Nội dung

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG Kí hiệu Tên gọi ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Diễn giải 1 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN ----- oOo -----  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: I- MỘT SỐ CÔNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG SỬ DỤNG: A c A ha b H hc hb C a M B b c G Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba đường trung 2 tuyến, và AG  AM . 3 R C a B A A b c O I r C B Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm ba Tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm đường cao. ba đường trung trực. 1. Tam giác vuông ABC vuông tại A:  Hệ thức lượng: B a C Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong. A A B  AC sin = BC AB BC AC tan = AB AB AC C B cos = H C M  Nghịch đảo đường cao bình phương:  Độ dài đường trung tuyến AM = cot =  Công thức khác: AB.AC = AH.BC 1 1 1  2  2 AH AB AC 2 1 BC 2 BA2 = BH.BC CA2 = CH.CB  Định lí Pitago: BC2 = AB2 + AC2  Diện tích: S = 1 AB.AC 2 2. Các công thức đặc biệt:  Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2  3 4  Chiều cao tam giác đều: h = cạnh   Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh  2 3. Hệ thức lượng trong tam giác:  Định lí Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB  Định lí sin: 3 2 c2 = a2 + b2 - 2abcosC a b c   2 R sin A sin B sin C 4. Các công thức tính diện tích tam giác ABC: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tương ứng là a, b, c; chiều cao tương ứng với các góc A, B, C là ha, hb, hc; r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ABC; Gọi S là diện tích ABC: 1 1 1 aha  bhb  chc 2 2 2 abc S= 4R S= 1 1 1 bc sin A  ac sin B  ab sin C 2 2 2 a b c  S = p ( p  a )( p  b)( p  c) (với p = ) 2 S=  S = pr 5. Diện tích các hình đặc biệt khác: 1 (chép dài  chéo ngắn) 2 1  Hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé)  chiều cao 2  Hình vuông: S = cạnh  cạnh  Hình thoi: S =  Hình chữ nhật: S = dài  rộng  Hình tròn: S = R2 6. Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet: 2  Hình bình hành: S = đáy  chiều cao ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 A B N A C M M P  ABC ∽MNP nếu chúng có hai góc tương ứng bằng nhau.  Nếu ABC ∽MNPthì N C B AM AN MN   AB AC BC AB MN  AC MP II- MỘT SỐ HÌNH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THƯỜNG SỬ DỤNG: Hình chóp có mp(SAB)  (ABC) Hình chóp tứ giác đều S Hình chóp tam giác đều S S A B H C A B C G I A C D Hình chóp S.ABC có cạnh bên vuông góc mặt đáy. B Hình chóp S.ABC có ba cạnh bên tạo với đáy một góc . Lăng trụ thường A' C' S S B' C A  A  A C C I  B B B Lăng trụ đứng A' Hình hộp chữ nhật Hình hộp thường C' B' B' C' C' B' D' A' D' A' B C C A C B A B * Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. A D D * Chú ý: Hình lập phương là hình hộp có 6 mặt là hình vuông. III- MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG: 1. Moät soá phöông phaùp chöùng minh trong hình hoïc khoâng gian:  Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng: ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 3 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 Phöông phaùp: Trình baøy baøi giaûi: Ñeå chöùng minh ñöôøng thaúng  vuoâng goùc mp(P) ta chöùng minh  vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng   a  (P ) Ta coù:  thaúng a, b caét nhau naèm trong mp(P).   b  (P )    (P) a A b P  Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: Phương pháp: Trình bày bài giải: Để chứng minh đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d ta chứng minh  vuông góc với mp(P) chứa d. Ta có:   (P)  d  d d P  Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Phương pháp: Trình bày bài giải: Để chứng minh mp(Q)  mp(P) ta chứng minh mp(Q) chứa một đường thẳng  vuông góc mp(P).    ( P) Ta có:  Q    (Q )   (Q)  (P) P 2. Hai định lí về quan hệ vuông góc:  Định lí 1: Nếu mp(P) và mp(Q) cùng vuông góc  Định lí 2: Cho mp(P) vuông góc mp(Q). Một với mp() thì giao tuyến (nếu có) của chúng vuông đường thẳng d nằm trong mp(P) vuông góc với góc mp(). giao tuyến  của (P) và (Q) thì d vuông góc mp(Q). P  Q P d  Q 3. Góc: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng  và mp() là góc Góc giữa hai mặt phẳng () và () là góc giữa hai giữa  và hình chiếu ' của nó trên mp(). đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (), () và cùng vuông góc với giao tuyến. 4 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 Q d' I P d    '  Trình bày bài giải: H  ( P )  (Q )    Ta có  ( P)  d    (Q)  d '     Trình bày bài giải:  Ta có ' là hình chiếu của  trên mp()  Suy ra: ((P),(Q)) = (d,d') =   Suy ra: (,()) = (,') =  4. Khoảng cách: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: phẳng song song: Khoảng cách giữa hai đường thẳng  và ' chéo nhau là Khoảng cách giữa đường thẳng  và độ dài đoạn vuông góc chung của  và ' và bằng với mp() song song với nó là khoảng cách khoảng cách giữa  và mp() chứa ' và song song với . M  A từ một điểm M trên  đến mp(). M  H H   N '  Trình bày bài giải:  Trình bày bài giải: d(,()) = d(M,()) = MH d(,') = d(,()) = d(A,()) = AH 5. Định lí ba đường vuông góc, công thức diện tích hình chiếu: A d S d' C H  A' S'   Gọi d' là hình chiếu của d trên (). Ta có:   d'    d  Ghi chú:  B S' = Scos .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 5 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 §1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN I - KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP:  Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp) kể cả hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.  Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt)ï. B' ... hai điểm M, N không phải là điểm trong của khối chóp. S C' D' A' F' E' ... hình là phần vỏ bọc bên ngoài. Khối gồm phần vỏ bên ngoài và phần ruột đặc bên trong. N A B B C D A F E M D C II- KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN: 1. Khái niệm về hình đa diện:  Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất: a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung. b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.  Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện. Đỉnh Cạnh Mặt 2. Khái niệm về khối đa diện:  Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.  Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.  Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy. 6 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 d Mieà n ngoaø i Ñieå mtrong N Ñieå mngoaø i M III- HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU: 1. Phép dời hình trong không gian: Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M' xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian. Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý. * Một số phép dời hình trong không gian:  a) Phép tịnh tiến theo vectơ v : M' Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M' sao cho  MM ' v . v M b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P): Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M' sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM'. Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H) M I P M' c) Phép đối xứng qua tâm O: Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M' sao cho O là trung điểm MM'. Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H) d) Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục ): Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng  thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc  thành điểm M' sao cho  là đường trung trực của MM'. Nếu phép đối xứng trục  biến hình (H) thành chính nó thì  được gọi là trục đối xứng của (H) M' O M I M' M * Nhận xét:  Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình. ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 7 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12  Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H'), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H'). 2. Hai hình bằng nhau: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.  Ví dụ: Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình: phép tịnh tiến theo vectơ v và phép đối xứng tâm O hình (H) biến thành hình (H''). Ta có: hình (H) bằng hình (H''). D' v D C'' A' B' B A C C' O A'' B'' (H') (H'') (H) IV- PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN: Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện (H). D'' (H1) Ví dụ: Ta có thể chia khối hộp chữ nhật thành hai khối lăng trục đứng. (H) (H2)  Ghi chú: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Phân chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác. Bài 2: Phân chia khối lập phương thành năm khối tứ diện. Bài 3: Phân chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau. CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 8 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 §2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU I- KHỐI ĐA DIỆN LỒI: Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi. * Chú ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó.  II- KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU: Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây: a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh. b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q}. Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là: Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt {3; 3} Tứ diện đều 4 6 4 {4; 3} Lập phương 8 12 6 {3; 4} Bát diện đều 6 12 8 {5; 3} Mười hai mặt đều 20 30 12 {3; 5} Hai mươi mặt đều 12 30 20  Ghi chú: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 9 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều. Bài 2: Cho hình bát diện đều ABCDEF. Chứng minh rằng: a) Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b) ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông. CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. 10 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 §3. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN I- KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN: Có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn tính chất sau: a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1. b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V( H1 ) V( H 2 ) . c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì V( H ) V( H1 )  V( H 2 ) . Số dương V (H) nói trên được gọi là thể tích khối đa diện (H) hay thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H). Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị. II- THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT VÀ LĂNG TRỤ: 1. Thể tích khối hộp chữ nhật: Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó. c Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c thì thể tích của nó là: V = abc b a 2. Thể tích khối lăng trụ: A' Thể tích khối lăng trụ có diện tích đa giác đáy Sđ và chiều cao h là: h B' B' A' C' C' D' V = Sđ x h h A SABC B A H C VABC.A'B'C' = SABC x h D B SABCD VABCD.A'B'C'D' =SABCD x h C III- THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: S Thể tích khối chóp có diện tích đáy S đ và chiều cao h là: 1 V= Sđ x h 3 h A B SABCD D C 1 VS.ABCD = SABCD x h 3  Trình bày bài giải bài toán tính thể tích:  Vẽ hình, xác định các giả thiết;  Xác định, chứng minh đường cao và tính chiều cao tương ứng;  Xác định và tính diện tích mặt đáy;  Áp dụng công thức thể tích, tính thể tích khối đa diện tương ứng. Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có mặt đáy là hình vuông cạnh a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60 0. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 11 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu của đỉnh A' lên mặt đáy (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa A'A với mp(ABC) bằng 60 0. Tính thể tích khối lăng trụ. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví duï 3: Cho hình choùp S.ABC coù maët ñaùy laø tam giaùc ABC vuoâng taïi B, caïnh BC = a, SA = a 2 vaø vuoâng goùc maët ñaùy. Goùc giöõa caïnh beân SC vaø maët ñaùy laø 450. a) Tính theå tích khoái choùp S.ABC. b) Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(SBC). Giaûi: 12 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... IV- COÂNG THÖÙC TÆ SOÁ THEÅ TÍCH ÑOÁI VÔÙI HÌNH CHOÙP TAM GIAÙC: S Cho hình choùp S.ABC. Treân caùc ñoaïn thaúng SA, SB, SC laàn löôït laáy ba ñieåm A', B', C' khaùc vôùi S. Ta coù tæ soá theå tích: C' VS.A'B'C' SA' SB' SC '  . . VS.ABC SA SB SC A' * Ñaëc bieät: Neáu A'  A ta coù: A B' C B VS.A'B'C' SB ' SC '  . VS.ABC SB SC Ví duï: Cho hình choùp ñeàu S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy laø 60 0. Ñöôøng thaúng qua troïng taâm G tam giaùc ABC vaø song song caïnh BC caét hai caïnh AB, AC laàn löôït taïi M, N. Tính tæ soá theå tích cuûa hai khoái töù dieän SAMN vaø SABC; töø ñoù suy ra theå tích khoái choùp S.MNCB. Giaûi: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 13 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Ghi chuù: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 14 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài 2: Cho khối hộp MNPQ.M'N'P'Q' có thể tích V. Tính thể tích của khối tứ diện P'MNP theo V. 1 3 Bài 3: Trên cạnh PQ của tứ diện MNPQ lấy điểm I sao cho PI  PQ . Cho biết tỉ số thể tích của hai khối tứ diện MNIQ và MNIP. Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a. Bài 5: Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a. CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 15 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 * ÔN TẬP CHƯƠNG I * ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau. Tính tỉ số thể tích của chúng. Bài 2: Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một và OA = OB = OC = a. Tính thể tích khối tứ diện OABC. Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mp(SBC) trong các trường hợp sau: 16 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 a) Tam giác ABC vuông tại B và AC = 5a, BC = 3a và SA = a. b) Tam giác ABC đều cạnh a và góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là 600. c) Tam giác ABC vuông tại C, AB = 5a, BC = 3a và góc giữa cạnh SC và mp(ABC) là 450. Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) trong các trường hợp sau: a) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. b) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. c) Góc ASB = 600. Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB)  (ABC), gọi H là trung điểm AB. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ H đến mp(SAC) trong các trường hợp sau: a) Tam giác ABC và SAB là hai tam giác đều cạnh a 3 . b) Tam giác ABC vuông tại C có AC = a 2 , BC = a và SAB vuông cân tại S. c) Tam giác SAB đều cạnh 3a, tam giác ABC cân tại C và góc giữa cạnh SC với mặt đáy là 450. Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại A, mặt bên BB'C'C là hình vuông có diện tích bằng 2a2. Tính thể tích của khối lăng trụ. Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu vuông góc với A' lên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0. Đỉnh A' cách đều các đỉnh ABCD. Tính thể tích khối hộp. Bài 9: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) trùng với trung điểm AG với G là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 10: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính tỉ số thể tích giữa các khối tứ diện AMND và ABCD, từ đó suy ra thể tích hai khối đa diện AMND, DMNCB trong các trường hợp sau: a) M, N lần lượt là trung điểm BC, BD. b) M là trung điểm AB, N nằm giữa A và C sao cho NA = 2NC. Bài 11: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và H là trung điểm cạnh AB. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC và thể tích khối tứ diện SAGB. b) Tính khoảng cách từ C và G đến mp(SAB). c) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện SAHC và SHCB. Bài 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó. Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = a, AD = b, SA = c. Lấy các điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB' vuông góc với SB, AD' vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'. Bài 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF. Bài 15: Cho hình lăng trụ tam giác đứng ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. a) Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C. b) Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp C.A'B'FE. Bài 16: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB' và DD'. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó. Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm của A'B', N là trung điểm của BC. a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN. b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H') là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số giữa V(H) và V(H'). CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI ............................................................................................................................................................................................................................................................. ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 17 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 18 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU ----- oOo -----  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Đường tròn: A  Tất cả các điểm A nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc vuông đều nằm trên đường tròn đường kính BC.  Đường tròn (C) bán kính r có: Chu vi: C = 2r. Diện tích: S = r2. B C O 3. Diện tích xung quanh và thể 4. Diện tích xung quanh và thể 5. Diện tích mặt cầu và thể tích tích của hình trụ: tích hình nón: hình cầu: r M h h r l r O r Hình nón có bán kính đường Hình trụ có bán kính đường Mặt cầu bán kính r có diện tích tròn đáy r, độ dài đường sinh l và tròn đáy r và chiều cao h có diện và thể tích hình cầu tương ứng tích và thể tích được tính theo chiều cao h có diện tích và thể được tính theo công thức: tích được tính theo công thức: công thức: S = 4r2 S = rl xq Sxq = 2rh 4 3 1 V= r V = r2h V = r 2 h 3 3 6. Diện tích toàn phần:  Diện tích toàn phần của một hình đa diện là tổng diện tích của tất cả các mặt đa diện đó.  Diện tích toàn phần của hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.  Diện tích toàn phần của hình nón là tổng diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy.  Ghi chú: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 19 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 §1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY I- SỰ TẠO THÀNH MẶT TRÒN XOAY: Trong không gian cho mp(P) chứa đường thẳng  và đường cong l. Khi quay mp(P) quanh  một góc 3600 thì mỗi điểm M trên l vạch ra một đường tròn có tâm thuộc  và nằm trên mặt phẳng vuông góc với . Như vậy khi quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng  thì đường l sẽ tạo nên một hình được gọi là mặt tròn xoay.  Đường l được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay.  Đường thẳng  được gọi là trục của mặt tròn xoay. II- MẶT NÓN TRÒN XOAY: 1. Định nghĩa: Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và  cắt nhau và tạo thành một góc  với 00 <  < 900. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh  thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O, gọi tắt là mặt nón. O  Đường thẳng  gọi là trục.   Đường thẳng d gọi là đường sinh.  Góc 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón. d 2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay: a) Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.  Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón.  Điểm O gọi là đỉnh của hình nón.  Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón (OI = khoảng cách từ O đến mặt đáy).  Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón.  Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh trục OI gọi là mặt xung quanh của hình nón đó. 20 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 b) Khối nón tròn xoay hay khối nón là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón. Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng. c) Diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón: Gọi S đ, Sxq, V lần lượt là diện tích hình tròn đáy, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có:  Chiều cao: h  Bán kính hình tròn đáy: r  Độ dài đường sinh: l O h l Sxq = rl 1 1 V = Sđ x h = r 2 h 3 3 I r M Ví dụ: Trong không gian cho tam giác vuông OIM vuông tại I, góc IOM bằng 30 0 và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó. b) Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo bởi hình nón tròn xoay nói trên. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... III- MAËT TRUÏ TROØN XOAY: 1. Ñònh nghóa: Trong maët phaúng (P) cho hai ñöôøng thaúng  vaø l song song vôùi nhau, caùch nhau moät khoaûng baèng r. Khi quay maët phaúng (P) xung quanh  thì ñöôøng thaúng l sinh ra moät maët troøn xoay ñöôïc goïi laø maët truï troøn xoay, goïi taét laø maët truï. r l  Ñöôøng thaúng  goïi laø truïc.  Ñöôøng thaúng l laø ñöôøng sinh. r   r laø baùn kính cuûa maët truï ñoù. 2. Hình truï troøn xoay vaø khoái truï troøn xoay: a) Ta xeùt hình chöõ nhaät ABCD. Khi quay hình chöõ nhaät ABCD xung quanh ñöôøng thaúng chöùa moät caïnh naøo ñoù, chaúng haïn caïnh AB thì ñöôøng gaáp khuùc ADCB seõ taïo thaønh moät hình goïi laø hình truï troøn xoay, hay goïi taét laø hình truï. ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----21 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12  Khi quay quanh AB, hai caïnh AD vaø BC seõ vaïch ra hai hình troøn baèng nhau goïi laø hai ñaùy cuûa hình truï, baùn kính cuûa chuùng goïi laø baùn kính cuûa hình truï.  Ñoä daøi ñoaïn CD goïi laø ñoä daøi ñöôøng sinh cuûa hình truï.  Phaàn maët troøn xoay ñöôïc sinh ra bôûi caùc ñieåm treân caïnh CD khi quay xung quanh AB goïi laø maët xung quanh cuûa hình truï.  Khoaûng caùch AB giöõa hai maët phaúng song song chöùa hai ñaùy laø chieàu cao cuûa hình truï. b) Khoái truï troøn xoay hay khoái truï laø phaàn khoâng gian ñöôïc giôùi haïn bôûi moät hình truï troøn xoay keå caû hình truï troøn xoay ñoù. Nhöõng ñieåm khoâng thuoäc khoái truï goïi laø nhöõng ñieåm ngoaøi cuûa khoái truï. A r D Nhöõng ñieåm thuoäc khoái truï nhöng khoâng thuoäc hình truï töông öùng goïi laø nhöõng ñieåm trong cuûa khoái truï. Maët ñaùy, chieàu cao, ñöôøng sinh, baùn kính cuûa moät hình truï cuõng laø maët ñaùy, chieàu cao, ñöôøng h sinh, baùn kính cuûa khoái truï töông öùng. l c) Dieän tích xung quanh cuûa hình truï vaø theå tích cuûa khoái truï: Goïi Sñ, Sxq, V laàn löôït laø dieän tích hình troøn ñaùy, dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa hình B r truï coù: C  Chieàu cao: h Sxq = 2rl  Baùn kính: r V = Sđ x h = r2h  Ñoä daøi ñöôøng sinh: l  Ví duï: Trong khoâng gian, cho hình vuoâng ABCD caïnh a. Goïi I vaø H laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø CD. Khi quay hình vuoâng ñoù xung quanh truïc IH ta ñöôïc moät hình truï troøn xoay. a) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình truï troøn xoay ñoù. b) Tính theå tích cuûa khoái truï troøn xoay ñöôïc giôùi haïn bôûi hình truï noùi treân. Giaûi: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Ghi chuù: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... 22 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi: a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư. b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quanh quanh trục đối xứng của nó. c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông. d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh. Bài 2: Cho một hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAB bằng 60 0. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Bài 4: Một mặt phẳng đi qua trục của một khối trụ cắt khối trụ đó theo một hình vuông cạnh a. Tính theo a diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ đó. Bài 5: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó. Bài 6: Một khối trụ có chiều cao bằng 12 và bán kính đáy bằng 5. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng là 3 cắt khối trụ theo thiết diện là hình gì? Cho biết diện tích của thiết diện đó. Bài 7: Cho khối nón có chiều cao là 12, bán kính đáy là 5. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của khối nón và hai đường sinh cắt đáy theo dây cung có độ dài là 13 2 . Cho biết độ dài các cạnh và diện tích thiết diện tạo thành. Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên. b) Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên. Bài 9: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3 . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho. c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ. Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho. b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó. c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó. Bài 11: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O'; r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO' = r 3 . Một hình nón đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O; r). ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 23 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 a) Gọi S1 là diện tích xung quanh của hình trụ và S 2 là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số giữa S1 và S2. b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài 12: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2. a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng. b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC. Bài 13: Một hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy. Bài 14: Cho một mặt phẳng (P) và đường thẳng d đi qua một điểm cố định và tạo với (P) một góc  không đổi (với 00 <  < 900). Chứng minh rằng d luôn thuộc mặt nón cố định. Bài 15: Cho mặt phẳng (P) và một đường tròn tâm O trên đó. Điểm M di động trên (O). Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mp(P). Chứng minh rằng đường thẳng d luôn thuộc một mặt trụ cố định. Bài 16: Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó. Bài 17: Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mp(P). Từ những điểm M thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó. CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. 24 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 §2. MẶT CẦU I- MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU: 1. Mặt cầu: Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r.  Mặt cầu tâm O, bán kính r được kí hiệu: S(O; r) hay viết tắt là (S).  Ta có: M r O S(O; r) = {M  OM = r} Hình biểu diễn của mặt cầu daâ y cung  Nếu hai điểm CD nằm trên mặt cầu S(O; r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó. C  Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính bằng 2r. r A D B O ñöôø ng kính 2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu: Cho mặt cầu S(O; r) và một điểm A bất kì trong không gian. ñieå m naè m ngoaø i ñieå m naè m trong  Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r)  Nếu OA < r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O; r)  Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) B C O Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r. A ñieå m naè m treâ n 3. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu: vótuyeá n Ta có thể xem mặt cầu là một mặt tròn xoay tạo nên bởi nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó.  Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.  Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.  Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu A O kinh tuyeá n B II – GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG: ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 25 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính r và mặt phẳng (P). Ta có: Mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm chung Mặt cầu (S) và mp(P) có 1 điểm chung (mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)) O O r r H P H P (P)S(O; r) =   d(O, (P)) > r Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) tâm H, bán kính r' (P) S(O; r) = {H}  d(O, (P)) = r Khi đó: (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S), H gọi tiếp điểm Maët phaúng (P) ñi qua taâm O cuûa maët caàu ñöôø ng troø n lôù n O r O r M r' H C(O; r) P P (P) S(O; r) = C(H, r')  d(O, (P)) < r  Taâm H laø hình chieáu cuûa O treân Khi ñoù giao tuyeán cuûa mp(P) vaø S(O; mp(P) r) laø ñöôøng troøn C(O; r) goïi laø ñöôøng 2 2 troøn lôùn. r  [ d ( O , ( P ))]  Baùn kính r' = III – GIAO CUÛA MAËT CAÀU VÔÙI ÑÖÔØNG THAÚNG, TIEÁP TUYEÁN CUÛA MAËT CAÀU: Cho maët caàu (S) taâm O, baùn kính r vaø ñöôøng thaúng . Ta coù: Ñöôøng thaúng  khoâng caét maët Ñöôøng thaúng  caét maët caàu (S) caàu (S) taïi 2 ñieåm  O O r  H P H M N P   S(O; r) =   d(O, )) > r   S(O; r) = {M; N}  d(O, )) < r Đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu (S) tại H O r  H P Khi đó:  gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S), H gọi là tiếp điểm. * Nhận xét: 26 ----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 A A O O Qua một điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r) có vô số Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô tiếp tuyến của mặt cầu. Tất cả các tiếp tuyến này đều số tiếp tuyến với mặt cầu. Các tiếp tuyến này tạo vuông góc với bán kính OA của mặt cầu tại A và đều thành mặt nón đỉnh A. Khi đó độ dài các đoạn thẳng nằm trên tiếp diện của mặt cầu tại A. kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau. * Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện: Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình đa diện nội đa diện. Còn nói hình đa diện ngoại tiếp tiếp mặt cầu. S mặt cầu. O A B D C Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chóp S.ABCD khi và chỉ khi OA = OB = OC = OD = OS = r Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc mặt đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết AB = BC = a và SA = a 2 . Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ........................................................................................................................