Nội dung

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng www.MATHVN.com MỤC LỤC Trang • Tóm tắt kiến thức 2 • Các bài toán về điểm và đường thẳng 4 • Các bài toán về tam giác 6 • Các bài toán về hình chữ nhật 13 • Các bài toán về hình thoi 16 • Các bài toán về hình vuông 17 • Các bài toán về hình thang, hình bình hành 19 • Các bài toán về đường tròn 21 • Các bài toán về ba đường conic 31 MATH.VN Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế 1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng www.MATHVN.com TÓM TẮT KIẾN THỨC 1. Phương trình đường thẳng
 x = xo + at • đường thẳng đi qua điểm A ( xo ; yo ) và có VTCP u = ( a; b ) có PTTS là  . y = yo + bt 
• đường thẳng đi qua điểm A ( xo ; yo ) và có VTPT n = ( a; b ) có PTTQ là a ( x − xo ) + b ( y − yo ) = 0 . x − xA y − yA = . x B − x A yB − y A x y • đường thẳng đi qua hai điểm A ( a;0 ) và B ( 0; b ) với a ≠ 0 và b ≠ 0 có phương trình: + = 1 . a b • đường thẳng song song hoặc trùng với Oy có phương trình là ax + c = 0 ( a ≠ 0 ) . • đường thẳng đi qua hai điểm A ( x A ; y A ) và B ( x B ; yB ) có phương trình: ( b ≠ 0) . • đường thẳng song song hoặc trùng với Ox có phương trình là by + c = 0 • đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có phương trình là ax + by = 0 (a 2 ) + b2 ≠ 0 . • nếu (d) vuông góc với ( d ') : ax + by + c = 0 thì (d) có phương trình là bx − ay + m = 0 . • nếu (d) song song với ( d ') : ax + by + c = 0 thì (d) có phương trình là ax + by + m = 0 ( m ≠ c ) . • đường thẳng có hệ số góc k có phương trình là y = kx + b . • đường thẳng đi qua điểm A ( xo ; yo ) và có hệ số góc k có phương trình là y − yo = k ( x − xo ) . • ( d ) : y = kx + b vuông góc với ( d ') : y = k ' x + b ' ⇔ k.k ' = −1 . • (d ) : y = kx + b song song với (d ') : y = k ' x + b ' ⇒ k = k ' . 2. Khoảng cách và góc • khoảng cách từ A ( xo ; yo ) đến ( ∆) : ax + by + c = 0 tính bởi công thức: d ( A, ∆ ) = axo + byo + c a2 + b2 • M, N ở cùng phía đối với đường thẳng ( ∆) : ax + by + c = 0 ⇔ ( ax M + byM + c )( axN + byN + c ) > 0 • M, N ở khác phía đối với đường thẳng ( ∆) : ax + by + c = 0 ⇔ ( ax M + byM + c )( axN + byN + c ) < 0 • cho hai đường thẳng ( ∆) : ax + by + c = 0 và ( ∆ ') : a ' x + b ' y + c ' = 0 thì: ax + by + c a' x + b' y + c'
phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi ∆ và ∆ ' là =± a2 + b2 a '2 + b '2 aa '+ bb ' 
cos ∆ ;∆ ' = a 2 + b 2 . a '2 + b '2
∆ ⊥ ∆ ' ⇔ aa '+ bb ' = 0 . ( ) 3. Đường tròn 2 2 • đường tròn (C) tâm T ( xo ; yo ) , bán kính R có phương trình là ( x − xo ) + ( y − yo ) = R 2 . • phương trình x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 với a2 + b2 − c > 0 là phương trình của một đường tròn với tâm T ( − a; − b ) và bán kính R = a2 + b2 − c . • cho đường thẳng ( ∆ ) : ax + by + c = 0 và đường tròn (C) có tâm T ( xo ; yo ) và bán kính R . Lúc đó: (∆) tiếp xúc (C) ⇔ d ( T; ∆ ) = R ⇔ MATH.VN axo + byo + c a2 + b2 = R. Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế 2 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng www.MATHVN.com 4. Đường elip • Phương trình chính tắc: y (E) : M O F1 x F2 x 2 y2 + =1 a2 b2 (0 < b < a) • Tiêu điểm: F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) với c = a 2 − b 2 • Tiêu cự: F1 F2 = 2c • Bán kính qua tiêu: MF1 = a + • Định nghĩa: ( E ) = { M | MF1 + MF2 = 2a} c c x; MF2 = a − x a a c <1 a • Trục lớn là Ox, độ dài trục lớn: 2a • Trục bé là Oy, độ dài trục bé: 2b • Tọa độ các đỉnh: ( −a;0 ) , ( a;0 ) , ( 0; −b ) , ( 0; b ) • Tâm sai: e = 5. Đường hypebol y • Phương trình chính tắc: x 2 y2 (H) : 2 − 2 = 1 a b M(x;y) F 1(-c;0) • Tiêu điểm: F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) với c = a 2 + b 2 x O ( 0 < a;0 < b ) • Tiêu cự: F1 F2 = 2c F2(c;0) • Bán kính qua tiêu: MF1 = a + c c x ; MF2 = a − x a a c >1 a • Trục thực là Ox, độ dài trục thực: 2a • Trục ảo là Oy, độ dài trục ảo: 2b • Tâm sai: e = • Định nghĩa: ( H ) = { M | MF1 − MF2 = 2 a} b • Phương trình các đường tiệm cận: y = ± x a • Tọa độ các đỉnh: ( −a;0 ) , ( a;0 ) 6. Đường parabol y H P O ( P ) = { M | MF = d ( M, ∆ )} 2 ( p > 0) Phương trình chính tắc: ( P ) : y = 2 px • Định nghĩa: M F • x p  • Tiêu điểm: F  ;0  2  p • Đường chuNn: x + = 0 2 • Bán kính qua tiêu: MF = x + p 2 • Tọa độ đỉnh: O ( 0;0 ) ***** MATH.VN Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế 3 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng www.MATHVN.com CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG B04: Cho hai điểm A(1; 1), B(4; –3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x − 2 y − 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.  43 27  ;−   11 11  ĐS: C1(7;3), C2  − A06: Cho các đường thẳng lần lượt có phương trình: d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x − y − 4 = 0, d3 : x − 2 y = 0 . Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. ĐS: M(–22; –11), M(2; 1) B11: Cho hai đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 và d : 2 x − y − 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8 . 6 2 ĐS: N ( 0; −2 ) hoặc N  ;  5 5 Toán học & Tuổi trẻ: Cho đường thẳng d : x − 2 y − 2 = 0 và hai điểm A(0 ; 1) và B(3 ; 4). Tìm tọa độ của điểm M trên d sao cho 2MA2 + MB 2 nhỏ nhất. ĐS: M(2 ; 0) chuyên ĐH Vinh: Cho hai điểm A(1 ; 2) và B(4 ; 3). Tìm tọa độ điểm M sao cho  AMB = 135o và 10 khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB bằng . 2 ĐS: M ( 0;0 ) hoặc M ( −1;3) D10: Cho điểm A(0; 2) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆. Viết phương trình ∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH. ĐS: 2 đường ∆: ( 5 − 1) x ± 2 5 − 2 y = 0 B04(dự bị): Cho điểm I(–2; 0) và hai đường thẳng d1 : 2 x − y + 5 = 0, d2 : x + y − 3 = 0 . Viết phương trình 

đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho IA = 2IB . ĐS: d : −7 x + 3 y + 14 = 0 Toán học & Tuổi trẻ: Cho hai đường thẳng d1 : x + y + 1 = 0; d2 : 2 x − y − 1 = 0 . Lập phương trình đường 

thẳng d đi qua M (1; −1) và cắt d1; d2 lần lượt tại A và B sao cho MB = −2 MA . ĐS: d : x = 1 Toán học & Tuổi trẻ: Cho hai điểm A ( 2;5) , B ( 5;1) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến d bằng 3. ĐS: d : 7 x + 24 y − 134 = 0 Toán học & Tuổi trẻ: Cho điểm M ( −3;4 ) và hai đường thẳng d1 : x − 2 y − 3 = 0 và d2 : x − y = 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt d1 tại A, cắt d2 tại B sao cho MA = 2 MB và điểm A có tung độ dương. chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An: Cho ba điểm A(1 ; 1), B(3 ; 2) và C(7 ; 10). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến ∆ là lớn nhất. ĐS: d : 4 x + 5 y − 9 = 0 chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Cho tam giác ABC có đỉnh A(0 ; 4), trọng tâm G ( 4 / 3;2 / 3) và trực tâm trùng với gốc tọa độ. Tìm tọa độ B, C biết x B < xC . ĐS: B ( −1; −1) , C ( 5; −1) MATH.VN Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế 4 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng www.MATHVN.com 2 2 Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2013: ( C ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 10 có tâm là I. Viết phương trình đường thẳng d cách O một khoảng bằng 5 và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. ĐS: d : 2 x − y − 5 = 0 Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc - 2014: Cho hai đường thẳng d1 : x + 2 y − 3 = 0 và d2 : 2 x − y − 1 = 0 cắt nhau tại. Viết phương trình đường thẳng d đi qua O và cắt d1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho 2IA=IB. ĐS: d : 3 x − 4 y = 0 hoặc d : x = 0 chuyên ĐH Vinh - 2013: Cho hai đường thẳng d1 : x − y − 2 = 0, d2 : x + 2 y − 2 = 0 . Gọi I là giao điểm của d1 , d 2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M(-1;1) cắt d1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho AB = 3IA. ĐS: x + y = 0 hoặc x + 7 y − 6 = 0 chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2014: Cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x − 2 y + 2 = 0. Tìm trên d 2 điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông tại A và AM=2AN, biết hoành độ và tung độ của N là những số nguyên. ĐS: M(2;2), N(0;1) chuyên Lý Tự Trọng - Cần Thơ - 2014: Cho điểm A(4;-7) và đường thẳng ∆ : x − 2 y + 4 = 0 . Tìm điểm B trên ∆ sao cho có đúng ba đường thẳng d1 , d2 , d3 thỏa mãn khoảng cách từ A đến d1 , d2 , d3 đều bằng 4 và khoảng cách từ B đến d1 , d2 , d3 đều bằng 6.  6 13  ĐS: B ( −2;1) hoặc B  ;  5 5  ***** MATH.VN Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế 5 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng www.MATHVN.com CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC 1. Tam giác thường 1.1. Tìm tọa độ của điểm A04: Cho hai điểm A(0; 2) và B ( − 3; − 1) . Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. ĐS: H ( 3; −1) , I ( − 3;1) B08: Hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(–1; –1), đường phân giác trong góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4 x + 3y − 1 = 0 .  10 3  ;   3 4 ĐS: C  − D10: Cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –7), trực tâm là H(3; –1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(–2; 0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. ĐS: C ( −2 + 65;3) 1  2  CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho D(3 ; 1) và đường thẳng EF có phương trình y − 3 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.  13  ĐS: A  3;   3 D11: Cho tam giác ABC có đỉnh B ( −4;1) , trọng tâm G (1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và C. ĐS: A ( 4;3) , C ( 3; −1) B11: Cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1  . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC,  17 1  ; −  , chân đường phân giác trong của  5 5 góc A là D ( 5;3) và trung điểm của cạnh AB là M ( 0;1) . Tìm tọa độ đỉnh C. B13: Cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là H  ĐS: C ( 9;11) D13: Cho tam giác ABC có điểm M ( −9 / 2;3 / 2 ) là trung điểm của cạnh AB, điểm H ( −2;4 ) và I ( −1;1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ đỉnh C. ĐS: C ( −1;6 ) D03(dự bị): Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là: x − 2 y + 1 = 0, 3 x + y − 1 = 0 . Tính diện tích tam giác ABC. ĐS: B(−5; −2), C (−1; 4) ⇒ S = 14 D04(dự bị): Cho điểm A(2; 3) và hai đường thẳng d1 : x + y + 5 = 0, d2 : x + 2 y − 7 = 0 . Tìm toạ độ các điểm B trên d1 và C trên d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 0). ĐS: B ( −1; −4 ) , C ( 5;1) A06(dự bị): Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x − 4 y − 2 = 0 , cạnh BC song song với d. Phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.  2  3 2 3 8 8 3 3 ĐS: A  − ; −  , B(−4;1), C  ;  MATH.VN Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế 6 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng www.MATHVN.com B06(dự bị): Cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình x − 3y − 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y + 1 = 0 . Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác. ĐS: B(–2; –3), C(4; –5) A07(dự bị): Cho tam giác ABC có trọng tâm G(–2; 0), phương trình các cạnh AB: 4 x + y + 14 = 0 , AC: 2 x + 5y − 2 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. ĐS: A(–4; 2), B(–3; –2), C(1; 0) Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC biết ba chân đường cao tương ứng với ba đỉnh A, B, C lần lượt là A ' (1;1) , B ' ( −2;3) và C ' ( 2;4 ) . Viết phương trình cạnh BC. 3  1  5 2  2  3 ĐS:  − + + =0 x + − 10  10  13 10  13  13 Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC có AB : 5x + 2 y + 7 = 0; BC : x − 2 y − 1 = 0 . Phương trình đường phân giác trong góc A là x + y − 1 = 0 . Tìm tọa độ điểm C.  11 4  ĐS: C  ;   3 3 Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC biết C(4 ; 3). Đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác lần lượt có phương trình x + 2 y − 5 = 0 và 4 x + 13y − 10 . Tìm tọa độ điểm B. ĐS: B ( −12;1) Toán học & Tuổi trẻ: Cho tam giác ABC biết A ( −1;1) , trực tâm H(1 ; 3), trung điểm của cạnh BC là điểm M(5 ; 5). Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC. Đặng Thúc Hứa - Nghệ An: Cho tam giác ABC có d : 2 x − y − 3 = 0 là đường phân giác trong góc A. Biết B1 ( −6;0 ) , C1 ( −4;4 ) lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C lên các đường thẳng AC, AB. Xác định tọa độ của A, B, C.  21 21   31 1  ĐS: A (1; −1) , B  − ;  , C  − ;   4 4   4 4 Lê Hồng Phong - Thanh Hóa: 1. Cho tam giác ABC có A(5 ; 2). Phương trình đường trung trực đoạn BC là x + y − 6 = 0 , trung tuyến CC’ là 2 x − y + 3 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C. 2. Cho tam giác ABC có A(1 ; 5). Phương trình BC : x − 2 y − 6 = 0 . Tâm đường tròn nội tiếp I(1;0). Tìm tọa độ các đỉnh B, C. ĐS: 1. C ( 23 / 5;55 / 3) , B ( −28 / 3; −14 / 3) 2. B ( 4; −1) , C ( −4; −5) chuyên ĐH Vinh: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(1 ; 1); d : 2 x − y + 1 = 0 là phương trình của đường cao kẻ từ đỉnh A. Các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x + 2 y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết tam giác ABC có diện tích bằng 6. ĐS: A (1;3) , B ( 3; −1) , C ( −1;1) hoặc A (1;3) , C ( 3; −1) , B ( −1;1) Lý Thái Tổ - Bắc Ninh: Cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong góc A lần lượt có phương trình là d1 : 3 x + 4 y + 10 = 0; d2 : x − y + 1 = 0 . Điểm M(0 ; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. ĐS: A ( 4;5) , B ( −3; −1/ 4 ) , C (1;1) hoặc C ( 31/ 25;33 / 25) THPT Cầu Xe: Cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ đỉnh C và đường trung trực đoạn BC lần lượt là x − y + 2 = 0;3 x + 4 y − 2 = 0 . Điểm A ( 4; −2 ) . Tìm tọa độ các đỉnh B, C. ĐS: B ( −1/ 4;9 / 4 ) , C ( −7 / 4;1/ 4 ) MATH.VN Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế 7 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng www.MATHVN.com THPT Triệu Sơn 4: Cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ đỉnh A và đường phân giác trong góc B lần lượt có phương trình là x − 2 y − 2 = 0; x − y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M(0 ; 2) thuộc đường thẳng AB và AB = 2BC. ĐS: A ( 3;1/ 2 ) , B ( 2;1) , C ( 7 / 4;3 / 2 ) Quỳnh Lưu 2 - Nghệ An: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 12 + 6 6 , A ( −2;0 ) , B ( 4;0 ) , bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5. Tìm tọa độ điểm C biết tung độ của C dương. ( ) ( ĐS: C 0;4 + 2 6 hoặc C 2;4 + 2 6 ) chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp: Cho tam giác ABC có AB = 5 , C ( −1; −1) , đường thẳng AB : x + 2 y − 3 = 0 . Trọng tâm G thuộc đường thẳng d : x + y − 2 = 0 . Tìm tọa độ của A, B. ĐS: A ( 4; −1/ 2 ) , B ( 6; −3 / 2 ) hoặc B ( 4; −1/ 2 ) , A ( 6; −3 / 2 ) GSTT.VN - 2013: Cho tam giác ABC có M(0;-1) nằm trên cạnh AC. Biết AB=2AM, đường phân giác trong góc A là d : x − y = 0 , đường cao đi qua đỉnh C là d ' : 2 x + y + 3 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.  1  ĐS: A (1;1) , B ( −3; −1) , C  − ; −2   2   = 135o , đường cao BH : 3 x + y + 10 = 0 , Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2013: Cho tam giác ABC có BAC 1 3 trung điểm của cạnh BC là M  ; −  và trực tâm H(0;-10). Biết tung độ của điểm B âm. Xác định tọa 2 2 độ các đỉnh của tam giác ABC. Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2013: Cho tam giác ABC có trực tâm H, BC : x − y + 4 = 0 , trung điểm của cạnh AC là M(0;3), đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại N(7;-1). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2013: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2), điểm M(-2;1) nằm trên đường cao kẻ từ A. Đường thẳng BC có phương trình x − y − 1 = 0 . Tìm tọa độ điểm B biết xB > 0 và diện tích tam giác ABC bằng 24. ĐS: B(7;6) chuyên ĐH Vinh - 2013: Cho tam giác ABC có A(-1;-3), B(5;1). Điểm M nằm trên đoạn thẳng BC sao cho MC=2MB. Tìm tọa độ điểm C biết rằng MA = AC = 5 và đường thẳng BC có hệ số góc là một số nguyên. ĐS: C(-4;1)  2 10  Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho tam giác ABC có A(1;2), trọng tâm G(1;1) và trực tâm H  ;  . 3 3  Tìm tọa độ hai đỉnh B và C của tam giác. ĐS: B(-1;0) và C(3;1) Hồng Quang - Hải Dương - 2014: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2. Phương trình của đường thẳng AB là x − y = 0 . Điểm M(2;1) là trung điểm của cạnh BC. Tìm tọa độ trung điểm N của cạnh AC. ĐS: B(3;2) và C(1;0) Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc - 2014: Cho tam giác ABC có đỉnh C(5;1), M là trung điểm của BC, điểm B thuộc đường thẳng d : x + y + 6 = 0 . Điểm N(0;1) là trung điểm của AM, điểm D(-1;-7) không nằm trên đường thẳng AM và khác phía với A so với đường thẳng BC, đồng thời khoảng cách từ A và D tới đường thẳng BC bằng nhau. Xác định tọa độ các điểm A, B. ĐS: B(-3;-3) và A(-1;3) MATH.VN Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế 8 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng www.MATHVN.com ( ) chuyên Nguyễn Đình Chiểu - Đồng Tháp - 204: Cho tam giác ABC có A 0;2 3 , B ( −2;0 ) , C ( 2;0 ) và BH là đường cao. Tìm tọa độ của điểm M, N trên đường thẳng chứa đường cao BH sao cho ba tam giác MBC, NBC và ABC có chu vi bằng nhau.  −8 + 24 3 24 + 6 3   −8 − 24 3 −24 + 6 3  ĐS: M  ; ;  , N    13 13 13 13     chuyên ĐH Vinh - 204: Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B là x + 3y − 18 = 0 , phương trình đường thẳng trung trực của BC là 3x + 19 y − 279 = 0. Đỉnh C thuộc đường  = 135o. thẳng d : 2 x − y + 5 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng BAC ĐS: A(4;8) chuyên Lý Tự Trọng - Cần Thơ - 2014: Cho tam giác ABC có H(1;1) là chân đường cao kẻ từ đỉnh A. = . Tìm tọa độ các điểm A, B, C. Điểm M(3;0) là trung điểm của cạnh BC và BAH HAM = MAC ( ) ĐS: A 1 ± 3;1 ± 2 3 , B ( −1;2 ) , C ( 7; −2 ) ĐHSP Hà Nội - 2014: Cho tam giác ABC có AC>AB, C(6;0) và hai đường thẳng d : 3 x − y − 10 = 0 , ∆ : 3 x + 3 y − 16 = 0. Biết rằng đường thẳng d chứa đường phân giác trong của góc A, đường thẳng ∆ vuông góc với cạnh AC và ba đường thẳng ∆ , d và trung trực của cạnh BC đồng qui tại một điểm. 4 2 ĐS: B  ;   3 3 chuyên ĐH Vinh - 204: Cho tam giác ABC có M(2;1) là trung điểm cạnh AC, điểm H(0;-3) là chân đường cao kẻ từ A, điểm E(23;-2) thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C. Tìm tọa độ điểm B biết điểm A thuộc đường thẳng d : 2 x + 3 y − 5 = 0 và điểm C có hoành độ dương. ĐS: B ( −3; −4 ) Nguoithay.vn - 2014: Cho tam giác ABC có A(1;5), điểm B nằm trên đường thẳng d1 : 2 x + y + 1 = 0 và chân đường cao hạ từ đỉnh B xuống đường thẳng AC nằm trên đường thẳng d2 : 2 x + y − 8 = 0 . Biết M(3;0) là trung điểm của cạnh BC. Tìm tọa độ của các điểm B và C. 1.2. Viết phương trình đường thẳng D09: Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7 x − 2 y − 3 = 0, 6 x − y − 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC. ĐS: AC : 3 x − 4 y + 5 = 0 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An: Cho tam giác ABC có trực tâm H ( −1;4 ) , tâm đường tròn ngoại tiếp là I ( −3;0 ) và trung điểm của cạnh BC là M ( 0; −3) . Viết phương trình đường thẳng AB biết B có hoành độ dương. ĐS: AB : 3 x + 7 y − 49 = 0 chuyên Hà Nội - Amsterdam: Cho tam giác ABC và điểm M ( 0; −1) . Phương trình đường phân giác trong của góc A và đường cao kẻ từ C lần lượt là x − y = 0; 2 x + y + 3 = 0 . Đường thẳng AC đi qua M và AB = 2AM. Viết phương trình cạnh BC. ĐS: BC : 2 x + 5 y + 11 = 0 Toán học & Tuổi trẻ - 2013: Cho tam giác ABC có C(5;4), đường thẳng d : x − 2 y + 11 = 0 đi qua A và song song với BC, đường phân giác trong AD có phương trình 3x + y − 9 = 0 . Viết phương trình các cạnh còn lại của tam giác ABC. ĐS: AC : x + 2 y − 13 = 0, BC : x − 2 y + 3 = 0, AB : 2 x − y + 4 = 0 MATH.VN Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế 9 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng www.MATHVN.com Toán học & Tuổi trẻ - 2014: Cho tam giác ABC có A(-1;3), trọng tâm G(2;2). Biết điểm B, C lần lượt là thuộc các đường thẳng d : x + 3 y − 3 = 0 và d ' : x − y − 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A có hệ số góc dương sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến ∆ là lớn nhất. ĐS: ∆ : 3 x − y + 6 = 0 chuyên Nguyễn Đình Chiểu - Đồng Tháp - 2014: Cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH là x = 3 3. Phương trình đường phân giác trong góc  ABC ,  ACB lần lượt là x − 3 y , x + 3 y − 6 3 = 0. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A có tung độ dương. ĐS: AC : y + 3x − 18 = 0, BC : y = 0, AB : y − 3x = 0 2. Tam giác cân 2.1. Tìm tọa độ của điểm  = 90o . Biết M(1; –1) là trung điểm cạnh BC và G ( 2 / 3; 0 ) là B03: Cho tam giác ABC có AB = AC , BAC trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. ĐS: A(0; 2), B(4; 0), C(–2; –2) B09: Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(–1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆: x − y − 4 = 0 . Xác định toạ độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.  11 3   3 5   3 5   11 3  ;  , C  ; −  hoặc B  ; −  , C  ;   2 2 2 2 2 2  2 2 ĐS: B  A10: Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; –3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. ĐS: B(0; –4), C(–4; 0) hoặc B(–6; 2), C(2; –6)  4 1  3 3 x − 2 y − 4 = 0 và phương trình đường thẳng BG là 7 x − 4 y − 8 = 0 .Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. A05(dự bị): Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G  ;  , phương trình đường thẳng BC là ĐS: A(0; 3), B(0; –2), C(4; 0) chuyên Lý Tự Trọng - Cần Thơ: Cho tam giác ABC cân tại B, có AB : 3x − y − 2 3 = 0 . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(0 ; 2). Điểm B thuộc trục Ox. Tìm tọa độ điểm C. ĐS: C ( 3 − 1;1 − 3 ) Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An: Cho tam giác ABC cân tại A có AB : x + 2 y − 2 = 0; AC : 2 x + y + 1 = 0 , điểm 

M(1 ; 2) thuộc đoạn BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho DB. DC nhỏ nhất. ĐS: D(0 ; 3) Nguyễn Đức Mậu - Nghệ An: Cho tam giác ABC cân tại A, đỉnh B thuộc d : x − 4 y − 2 = 0 , cạnh AC song song với d. Đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình x + y + 3 = 0 , điểm M(1 ; 1) nằm trên AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. ĐS: A ( 0; −3) , B ( 2 / 3; −1 / 3) , C ( −8 / 3; −11 / 3) chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2013: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của AB.  11 5   13 5  Biết rằng I  ;  và E  ;  lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trọng tâm tam  3 3  3 3 giác ADC. Các điểm M(3;-1), N(-3;0) lần lượt thuộc các đường thẳng DC, AB. Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết A có tung độ dương. ĐS: A ( 7;5) , B ( −1;1) , C ( 3; −3) MATH.VN Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - THPT chuyên Quốc Học Huế 10