Nội dung

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01. VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN [Link khóa học: Toán cơ bản và Nâng cao 11] I. CÁC QUY TẮC VÉC TƠ
Quy tắc véc tơ đối :











  Với mọi hai điểm A, B cho trước ta luôn có AB = − BA ⇔ AB + BA = 0
Quy tắc cộng véc tơ : Cho trước hai điểm A, B. Với mọi các điểm M1, M2...Mn ta luôn có hệ thức sau:
























 AB = AM1 + M1M 2 + M 2 M 3 + ... + M n B
Quy tắc trừ hai véc tơ :









 Cho trước hai điểm A, B. Với mọi điểm M ta luôn có AB = MB − MA
Quy tắc hình bình hành :








 AB + AD = AC Cho hình bình hành ABCD, khi đó





 AB = DC
Quy tắc trung tuyến: Cho hai điểm A, B. Nếu M là trung điểm của AB thì ta có






  MA + MB = 0 hệ thức 







  AM + BM = 0
Quy tắc trung tuyến: Cho tam giác ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm









 AB + AC = 2AM của BC và AC. Khi đó








 BA + BC = 2BN
Quy tắc trọng tâm: Cho tam giác ABC có trọng tâm G như hình vẽ.








  GA + GB + GC = 0  Khi đó ta có 


 2







  AG = AM = 2GM 3  Nhận xét:







 + Với mọi điểm I thì ta luôn có IA + IB + IC = 3IG + Điểm G được gọi là trọng tâm tứ diện ABCD khi











  GA + GB + GC + GD = 0 Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Xác định các điểm M, N thỏa mãn:












 a) AM = AB + AC + AD











 b) AN = AB + AC − AD Hướng dẫn giải: Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG












 a) AM = AB + AC + AD








Gọi I là trung điểm của BC, khi đó AB + AC = 2AI
Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có











 2AI = AJ  → AB + AC = AJ
















 Từ đó AB + AC + AD = AJ + AD = 2AE , với E là trung điểm của DJ.















 Theo bài, AM = AB + AC + AD = 2AE Vậy M là điểm đối xứng của A qua E.











 b) AN = AB + AC − AD










Theo a, ta có AB + AC = 2AI = AJ
Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có


















  → AN = AB + AC − AD = AJ − AD = DJ Vậy trong tam giác ADJ ta tạo ra hình bình hành ADJN thì điểm N thỏa mãn yêu cầu này chính là điểm cần tìm. Facebook: LyHung95 Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của MN và G1 là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh các hệ thức sau:















 1





 1





 a) AC + BD = AD + BC b) MN = AC + BD = AD + BC 2











 











 2


 c) GA + GB + GC + GD = 0 d) NA + NB + NC + ND = 4NG, ∀N.













 e) AB + AC + AD = 3AG 1 Hướng dẫn giải:











 a) AC + BD = AD + BC Sử dụng quy tắc cộng véc tơ ta có


























 AC = AD + DC → AC + BD = AD + BC + DC + CD 








  BD = BC + CD





 











 → AC + BD = AD + BC. Mà DC + CD = 0 



 1





 1





 b) MN = AC + BD = AD + BC 2 2



 1
















Chứng minh: MN = AC + BD ⇔ AC + BD = 2MN 2













 AC = AM + MN + NC Theo quy tắc cộng ta có













 BD = BM + MN + ND























  → AC + BD = AM + BM + 2MN + NC + ND







  AM + BM = 0 Theo quy tắc trung điểm ta lại có 





   NC + ND = 0









 Từ đó ta được AC + BD = 2MN  → ( dpcm ) . ( ( ( ) ( ( ( ) ) ) ) ) ( ) ( ( ) )



 1






Chứng minh: MN = AD + BC 2











 Ta có thể chứng minh tương tự như trên, hoặc sử dụng kêt quả câu a là AC + BD = AD + BC ta cũng được điều phải chứng minh. Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95











  c) GA + GB + GC + GD = 0




























 GA + GB = 2GM Theo quy tắc trung điểm trong ∆GAB và ∆GCD ta có





 → GA + GB + GC + GD = 2 GM + GN


  GC + GD = 2GN






 











  Mà G là trung điểm của MN nên GM + GN = 0  → GA + GB + GC + GD = 0.














 d) NA + NB + NC + ND = 4NG, ∀N.








 NA = NG + GA






































 NB = NG + GB Ta có








  → NA + NB + NC + ND = 4NG + GA + GB + GC + GD = 4NG    NC = NG + GC  0








 ND = NG + GD












 e) AB + AC + AD = 3AG1









Sử dụng quy tắc trung tuyến cho ∆ACD ta được AC + AD = 2AN












 Gọi I là điểm đối xứng của A qua N, khi đó 2AN = AI  → AC + AD = AI


























Ta có AB + AC + AD = AB + AC + AD = AB + AI = 2AE, với E là trung điểm của BI. ( ( ( ) ) )
Xét trong ∆ABI có BN và AE là các đường trung tuyến, giả sử BN ∩ AE = G′ thì G′ là trọng tâm ∆ABI. 2 Khi đó BG ′ = BN = BG1  → G ′ ≡ G1 . 3















 2


 2AE AB + AC + AD












 Mà AG1 = AE = = ← → AB + AC + AD = 3AG1 3 3 3 II. PHÉP PHÂN TÍCH, CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VÉC TƠ
Ba véc tơ đồng phẳng:       Cho ba véc tơ đồng phẳng a, b, c. Khi đó, tồn tại duy nhất một phép phân tích c = ma + nb .
Ba véc tơ không đồng phẳng:         Cho ba véc tơ đồng phẳng a, b, c. Khi đó, với mỗi véc tơ d thì tồn tại duy nhất một phép phân tích d = ma + nb + pc . Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hãy phân tích các véc tơ




















 SA, SB, SC, SD theo AB, AC, SO. Hướng dẫn giải:



Phân tích SA :











 1





 1


 Ta có SA = SO + OA = SO + CA = SO − AC 2 2





 1


  → SA = SO − AC 2


Phân tích SB :



















 1





 SB = SO + OB = SO + OA + AB = SO − AC + AB 2




 1





  → SB = SO − AC + AB 2


Phân tích SC :


















 


 1


  SA + SC = 2SO  → SC = 2SO − SA = 2SO −  SO − AC  2  




 1


  → SC = SO + AC 2



Phân tích SD :


















 


 1





  SB + SD = 2SO  → SD = 2SO − SB = 2SO −  SO − AC + AB  2  





 1





  → SD = SO + AC − AB 2 ( ) Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng ba véc









 tơ MN, BC, AD đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Nhận xét:









 Để chứng minh ba véc tơ MN, BC, AD đồng phẳng ta đi kiểm tra xem có đẳng thức véc tơ nào liên quan đến ba véc tơ trên hay không. Bằng trực quan hình học, ta thấy MN ở giữa BC và AD nên ta sẽ xuất phát từ véc tơ MN đi theo hai hướng là BC và AD.













 MN = MA + AD + DN Ta có 












 MN = MB + BC + CN






















  → 2MN = MA + MB + BC + AD + DN + CN      ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( )



 1





 Từ đó ta có MN = BC + AD , tức là ba véc tơ đồng 2 phẳng.






 Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác S.ABC. Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS = −2MA và trên đoạn












 1


 BC lấy điểm N sao cho NB = − NC. Chứng minh rằng ba vectơ AB, MN, SC đồng phẳng. 2 Hướng dẫn giải:



 Tương tự như ví dụ trên, chúng ta phân tích MN theo hai hướng.













 MN = MA + AB + BN, (1) Ta có 











 MN = MS + SC + CN, ( 2 ) Nhân cả hai vế của (1) với 2 rồi cộng với (2) ta được





















 3MN = 2MA + MS + 2AB + SC + 2BN + CN













  MS = −2MA 2MA + MS = 0 


 Từ giả thiết  1


 ←→ 





  2NB + NC = 0  NB = − 2 NC












 2


 1

  → 3MN = 2AB + SC ⇔ MN = AB + SC 3 3








 Vậy ba véc tơ AB, MN, SC đồng phẳng. ( ) ( ) ( ) BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH]. Cho các điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng











 a) AB + DC = AC + BD

















 b) AB + CD + EF = AF + ED + CB Bài 2: [ĐVH]. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh rằng












 a) AB + AD + AA ' = AC '















 b) A ' B ' + BC + D ' D = A ' C


























  c) Gọi O là tâm của hình hộp. Chứng minh rằng OA + OB + OC + OD + OA ' + OB ' + OC ' + OD ' = 0 Bài 3: [ĐVH]. Cho tứ diện S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.









 a) Phân tích vectơ SG theo các ba véc tơ SA, SB, SC.









 b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện S.ABC. Phân tích vectơ SD theo ba vectơ SA, SB, SC. Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG


 


 


  Bài 4: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có AA ' = a, AB = b , AC = c .







    a) Hãy phân tích các vectơ B′C , BC ′ theo các vectơ a, b, c .



    b) Gọi G′ là trọng tâm tam giác A′B′C′. Biểu diễn véc tơ AG ′ qua các véc tơ a, b, c . Facebook: LyHung95 Bài 5: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD có trung tuyến qua đỉnh A của tam giác ABC là AN. Lấy điểm M trên AN sao cho












 AM 3 = . Phân tích véc tơ DM theo DA; DB; DC MN 7 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!