Nội dung

Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Ví dụ : Tính (a) z , z 3 15i (b) z1 z2 , z1 5 i, z2 8 3i (c) z1 z2 , z1 5 i, z2 8 3i Bài giải (a) z 3 15i z 3 15i 3 15i (b) z1 z2 13 2i (c) z1 z2 5 i ( 8 3i) 5 i ( 8 3i) 13 2i z1 z2 z 13 2i 13 2i Với số phức z=a+bi, ta có z z a bi (a bi ) 2a, z z a bi (a bi ) 2bi 2.2 Môđun của số phức Cho z=a+bi, Môđun của z ký hiệu |z|, |z| a2 b2 Môđun của một số phức là số thực không âm. z là số thực (z=a+0i), | z | a 2 | a | . Vậy Môđun của một số thực chính là giá trị tuyệt đối của số ấy. | z |2 a 2 b2 a2 | z | | a | ≥ a. Tương tự | z | | b | b Các hệ thức diễn tả mối quan hệ giữa Môđun và số liên hợp của z: z.z (a bi)(a bi) a 2 b2 ⇒ z.z | z |2 |z| |z | Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 10 Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- | z| |z| z1 z2 Ví dụ:Tính z1 z2 | z2 |2 z1 z2 z2 z2 6 3i 10 8i Bài giải z1 6 3i, z2 6 3i 10 8i 10 8i, z2 10 8i,| z |2 164 60 48i 30i 24i 2 164 (6 3i)(10 8i) 164 21 9 i 41 82 Tính chất của Môđun số phức |z| 0 z 0 | z1 z2 | | z1 || z2 | z1 z2 | z1 | | z2 | Thật vậy: |z| 0 a2 b2 | z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) 0 a b 0 z 0 ( z1 z2 )( z1 z2 ) z1 z1 z2 z2 | z1 |2 | z2 |2 | z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 | z1 z2 | | z1 || z2 | Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 11 Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 2.3 Bất đẳng thức tam giác Mối quan hệ giữa Môđun số hạng và Môđun tổng hai số phức: | z1 z2 | | z1 | | z2 | Chứng minh z2 |2 ( z1 | z1 z2 |2 z1 z1 ⇒ | z1 Lưu ý rằng z2 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z1 z2 z2 z1 z2 )( z1 z2 ) z2 z2 z2 z1 Nên z1 z2 2 e( z1 z2 ) 2 | z1 z2 | 2 | z1 || z2 | 2 | z1 || z2 | z1 z1 | z1 |2 ; z2 z2 | z2 |2 | z1 z2 |2 z1 z1 z1 z2 z2 z1 | z1 |2 z1 z2 z2 z2 z2 z1 | z2 |2 | z1 |2 2 | z1 || z2 | | z2 |2 (| z1 | | z2 |) 2 Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | | z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 (giả sử | z1 | | z2 | , | z1 | | z2 | luôn z2 | | z1 | | z2 | 0 đúng) Tương tự Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 12 Complex Numbers Primer- Paul Dawkins | z1 z2 | | z2 | | z1 | - SỐ PHỨC- (| z1 | | z2 |) 0 (giả sử | z1 | | z2 |, | z1 | | z2 | luôn đúng) Do đó | z1 z2 | || z1 | | z2 || Bây giờ thay z2 bởi –z2, ta có | z1 z2 | | z1 | | z2 | | z1 z2 | || z1 | | z2 || 3.Dạng lượng giác và dạng mũ 3.1 Biểu diễn hình học của số phức Xét mặt phẳng Oxy, mỗi số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc Vectơ có tọa độ (a;b) Trục Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo, mặt phẳng trên gọi là mặt phẳng phức. Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 13 Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 3.2 Dạng lượng giác Xét số phức z=a+bi≠ 0, M(a;b) trong mặt phẳng phức. Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi là một acgumen của z. Cho z=a+bi≠ 0 |z|=r>0, θ là acgumen của z. Khi đó a r cos b r sin i sin ) : dạng lượng giác của số phức. z a bi r (cos Lưu ý r |z| z a bi, a a=0, chọn 0: 2 tan b , θ sai khác k2π, thường chọn –π<θ≤ π a . Vi dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác (a) z 1 3i (b) z= -9 (c) z=12i Bài giải Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 14 Complex Numbers Primer- Paul Dawkins (a) r=|z|= 1 3 2 3 1 , tan Không được viết: z Cũng như z (b) - SỐ PHỨC- 2 ⇒ z 3 2( cos 2(cos r 81 0 i sin 2 ) 3 i sin ) : dấu trừ trước côsin! 3 3 r 144 0 12 ⇒ z 9(cos ⇒ z (c) 2 3 i sin ) : r<0! 3 3 9 2(cos i sin ) 12(cos 2 i sin ) 2 2 3.3 Dạng mũ của số phức Công thức Euler ei cos i sin . Dùng công thức trên số phức có thể được viết dưới dạng mũ: z i sin ) rei r (cos Làm việc với số phức dạng mũ có nhiều tiện lợi : | z | | rei | | r || cos Với z≠ 0, z 1 (rei ) z1 z2 (r1ei 1 )(r2ei 2 ) z1 r1ei 1 r1 i ( 1 e z2 r2ei 2 r2 r2 i sin | 1 r 1e r1r2ei ( 1 z1 2) z2 Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com 0 cos 2 1 i( e r i 2) ) z1 z2 r1 [cos( r2 ⇒ z sin 2 1 1 [cos( r r1r2 [cos( 1 2 r 1 ) i sin( 2 1 ) i sin( ) i sin( 2 )], z2 1 )] 2 )] 0 Page 15