Nội dung

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 1 PHẦN I:MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học. Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên. Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán Khi giải toán, chắc các bạn đã không ít lần mắc phải những sai lầm đáng tiếc. Trong chuyên mục “Sai ở đâu ? Sửa cho đúng”, các bạn đã chứng kiến rất nhiều lời giải sai lầm. Nhà sư phạm toán nổi tiếng G. Polya đã nói : “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”. A.A. Stoliar còn nhấn mạnh : “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”. Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Phần Đại số là một phần kiến thức khá quan trọng. Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình… Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì tôi thấy học sinh trong quá trình vận dụng Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 2 đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình…thường gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn đề. Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng như định hướng để giải quyết một số bài toán theo hướng tư duy và suy luận lôgic. II. Mục đích của đề tài Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm ra những phương pháp giải các bài toán một cách ưu việt. đặt biệt là tránh nhưng sai sót và ngộ nhân khi giải các bài toán. III. Phạm vi nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác là Trường THCS Lý Tự Trọng. Cụ thể là các khối lớp 8, 9 và những học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi Toán của trường, của Huyện trong 8 năm qua. IV. Cơ sở nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường Đại học Quy Nhơn, Trường CĐSP Thừa Thiên Huế, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo của bộ môn Toán bậc trung học cơ sở và cả trên mang Internet. V. Phương pháp nghiên cứu Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây: – Phương pháp nghiên cứu lý luận. – Phương pháp khảo sát thực tiễn. – Phương pháp phân tích. – Phương pháp tổng hợp. – Phương pháp khái quát hóa. – Phương pháp quan sát. – Phương pháp kiểm tra. – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 3 VI. Thời gian nghiên cứu Đề tài được thực hiện từ ngày 10/6/2010 đến ngày 28/11/2010 VII. Giới hạn của đề tài Đề tài được sử dụng trong việc dạy các tiết luyện tập, phụ đạo và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối tượng là những học sinh trung bình, khá, giỏi bộ môn Toán. PHẦN II: NỘI DUNG I. CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VỀ CĂN THỨC 1. Muỗi nặng bằng voi! Ví dụ 1: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây: Gọi khối lượng con muỗi là: m (kg) m > 0 Gọi khối lượng con voi là: v (kg) v > 0 Đặt c  mv 2  m  2c  v (1)  2c  m  v (2) Nhân 2 vế của (1) với (2) ta được: m( 2c  m )  v( 2c  v )  2mc  m 2  2vc  v 2  m 2  2mc  c 2  v 2  2vc  c 2  ( m  c )2  ( v  c )2  mc  v c mv GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 4 Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!). Vậy sai lầm ở đâu? Phải chăng học sinh thường mắc phải trong suy luận: 2 2 A2 = B2  A = B Sửa lại cho đúng A  B  A  B Đây là bài toán trong sách Để học tốt Toán 8 của GS Hoàng Chúng, giới thiệu cho các em học sinh lớp 8 tham khảo, rút ra kinh nghiệm khi làm toán về hằng đẳng thức. Ví dụ 2: (Bài 16 SGK Toán 9 trang 12) Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây. Giả sử khối lượng con muỗi m(g) và khối lượng con voi V(g) Ta có: m 2 V  m 2 2 V 2  m  2m V  V 2 2 V 2  2m V  m 2  ( m  V )2  ( V  m )2  ( m  V )2  (V  m )2  m V  V  m  2m  2V  m V Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!). Ghi chú: Bài toán này cho các em thấy nếu quên kí hiệu giá trị tuyệt đối trong hằng đẳng thức: A  A thì có lúc nào đó con muỗi sẽ nặng bằng con voi. 2. Sai lầm khi học sinh không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, Ví dụ 1: +Vì A có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai. Có học sinh viết: (  4 ).(  25 )  100  10 và 4 . 25  ( 4 ).( 25 )  100  10 GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 5 ( 4 ).( 25 )  4 . 25 nên + Vì 147 147  49  7 và 3  3 Ví dụ 2: Giải bài tập sau: Tính (!) 147  49  7 nên 3 147  3 147 (!) 3 2 2010  2011 + Cách giải sai: 2 2010  2011  2010  2 2010  1  ( 2010  2 2010  1 ) 2   ( 2010  1 )  ( 2010  1 )  2010  1  !     Nguyên nhân: - Khi làm bài học sinh chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để A tồn tại. - Học sinh chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai.  Biện pháp khắc phục: - Khi dạy phần này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để A xác định, điều kiện để có: a . b  ab ; a a .  b b 3. Sai lầm khi học sinh chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số. Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: A = 2 a 2  5a ( Với a < 0 ) + Cách giải sai: A = 2 a 2  5a = 2 a  5a  2a  5a  3a ( với a < 0 ) (!) + Cách giải đúng là: A = 2 a 2  5a = 2 a  5a  2a  5a  7a ( với a < 0 ) Ví dụ 2: Tìm x, biết : 4(1  x)2 - 6 = 0 + Cách giải sai : 4(1  x)2 - 6 = 0  2 (1  x)2  6  2(1 - x) = 6  1- x = 3  x = - 2. GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 6 Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm. + Cách giải đúng: 4(1  x)2 - 6 = 0  2 (1  x)2  6  1  x = 3. Ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 1- x = 3  x = -2 2) 1- x = -3  x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x = -2 và x = 4. + Nguyên nhân: Học sinh chưa hiểu rõ về số âm và số đối của một số mà học sinh chỉ hiểu a<0 thì a  a + Biện pháp khắc phục: + Khi dạy phần này giáo viên nên củng cố lại về số âm và số đối của một số. u a 0  a , neá u a 0  a , neá + Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối: a   4. Sai lầm khi học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức: A 2  A Ví dụ: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11) Tìm x, biết: 9 x 2  12 + Cách giải sai: 9 x 2  12 Vì  9 x 2  12 9 x 2  (3x ) 2  3 x nên ta có: 3x = 12  x = 4. + Cách giải đúng: Vì 9 x 2  (3x ) 2  3 x nên ta có: 3x  12 GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 7  3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4 Ví dụ 2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5) Rút gọn biểu thức: (4  17) 2 + Cách giải sai: Học sinh A: (4  17 ) 2  4  17  4  17 Học sinh B: (4  17 )2  4  17 + Cách giải đúng: (4  17) 2  4  17  17  4 A2  A , giá + Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức trị tuyệt đối của một số âm. Ví dụ 3: Khi so sánh hai số a và b. Một học sinh phát biểu như sau: “Bất kì hai số nào cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau: Ta lấy hai số a và b tùy ý. Gỉa sử a > b . 2 Ta có : a 2  2ab  b 2  b 2  2 ab  a 2 hay  a  b    b  a   a  b Lấy căn bậc hai hai vế ta được: 2  b  a  2 (1) 2 Do đó: a  b  b  a Từ đó : 2a  2b a b Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau. Học sinh này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1) phải được kết quả: a  b  b  a chứ không thể có a - b = b- a. + Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức A2  A , giá trị tuyệt đối của một số âm. Ví dụ 4: Tìm x sao cho B có giá trị là 16. B = 16 x  16 - 9 x  9 + 4x  4 + x  1 với x  -1 GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 8 + Cách giải sai : B = 4 x  1 -3 x  1 + 2 x  1 + x 1 B = 4 x 1 16 = 4 x  1  4 = 2 2 x  1  4 = ( x  1 ) hay 16 = ( x  1) 2  16 = | x+ 1| Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1  x = 15 2) 16 = -(x+1)  x = - 17. + Cách giải đúng: B = 4 x  1 -3 x  1 + 2 x  1 + x  1 (x  -1) B = 4 x 1 16 = 4 x  1  4 = x  1 (do x  -1)  16 = x + 1. Suy ra x = 15. + Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x = 15 và x =17 nhưng chỉ có giá trị x = 15 là thoả mãn, còn giá trị x = -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x  -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.! + Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn giản bằng số cụ thể giúp cho học sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có A2 = | A|, có nghĩa là : A2 = A nếu A  0 ( tức là A lấy giá trị không âm ); A2 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ). GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 9 5. Sai lầm kỹ năng khi giải bài toán rút gọn. Ví dụ 1: Bài 47 SGK Đại số 9 tập 1 trang 27 Rút gọn: 2 x2  y2 3( x  y )2 với x  0 , y  0 , x  y. 2 Một học sinh A làm như sau: 2 2 x  y2 3( x  y )2  2 3.22 ( x  y )2 6( x  y )2 6   2 2 2 2 2 x y 2( x  y ) (x y) (x y) Một học sinh B làm như sau: 2 2 x  y2 3. x  y 3( x  y )2 2 6  .  2 ( x  y )( x  y ) x y 2 (vì x  0 , y  0 , x  y ) Vậy em học sinh nào làm sai? Em học sinh nào làm đúng? Dễ thấy em học sinh A làm sai! Ví dụ 2: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 ) Rút gọn biểu thức sau: 20  45  3 18  72 +Cách giải sai: 20  45  3 18  72  4.5  9.5  3 2.9  36.2  2 5  3 5  9 2  6 2   5  15 2  14 7 + Cách giải đúng là: 20  45  3 18  72  4.5  9.5  3 2.9  36.2  2 5  3 5  9 2  6 2  15 2  5 + Nguyên nhân: Sai lầm ở chỗ học sinh chưa nắm vững công thức biến đổi: x A  y B  z A  m   x  z  A  y B  m ( A,B  Q+ ; x,y,z,m  R ) - Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, giáo viên nhấn mạnh để học sinh khắc sâu và tránh những sai sót. GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 10