Nội dung

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này. (Tài liệu dùng chung bài 06+07+08) Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 1. y = x 2 + 16 1  trên  , 4  x 3  16 2x 3 − 16 = , y ' = 0 ↔ x3 = 8 ↔ x = 2 . x2 x2 1 434 y(2) = 12, y ( ) = , y (4) = 20 . 3 9 434 1 khi x = . ⇒ min y = 5 min y = 12 khi x = 2, m ax y = x∈R 1  1  9 3 x∈ ;4 x∈ ;4  Ta có: y ' = 2x − 3  3  4 2. y = 2 s inx − sin 3 x, x ∈ [ 0, π ] 3 Ta có: y ' = 2cosx − 4sin 2 x.cosx = 2cosx(1 − sin 2 x) = 4 cos x.cos2x π  x=   cosx = 0 2 y'= 0 ⇔  ↔  cos2x = 0 x = π  4 π 2 π 2 2 y( ) = , y( ) = , y (0) = 0, y (π ) = 0 2 3 4 3 → min y = 0 khi x = 0 hoặc x = π . x∈[ 0,π ] max y = x∈[ 0,π ] 2 2 π khi x = . 3 4 3. y = 3x + 10 − x 2 TXð: D=  − 10, 10  y' = 3− x 10 − x 2 = 3 10 − x 2 − x 10 − x 2 x ≥ 0 , y’ = 0 ↔ 3 10 − x 2 = x ↔  ↔ x = 3.  x = ±3 y(3) = 10, y (− 10) = −3 10, y ( 10) = 3 10 . → min y = 3 10 khi x = 10 , max y = 10 x∈− 10, 10  x∈ − 10, 10  khi x = 3 . 4. y = 5 − 4 x trên [ − 1;1] Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Ta có: y ' = −2 < 0 ∀x ∈ [ −1,1] 5 − 4x x -1 y’ y 3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 1 1 min y = 1 khi x = 1 ; max y = 3 khi x = −1 x∈[ −1,1] x∈[ −1,1] 5. y = 3 + x 2 − 2x + 5 TXð: R y' = x −1 x − 2x + 5 x y’ y 2 ; y’= 0 ↔ x = 1. −∞ 1 - 0 ∞ + 5 ⇒ min y = 5 khi x = 1 x∈R Hàm số không có giá trị lớn nhất.  π 6. y = x + cos 2 x, x ∈  0,   6  π y ' = 1 − 2cosx.s inx = 1 − sin 2x > 0 ∀x ∈  0,   6 0 x y’ π 6 + π 6 y 3 4 1 min y = 1 khi x = 0, max y =  π x∈ 0,   6 +  π x∈0,   6 π 6 + 3 π khi x = . 4 6 7. y = x 6 + 4(1 − x 2 )3 trên [ −1,1] . y ' = 6 x5 + 12(1 − x 2 ) 2 .( −2x) = 6x  x 4 − 4(1 − x 2 ) 2  x = 0  y' = 0 ↔  4 2 2 x = 4(1 − x 2 ) 2 ↔ x 2 = 2(1 − x 2 ) ↔ x 2 = ⇔ x = ±  3 3 y(0) = 4, y (− 2 4 2 4 ) = , y ( ) = , y (−1) = 1, y (1) = 1. 3 9 3 9 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương → min y = x∈[ −1,1] Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 4 khi x = ± ; max y = 4 khi x = 0. 3 x∈[−1,1] 9 Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 3cos 4 x + 4sin 2 x 3sin 4 x + 2cos 2 x TXð: IR 1. y = ðặt sin2x = t, t ∈ [ 0,1] . Khi ñó bài toán ↔ Tìm max, min của hàm ϕ (t ) = Ta có: ϕ '(t ) = 1 3 8 3 2 − 6t ( 3t − 2t + 2 ) 2 3 2 ϕ ( ) = , ϕ (0) = , ϕ (1) = + min ϕ (t ) = t∈[ 0,1] 2 , ϕ '(t ) = 0 ↔ t = 3(1 − t )2 + 4t 3t 2 − 2t + 3 = trên [ 0,1] 3t 2 + 2(1 − t ) 3t 2 − 2t + 2 1 . 3 4 . 3 4 π 4 khi t = 1 → min y = ↔ sin2x = 1 ↔ x = + kπ , k ∈ Z . 3 2 3 x∈IR 1 8 1 1 8 + m axϕ (t ) = khi t = → max y = ↔ sin2x = ↔ x = arcsin + k 2π , k ∈ Z . 3 3 3 3 3 x∈IR t∈[0,1] 2. y = 2 + s inx + cosx+2 1 + s inx + cosx + sin xcosx π ) = t , t ∈  − 2, 2  . 4 Khi ñó bài toán ↔ Tìm max, min của hàm 2.sin( x + ðặt sinx + cosx = ϕ (t ) = 2 + t + 2. t 2 + 2t + 1 = 2 + t + 2. (t + 1) 2 = 2 + t + 2. t + 1 trên  − 2, 2  . 1 khi t = −1  Ta có: ϕ (t ) =  2 + t + 2 ( t + 1) khi − 1 < t ≤ 2   2 + t − 2 ( t + 1) khi − 2 ≤ t < −1 0 khi t = −1  ⇒ ϕ '(t ) = 1 + 2 khi − 1 < t ≤ 2  1 − 2 khi − 2 ≤ t < −1 ( ) ϕ (−1) = 1; ϕ − 2 = 4 − 2 2; ϕ ( 2) = 4+ 2 2 π  x = − + k 2π  ⇒ min ϕ (t ) = 1 khi t = -1. Do ñó min y = −1 khi sin x + cos x = −1 ⇔ (k ∈ Z ) 2 x∈R  t∈ − 2 ; 2   x = π + k 2π π max ϕ (t ) = 4 + 2 2 khi t = 2 . Do ñó max y = 4 + 2 2 khi sin x + cos x = 2 ⇔ x = + k 2π , k ∈ Z . x∈R t∈ − 2 ; 2  4 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ðề tốt nghiệp: ðề 2012: Tìm các giá trị của tham số m ñể giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x − m2 + m trên ñoạn [0; 1] x +1 bằng -2. Giải: Trên ñoạn [0; 1], ta có f '( x) = m2 − m + 1 ( x + 1)2 Mà m 2 − m + 1 > 0, ∀m ∈ R ⇒ f '( x) > 0 . Nên hàm số ñồng biến trên [0; 1]. Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0; 1] là f (0) = −m 2 + m  m = −1 min f ( x) = −2 ⇔ −m 2 + m = −2 ⇔  [0;1] m = 2 4 Tốt nghiệp 2004: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 sin x − sin 3 x trên ñoạn [0 ; π]. 3 4 Cách 2: ñặt sin x = t , t ∈ [ 0;1] khi ñó y = 2t − t 3 t ∈ [ 0;1] . 3 Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 4 -