = 1 = 1 B2 C2 A2 ⇔ (d1) ≡ (d2) =− C1 B1 C2 B2 ; C1 A1 C2 A2 =− A1 C1 A2 C2 III. GOÙC GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG Ñeå tìm goùc giöõa hai ñöôøng thaúng, ta goïi α laø goùc nhoïn taïo bôûi hai ñöôøng thaúng (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 thì cos α = (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 A 1A 2 + B1B 2 A 12 + B12 . A 2 2 +B 2 2 IV. KHOAÛNG CAÙCH TÖØ MOÄT ÑIEÅM ÑEÁN MOÄT ÑÖÔØNG THAÚNG Ñeå tìm khoaûng caùch töø ñieåm M(xM, yM) ñeán ñöôøng thaúng (Δ) : Ax + By + C = 0 ta aùp duïng coâng thöùc : d(M, Δ ) = Ax M + By M + C A 2 + B2 Khoaûng caùch ñaïi soá töø ñöôøng thaúng ( Δ ) ñeán ñieåm M(xM, yM) laø : t= Ax M + By M + C A 2 + B2 r Ñaët phaùp vectô n = (A, B) coù goác leân ( Δ ) thì : r . t > 0 neáu ñieåm M vaø n naèm cuøng moät beân ñoái vôùi ( Δ ) r . t < 0 neáu ñieåm M vaø n naèm khaùc beân ñoái vôùi ( Δ ) Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc hôïp bôûi 2 ñöôøng thaúng (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 laø : A 1x + B1y + C1 A 12 + B 12 =± A 2 x + B 2 y + C2 A 22 + B 22 Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC vôùi A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3) a) Tìm phöông trình tham soá vaø toång quaùt caïnh BC. b) Tìm phöông trình ñöôøng cao AH. c) Tìm phöông trình ñöôøng thaúng qua A(–2, 1) vaø song song vôùi BC. Giaûi uuur a) Ñöôøng thaúng qua caïnh BC nhaän BC = (–2, –6) hay (1,3) laøm vectô chæ phöông vaø qua B(4, 3) neân coù phöông trình tham soá : ⎧x = 4 + t ⎨ ⎩ y = 3 + 3t ⇔ (t ∈ R) x−4 y−3 = (phöông trình chính taéc) 1 3 ⇔ 3x – y – 9 = 0 laø phöông trình toång quaùt cuûa BC. b) Δ ABC coù ñöôøng cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0 ⇒ pt AH : x + 3y + C1 = 0 A(–2, 1) ∈ AH Vaäy ⇔ –2 + 3(1) + C1 = 0 ⇔ C1 = –1 pt AH : x + 3y – 1 = 0 c) Ñöôøng thaúng Au // BC ⇒ pt Au : 3x – y + C2 = 0