Nội dung

TRÇN Quang Thanh -k15-ppdg vËt lý -®h Vinh Methods applied "circular trigonometric resolution exercises variation" PH¦¥NG PH¸P øng dông vßng trßn l−îng gi¸c gi¶i bµi tËp dao ®éng ®iÒu hoµ TrÇn Quang Thanh K15-PPGD VËT Lý-§H VINH I. §Æt v¾n ®Ò Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y theo chñ tr−¬ng cña Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ®èi víi kú thi §H- C§ trªn toµn quèc th× mét sè m«n thi sÏ chuyÓn tõ h×nh thøc thi tù luËn sang tr¾c nghiÖm, trong ®ã VËt lý lµ mét m«n thi theo h×nh thøc nµy. Trong ch−¬ng "Dao ®éng c¬ häc" s¸ch VËt lý 12 THPT víi nhiÒu bµi to¸n cã liªn quan ®Õn c¸c ®¹i l−îng biÕn thiªn ®iÒu hoµ b¶n th©n t«i nhËn thÊy rÊt nhiÒu häc sinh khi lµm c¸c bµi tËp d¹ng nµy vÉn ch−a m¹nh d¹n tiÕp cËn víi ph−¬ng ph¸p dïng "§−êng trßn l−îng gi¸c" ®Ó gi¶i bµi tËp dao ®éng ®iÒu hoµ. Do mét sè h¹n chÕ vÒ kü n¨ng kiÕn thøc ph−¬ng ph¸p gi¶i. V× vËy, ®Ó c¸c em lµm chñ ®−îc ph−¬ng ph¸p nµy, t«i m¹nh d¹n " X©y dùng l¹i" c¸c kh¸i niÖm vµ c¸c mèi liªn hÖ vÒ "Sù t−¬ng øng gi÷a chuyÓn ®éng trßn ®Òu vµ dao ®éng ®iÒu hoµ" vµo gi¶i bµi tËp. II. Sù t−¬ng quan gi÷a chuyÓn ®éng trßn ®Òu vµ dao ®éng ®iÒu hoµ Nh− chóng ta ®N biÕt: " Mét dao ®éng ®iÒu hoµ cã thÓ ®−îc coi nh− h×nh chiÕu cña mét chuyÓn ®éng trßn ®Òu xuèng mét ®−êng th¼ng n»m trong mÆt ph¼ng quü ®¹o" V× vËy khi x©y dùng mèi t−¬ng quan, chóng ta nªn chuyÓn chuyÓn ®éng trßn ®Òu sang dao ®éng ®iÒu hoµ. V× viÖc ®−a vµo kh¸i niÖm chuyÓn ®éng trßn ®Òu ®Ó "VËt lý ho¸" ph−¬ng thøc biÓu diÔn. Thùc chÊt ®©y lµ viÖc gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c dïng c«ng cô ®−êng trßn l−îng gi¸c. 1.1. C¸c c«ng thøc gi÷a chuyÓn ®éng trßn ®Òu vµ dao ®éng ®iÒu hoµ. ChuyÓn ®éng trßn ®Òu: +) ω = +) ω = 2π T α ∆t Do vËy : ( ω : lµ tèc ®é gãc , α lµ gãc quay trong thêi gian ∆t ) 2π α = T ∆t Dao ®éng ®iÒu hoµ: +) Ph−¬ng tr×nh dao ®éng : x = A.cos (ω.t + ϕ ) +) VËt chuyÓn ®éng ra xa vÞ trÝ c©n b»ng th× chuyÓn ®éng lµ chËm dÇn: a.v < 0 ⇔ Ed ↓⇔ Et ↑ vµ ng−îc l¹i. +) Khi vËt chuyÓn ®éng trßn ®Òu trªn cung phÇn t− thø (III) vµ (IV) th× vËt dao ®éng ®iÒu hoµ ®i theo chiÒu d−¬ng. Cßn trªn cung phÇn t− thø (I) vµ (II) vËt ®i ng−îc chiÒu d−¬ng ( Víi quy −íc chiÒu d−¬ng lµ chiÒu quay ng−îc chiÒu kim ®ång hå). 1 TRÇN Quang Thanh -k15-ppdg vËt lý -®h Vinh +) Khi vËt chuyÓn ®éng trßn ®Òu ®i trªn cung phÇn t− thø (I) vµ (II) th× vËt dao ®éng ®iÒu hoµ l¹i gÇn VTCB. Cßn trªn cung (II) vµ (IV) vËt ®i ra xa VTCB. VÒ n¨ng l−îng: A2 Ph−¬ng tr×nh ®éng n¨ng vµ thÕ n¨ng: A1 B2  Ed = E0 .cos (ω.t + ϕ ) víi E0 lµ c¬ n¨ng .  2  Et = E0 .sin (ω.t + ϕ ) 2 B1 C2 C1 T¹i nh÷ng pha : α = (ω.t + ϕ ) ®Æc biÖt C3 C4 B3 α =± α= π 4 π 3 + + k .π kπ 2 B A3 A4 4 3  2 sin α = 4 ⇒ Ed = 3.Et , X¶y ra t¹i c¸c ®iÓm A1,A2,A3,A4  1 2 cos =  4 1  2 sin α = 4 ⇒ Et = 3.Ed , X¶y ra t¹i c¸c ®iÓm C1, C2, C3, C4.  cos 2 = 3  4 III. C¸c c¸ch vÏ vßng trßn l−îng gi¸c khi vËt ®i tõ vÞ trÝ x1 ®Õn vÞ trÝ x2 Thêi gian ng¾n nhÊt ®Ó vËt chuyÓn ®éng tõ vÞ trÝ x1 ®Õn vÞ trÝ x2 ®−îc tÝnh qua c«ng thøc sau: tmin = α (*) ω Trong ®ã α ®−îc tÝnh qua c¸ch vÏ vßng trßn L-G víi hµm cosin cßn ω = TH1: VËt ®i tõ VTCB ( x1=0) ®Õv vÞ trÝ x2 = 2π T +A . T−¬ng øng trªn vßng trßn vËt 2 quÐt ®−îc cung MN = α nh− h×nh vÏ bªn: ⌢ §Ó tÝnh gãc α trong tam gi¸c OMN ta dïng: A MN 2 1 π sin α = = = ⇒α = ON A 2 6 A 2 −A . VËy thay vµo c«ng +A O α M N 2 TRÇN Quang Thanh -k15-ppdg vËt lý -®h Vinh π α 6 =T t = = min thøc (*) trªn ta cã : ω 2π 12 T TH2: VËt ®i tõ VT x1 = +A 2 ®Õn x2 = + A t−¬ng øng trªn vßng trßn vËt quÐt ®−îc cung MN = α nh− h×nh vÏ bªn: ⌢ §Ó tÝnh gãc α trong tam gi¸c OMH ta dïng: −A A OH 1 π cos α = = 2 = ⇒α = OM A 2 3 O A 2 α H +A N VËy thay vµo c«ng thøc M π α 3 =T t = = min (*) ta cã : ω 2π 6 T TH3: VËt ®i tõ VTCB 0 ®Õn VT x2 = + A . T−¬ng øng trªn vßng trßn vËt quÐt ®−îc cung MN = α = ⌢ −A π O 2 nh− h×nh bªn: vËy thay vµo c«ng thøc (*) ta cã: +A N α M π tmin = α T = 2 = ω 2π 4 N T +A −A TH4: VËt ®i tõ vÞ trÝ x1 = ®Õn x2 = 2 2 M α +A −A −A O 2 T−¬ng øng trªn vßng trßn vËt quÐt ®−îc cung A 2 ⌢ π MN = α = ( Do tam gi¸c OMN ®Òu) 3 π vËy thay vµo c«ng thøc (*) ta cã: tmin = α T = 3 = ω 2π 6 T 3 TRÇN Quang Thanh -k15-ppdg vËt lý -®h Vinh TH5: VËt ®i tõ vÞ trÝ : x1 = + A ®Õn x2 = − A T−¬ng øng trªn vßng trßn vËt quÐt ®−îc gãc: α = π vËy thay vµo c«ng thøc (*) ta cã: tmin α −A α π T = = = ω 2π 2 +A O T Chó ý: C¸c c«ng thøc tr¾c nghiÖm trªn ¸p dông t−¬ng tù cho TH vËt ®i ng−îc l¹i. T vÝ dô : x1 = − A ®Õn x2 = + A th× tmin = 2 IV. HÖ thèng ph−¬ng ph¸p gi¶i Víi c«ng cô nµy ta cã thÓ ¸p dông ®Ó gi¶i mäi bµi tËp xuÊt hiÖn ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c. ta cã thÓ liÖt kª c¸c d¹ng bµi to¸n th−êng gÆp trong dao ®éng ®iÒu hoµ: D¹ng 1: T×m thêi ®iÓm x¶y ra sù kiÖn vµ kho¶ng thêi gian gi÷a hai sù kiÖn( th−êng gÆp trong c¬ häc vµ ®iÖn tõ) Lo¹i 1: Mét vËt dao ®éng ®iÒu hoµ theo ph−¬ng tr×nh x = A.cos (ω.t + ϕ ) . T×m kho¶ng thêi gian ng¾n nhÊt ®Ó vËt ®i tõ vÞ trÝ cã li ®é x1 ®Õn x2? Ph−¬ng ph¸p : a) VÏ ®−êng trßn l−îng gi¸c b) X¸c ®Þnh to¹ ®é x1 vµ x2 trªn trôc Ox, x¸c ®Þnh ®iÓm M1 vµ M2 trªn ®−êng trßn ( trong ®ã x1 vµ x2 lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña M1 vµ M2 trªn Ox). c) X¸c ®Þnh gãc quÐt α t−¬ng øng trªn vßng trßn khi vËt ®i tõ x1 ®Õn x2, suy ra thêi gian cÇn t×m : tmin = α ω Lo¹i 2: Mét vËt dao ®éng ®iÒu hoµ theo ph−¬ng tr×nh x = A.cos (ω.t + ϕ ) . KÓ tõ lóc t=t0 vËt ®i qua vÞ trÝ cã li ®é x=x1 lÇn thø n vµo thêi ®iÓm nµo ? Ph−¬ng ph¸p : a) Tõ ph−¬ng tr×nh x = A.cos (ω.t + ϕ ) t¹i t = t0 ⇒ x=x0 suy ra vÞ trÝ M0, víi v=v1 suy ra chiÒu chuyÓn ®éng. Víi x=x1 suy ra vÞ trÝ M1. b) VÏ ®−êng trßn l−îng gi¸c, x¸c ®Þnh ®iÓm M0, M1 trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c. n .T + t1 . c) Thêi ®iÓm cÇn t×m lµ : t = 2 ( trong ®ã ta quy −íc gäi n lµ sè ch½n nhá h¬n n vµ gÇn n nhÊt). VÝ dô : 8 = 7 ; 7 = 6 ; 2 = 0 ; 1 = 0 vµ t1 lµ thêi gian vËt ®i qua vÞ trÝ ®N cho 1 lÇn hoÆc 2 lÇn mµ ta ®N cã c«ng thøc tÝnh ë lo¹i 1. 4 TRÇN Quang Thanh -k15-ppdg vËt lý -®h Vinh D¹ng 2: X¸c ®Þnh quNng ®−êng mµ vËt ®i ®−îc gi÷a hai sù kiÖn, vËn tèc trung b×nh trªn quNng ®−êng x¶y ra hai sù kiÖn ( th−êng gÆp trong c¬ häc). Cô thÓ : X¸c ®Þnh quNng ®−êng vËt dao ®éng ®iÒu hoµ di chuyÓn ®−îc sau thêi ®iÓm t=t0 mét kho¶ng thêi gian t. Ph−¬ng ph¸p : a) T¹i t = t0 ⇒ M 0 vµ v = v0 suy ra chiÒu chuyÓn ®éng cña M. t b) LËp tû sè :   = n ( lÊy phÇn nguyªn). T  c) Ph©n tÝch thµnh t = nT + t1 d) VÏ ®−êng trßn l−îng gi¸c suy ra quNng ®−êng vËt ®i ®−îc lµ S = S1 + S2 ( trong ®ã S1 lµ quNng ®−êng vËt ®i ®−îc trong n.T chu kú hay S1=n.4A vµ S2 lµ quNng ®−êng vËt ®i ®−îc trong thêi gian t1 . §Ó x¸c ®Þnh S2 ta x¸c ®Þnh gãc quÐt α trªn vßng trßn α = t1.ω tõ ®ã suy ra S2 ) D¹ng 3: C¸c sù kiÖn liªn quan ®Õn n¨ng l−îng, c¸c thêi ®iÓm mµ n¨ng l−îng thoN mNn mét ®iÒu kiÖn cho tr−íc ( Th−êng lµ c¬ n¨ng vµ n¨ng l−îng ®iÖn tõ ) Ph−¬ng ph¸p : a) T¹i t=t0 x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M0 b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M1 vµ gãc mµ vËt quÐt ®−îc khi n¨ng l−îng thoN mNn ®iÒu kiÖn cho tr−íc. c) VÏ vßng trßn l−îng gi¸c. c) Tõ ®ã suy ra thêi gian cÇn t×m. V. C¸c bµi tËp vËn dông Ví dụ loại 1: Vật dao ñộng ñiều hòa với phương trình . Tính: a) Thời gian vật ñi từ VTCB ñến A/2 b) Thời gian vật ñi từ biên ñến – A/2 ñến A/2 theo chiều dương. c) Tính vận tốc trung bình của vật trong câu a Bài giải a) Khi vật ñi từ vị trí cân bằng ñến A/2, tương ứng với vật chuyển ñộng trên ñường tròn từ A ñến B ñược một góc 300 ( α = π 6 ) 5 TRÇN Quang Thanh -k15-ppdg vËt lý -®h Vinh π tmin = α T = 6 = ω 2π 12 T b) Khi vật ñi từ vị trí – A/2 ñến A/2, tương ứng với vật chuyển ñộng trên ñường tròn từ A ñến B ñược một cung OAB = α = ⌢ π 3 + π 6 = π 3 π tmin = α T = 2 = ω 2π 4 T A S 6A c) Vận tốc trung bình của vật: vtb = = 2 = T t T 12 π VÝ dô 2: VËt D§§H theo ph−¬ng tr×nh: x = Acos(π .t − )(cm) . T×m thêi gian tõ 2 lóc vËt b¾t ®Çu dao ®éng ®Õn khi vËt qua vÞ trÝ cã li ®é x = A lÇn ®Çu? 2 π   x = A.cos(0 − 2 ) = 0 Bµi gi¶i: t¹i t=0 ta thay vµo ph−¬ng tr×nh trªn :  v = −π . A.sin(0 − π ) = π . A > 0  2 . NghÜa lµ vËt ®ang ë VTCB vµ chuyÓn ®éng theo chiÒu d−¬ng cña trôc to¹ ®é. T¹i thêi ®iÓm t vËt qua vÞ trÝ cã li ®é x = A lÇn ®Çu t−¬ng øng trªn vßng trßn vËt 2 quÐt ®−îc mét gãc nh− HV. 6 TRÇN Quang Thanh -k15-ppdg vËt lý -®h Vinh VËy kÓ tõ thêi ®iÓm ban ®Çu ®Õn thêi ®iÓm vËt ®i qua VT x = A lÇn ®Çu mÊt mét 2 π kho¶ng thêi gian lµ : tmin = α 6 1 = = (s) ω π 6 VÝ dô 2: Trong 1T dao ®éng, thêi gian ng¾n nhÊt ®Ó 1 chÊt ®iÓm dao ®éng ®iÒu hoµ víi chu kú T ®i tõ VT x = + A ®Õn x = A. 3T 8 B. T 12 C. T 3 −A lµ: 2 3T 4 D. M Bµi gi¶i: Khi vËt chuyÓn ®éng trªn ®−êng th¼ng quü ®¹o tõ VT x = + A ®Õn x = α −A +A O −A th× t−¬ng øng trªn vßng trßn 2 VËt quÐt ®−îc cung AOM = α = ⌢ π 2 tmin + π 6 = 2π . VËy thêi gian cµn t×m lµ: 3 2π T α = = 3 = (s) ω 2π 3 T π VÝ dô 3: Mét vËt dao ®éng ®iÒu hoµ theo PT: x = 10.cos(π .t + )(cm) . Thêi gian tÝnh 3 tõ lóc vËt b¾t ®Çu dao ®éng (t=0) ®Õn khi vËt ®i ®−îc quNng ®−êng 30(cm) lµ : A. 2,4(s) B. 2/3(s) C. 4/3 (s) D. 1,5(S) Bµi gi¶i: T¹i t=o ta cã: 7 TRÇN Quang Thanh -k15-ppdg vËt lý -®h Vinh π   x = 10.cos(0 + 3 ) = 5(cm)  v = −10π .sin(0 + π ) = − 5 3.π < 0  3 2 π π 6 6 quÐt ®−îc 1 gãc α = π + + tmin = Khi vËt ®i ®−îc quNng ®−êng 30(cm) th× nã 4π nh− h×nh vÏ. VËy thêi gian cÇn t×m lµ: 3 4π α 4 = = 3 = (s) 3 ω π T M 300 α −10 +10 O 300 N VÝ dô 4: Hai vËt dao ®éng ®iÒu hoµ cã cïng biªn ®é, Cïng tÇn sè däc theo 2 ®−êng th¼ng song song liÒn kÒ nhau. BiÕt r»ng 2 vËt gÆp nhau khi chóng chuyÓn ®éng ng−îc chiÒu nhau vµ khi ®ã ®Òu cã li ®é b»ng mét nöa biªn ®é. HiÖu pha cña 2 dao ®éng nµy lµ: A. π 3 B. 2π 3 C. π D. π 2 A lóc ®ã vËt 1 quy ®−îc 1 cung ϕ1 2 π π 2π vËt 2 quay ®−îc 1 cung ϕ2 nh− h×nh vÏ. HiÖu 2 cung nµy lµ : ∆ϕ = + = 3 3 3 Bµi gi¶i: 2 vËt gÆp nhau t¹i VT cã li ®é x = M −A α O ϕ1 ϕ2 +A N VÝ dô 5: 1 vËt dao ®éng ®iÒu hoµ gi÷a hai ®iÓm P vµ Q nh− HV. T=1(S), O=gèc to¹ ®é. Sau khi b¾t ®Çu dao ®éng ®−îc 2,5(s) vËt cã to¹ ®é x = −5 2(cm) vµ ®i theo chiÒu ©m cña quü ®¹o víi vËn tèc v = 10π 2( a) ViÕt PTD§. P I cm ) lÊy π 2 = 10 . s O J Q b) TÝnh vËn tèc trung b×nh khi vËt chuyÓn ®éng tõ I tíi J ( I lµ trung ®iÓm cña PQ, J lµ trung ®iÓm cña OQ). 8 TRÇN Quang Thanh -k15-ppdg vËt lý -®h Vinh Bµi gi¶i: a) PT dao ®éng cña vËt lµ : x = A.cos(ωt + ϕ ) víi ω = 2π ( rad ) s  x = A.cos (2π .2,5 + ϕ ) = −5 2 T¹i t=2,5(s) ta cã :  v = −ω A sin(2π .2, 5 + ϕ ) = −10π 2  A.cos (5π + ϕ ) = −5 2(1) rad Hay:  (Do thay ω = 2π ( ) vµo )  A.sin(5π + ϕ ) = 5 2(2) s π  (2) ϕ = − LÊy : vÕ theo vÕ ta cã : tan ϕ = −1 ⇒  4 (1)  A = 10(cm) π VËy PT lµ : x = 10.cos(2π t − )(cm) 4  b) Khi vËt chuyÓn ®éng tõ I ®Õn J t−¬ng øng trªn vßng trßn vÐc t¬ OM quÐt ®−îc 1 gãc : α = OMN = ⌢ π 3 . Suy ra thêi gian chuyÓn ®éng lµ : π tmin = α 1 = 3 = ( s ) VËy vËn tèc trung b×nh : ω 2π 6 P I J O vtb = S I .J 10 cm = = = 60( ) 1 t t s 6 Q α VÝ dô 6: Mét vËt dao ®éng ®iÒu hoµ theo ph−¬ng tr×nh: x = 6.cos(π t + 5π )(cm) 4 TÝnh kho¶ng thêi gian ng¾n nhÊt kÓ tõ khi vËt b¾t ®Çu dao ®éng ®Õn lóc vËt cã li ®é x=3(cm)? 9 TRÇN Quang Thanh -k15-ppdg vËt lý -®h Vinh 5π   x = 6.cos(0 + 4 ) = −3 2(cm) Bµi gi¶i: T¹i t=o th× :  chÊt ®iÓm ë VT M0 x¸c ®Þnh v = −6π .sin(0 + 5π ) = − 3 3.π < 0  4 2 bëi to¹ ®é x1 = −3 2 T¹i thêi ®iÓm vËt cã li ®é x=3(cm) VËt quay ®−îc cung : HK = α = 1950 = ⌢ h×nh vÏ. VËy thêi gian cÇn t×m lµ : tmin 13π nh− 12 13π α 13 = = 12 = ( s ) 12 ω π ˆ + OPL ˆ + OLK ˆ Chó ý: Gãc α = OHP K − 6 −3 2 O α H +6 3 2 L p VÝ dô 7: Mét chÊt ®iÓm dao ®éng ®iÒu hoµ theo ph−¬ng tr×nh: x = 4.cos (10π t − 2π )(cm) . Thêi ®iÓm ®Çu tiªn (sau thêi ®iÓm t=0) mµ vËt Æp l¹i vÞ trÝ 3 ban ®Çu lµ lóc nµo? A. t = 1 (s) 15 B. t = 2 (s) 15 C. t = 17 (s) 15 D. §¸p sè kh¸c Bµi gi¶i: T¹i t=0 chÊt ®iÓm ë vÞ trÝ M0 t¹i VT x0=-2(cm) vµ ®ang chuyÓn ®éng theo chiÒu d−¬ng x¸c ®Þnh bëi ph−¬ng tr×nh: 2π   x = 4.cos(0 − 3 ) = −2(cm)  v = −40π .sin(0 − 2π ) = 20 3.π > 0  3 2 M1 α −A −2 +A O M0 LÇn ®Çu tiªn vËt lÆp l¹i vÞ trÝ cã li ®é x0 th× chÊt ®iÓm ë vÞ trÝ M1. Gãc quÐt trong thêi gian ®ã lµ: 10