Nội dung

Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) Ngô Thị Loan Giáo viên trường THCS Thọ Hải, Thọ Xuân A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI NÓI ĐẦU. Trong giai đoạn hiện nay, Đảng ta đã nhận định: “Cùng với khoa học và công nghệ cần phải đưa giáo dục và đào tạo trở thành quốc sách hàng đầu”; “Giáo dục phải đào tạo những con người có trình độ cao về tri thức, phát triển cao về trí tuệ, thích ứng nhanh với sự phát triển mạnh mẽ của xã hội”. Để đáp ứng kịp thời sự phát triển ấy, giáo dục không chỉ cần đổi mới về nội dung mà còn cần phải đổi mới và hiện đại hoá cả về phương pháp dạy học và phương tiện dạy học; giáo dục phải tiếp thu bằng nhiều cách khác nhau và bằng chính thái độ chủ động, tích cực sáng tạo của người học. Trong “Đổi mới giáo dục”, điều rất quan trọng là sự đổi mới về phương pháp. Giáo dục phải chuyển từ “Cung cấp kiến thức” sang “Luyện cách tự mình tìm ra kiến thức”. Vì vậy, giáo dục phải đề cao việc rèn óc thông minh sáng tạo, giảm sự “nhồi nhét”, “ghi nhớ”. Giáo viên phải từ vị trí truyền thụ kiến thức chuyển sang vị trí người hướng dẫn học trò tự tìm lấy kiến thức; còn học trò, từ vị trí thụ động tiếp thu kiến thức, trở thành người chủ động tìm học, tự học, tự nghiên cứu để chiếm lĩnh kiến thức. Dạy kiến thức phải phát huy lòng say mê ham thích học tập của người học. Xét cho cùng, giáo dục là quá trình cung cấp kiến thức, hướng dẫn người học tìm kiến thức mới để làm cơ sở cho sự phát triển năng lực tư duy và hành động. Đổi mới phương pháp dạy học (nói chung) phải phát huy tính tích cực trong dạy học, tích cực hoá hoạt động của người học. Quá trình giáo dục là một quá trình nhận biết - thuyết phục - vận dụng để tiếp thu những kiến thức mới từ chưa biết, chưa biết sâu sắc, đến biết, biết sâu sắc và vận dụng vào thực tiễn, “phải biết kết hợp giữa học đi đôi với hành, học hành phải kết hợp với nhau; học và hành ở mọi lúc mọi nơi”, lý thuyết phải gắn với thực tế. Người giáo viên phải thực hiện tốt nhiệm vụ thường xuyên, liên tục cập nhật đổi mới nội dung, phương pháp phù hợp với sự phát triển và những biến đổi to lớn của thời đại. Với mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung và dạy môn toán nói riêng, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học, đào tạo những con người yêu lao động, có vốn kiến thức hiểu biết sâu sắc về những thành tựu khoa học mới nhất, tiên tiến nhất trên thế giới để hoà nhập với quốc tế trong xu hướng hiện nay. Từ lý do trên, tôi đã mạnh dạn tiến hành nghiên cứu chuyên đề “Phát triển tư duy toán học cho học sinh lớp 8: Từ định lý Ta lét đến chứng minh các đường thẳng đồng quy”. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ. Năm học 2010 – 2011 1 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) - Quy luật của quá trình nhận thức là: Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng. Song, quá trình nhận thức đó có đạt hiệu quả cao hay không, có bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạo của chủ thể. - Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có thiên hướng vươn lên làm người lớn, muốn tự mình tìm hiểu, khám phá trong quá trình nhận thức. Ở độ tuổi học sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau. Các em có nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất “Người lớn”. Tuy nhiên, nhược điểm của các em là chưa nắm được các phương cách thực hiện các hình thức học tập mới. Vì vậy, cần có sự hướng dẫn, điều chỉnh một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô. Lý luận về phương pháp dạy học đã cho thấy: Dạy học theo phương pháp mới, phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học. - Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo trong dạy học toán cho học sinh là một quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học, thông qua nhiều năm học và thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học. - Hiện nay, trong nhà trường nói chung vẫn còn không ít học sinh lười học, lười tư duy trong quá trình học tập. - Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, chưa có những hoạt động đích thực của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động. Trong những năm qua, các trường trung học cơ sở đã có những chuyển biến tích cực trong việc đổi mới phương pháp dạy học. Học sinh cũng đã chủ động nghiên cứu, tìm tòi, khám phá kiến thức. Song, mới chỉ dừng lại ở những bài tập cơ bản trong sách giáo khoa. Định lý Talét là một phần kiến thức khó đối với các em, đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyết các bài tập. - Hậu quả của thực trạng trên là: Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã được học trong sách giáo khoa vào giải bài tập, học sinh còn gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng. Vậy, làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng và nâng cao?. Ví dụ: Giải bài tập sau: “Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm các đáy của hình thang”. Khi chưa thực hiện loại bài tập này, tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả: Lúc đầu: 100% số học sinh trong lớp không xác định được dùng kiến thức nào để chứng minh. Do đó, các em không giải được. Sau đó, tôi gợi mở: “Bài toán đề cập đến hình thang mà không phải là tứ giác lồi bất kì thì chúng ta có được gợi ý gì ?” Lúc này, đã có khoảng 20% học sinh nghĩ đến việc dùng định lý Talét (vì hình thang có 2 cạnh đáy song song). Nhưng các em cũng chưa thể giải được, bởi vì, để giải được bài tập này, không phải dùng trực tiếp Năm học 2010 – 2011 2 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) định lý Talét hay hệ quả của định lý Talét mà cần gián tiếp thông qua tính chất của chùm đường thẳng đồng quy. Tôi nghiên cứu, hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học sinh trong lớp đã xác định ngay được hướng chứng minh bài toán và có khoảng 60% - 70% học sinh chứng minh được. Ngoài ra, các em còn có khả năng áp dụng chùm đường thẳng đồng quy vào giải một số bài tập khó hơn, phức tạp hơn. Đặc biệt, các em còn biết áp dụng vào giải những bài tập như chứng minh đường thẳng vuông góc, các điểm thẳng hàng, tia phân giác, diện tích, nhất là các đường thẳng đồng quy... Sau đây là phần trình bày nội dung và các bước tiến hành chuyên đề của tôi: B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I - Bước thứ nhất: Tìm hiểu nội dung kiến thức trong sách giáo khoa và phát hiện ra kiến thức mới tiềm ẩn trong kiến thức của sách giáo khoa mà các em đã biết: 1. Nội dung kiến thức trong sách giáo khoa đã chứng minh được là: a/ Định lý Talét trong tam giác: * Định lý thuận: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. * Định lý đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳg tương ứng tỷ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. ABC a // BC   AB AC   AB  AC   AB  AC   BB CC     BB CC   AB AC b/ Hệ quả của định lý Talét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. B’ Năm học 2010 – 2011 ABC AB' AC ' B ' C '     a // BC AB AC BC  3 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) 2. Tìm hiểu thấy rằng: Từ định lý Talét, đã chứng minh được hệ quả, vậy thì một vấn đề đặt ra là: Từ đỉnh A của tam giác ABC ở trên ta kẻ thêm một số đường thẳng cùng cắt đường thẳng a và đường thẳng BC thì có những điều gì xảy ra. Chẳng hạn từ A ta vẽ thêm AD, D  đường thẳng BC và AD cắt đường thẳng a tại D’. B' C ' C ' D'  BC CD AC' vì cùng bằng AC B' C ' C ' D'  k (k 1) Ngược lại: Nếu có BC CD Ta có thể suy ra thì ba đường thẳng BB’, CC’, DD’ đồng quy tại một điểm A hay không? Nếu C là trung điểm của BD thì C’ có là trung điểm của B’D’ hay không? Từ những suy nghĩ đó, tôi thấy có thể giúp học sinh giải được những bài tập về đường thẳng đồng quy, các điểm thẳng hàng ... Nhưng vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho học sinh có thể tích cực, độc lập suy nghĩ, tự xây dựng, tự khái quát hoá, tổng hợp kiến thức cần thiết cho việc giải bài tập có nội dung nói trên. Sau đây là hệ thống các câu hỏi, bài tập cơ bản dẫn dắt học sinh. II. Bước thứ hai: Xây dựng hệ thống bài tập, giúp cho học sinh tư duy phân tích tổng hợp, khái quát hoá kiến thức mới, từ đó làm cơ sở cho việc vận dụng khi giải bài tập. * Bài số 1: Cho ba tia Ox, Oy, Oz cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần lượt tại: A, A’  Ox ; B, B’  Oy ; C, C’  Oz . AB BC O  Chứng minh rằng: A' B ' B 'C ' A B C m Chứng minh: A/ x B/ y C/ m / Xét tam giác OAB ta có: z AB OB  (1). (Hệ quả của định lý Talét) A ' B ' OB ' BC OB  Xét tam giác OBC ta có: (2). (Hệ quả của định lý Talét) B ' C ' OB ' AB BC  Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm). A' B' B ' C ' Năm học 2010 – 2011 4 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) * Bài số 2: Vấn đề đặt ra là: Bài toán trên còn đúng không nếu có bốn tia Ox, Oy, Oz, Ot cắt hai đường thẳng song song m và m’ ? Hãy phát biểu và chứng minh bài toán. Đến đây học sinh đã có thể dựa vào bài toán 1 để trả lời; “Cho bốn tia Ox, Oy, Oz, Ot cắt hai đường thẳng song song m và m’ tại các điểm theo thứ tự tại A, A’  Ox; B, B’  Oy; C, C’  Oz; D, D’  Ot. Chứng minh rằng: AB BC CD   A ' B ' B 'C ' C ' D ' O A Chứng minh: A/ x B C B/ D C/ y m m/ D/ z t AB BC  (Như bài số 1) A' B ' B 'C ' BC CD  (Chứng minh tương tự bài 1) B 'C ' C ' D ' AB BC CD   Từ đó suy ra (đpcm) A' B ' B 'C ' C ' D ' Tacó: Đến đây đặt câu hỏi? Hãy phát biểu khái quát bài toán trên thành một tính chất? HS trả lời: “Nếu các đường thẳng đồng quy tại một điểm và cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ”. GV giới thiệu với học sinh tính chất trên, chính là tính chất của ba đường thẳng đồng quy. Sau đó giáo viên cho học sinh lập mệnh đề đảo và chứng minh (phát biểu thành bài toán đảo của bài toán trên) chính là nội dung của bài toán 3 sau đây: * Bài số 3: Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai đường thẳng song song m, m’ lần lượt tại A, A’  a ; B, B’  b ; C, C’  c sao cho AC BC  k (k 1) A' C ' B ' C ' Chứng minh rằng các đường thẳng a, b, c đồng quy tại một điểm. Chứng minh: Giả sử hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O, ta cần chứng minh đường thẳng c đi qua O. Gọi giao điểm của đường thẳng OC với m’ là C”. Khi đó, theo định lý thuận, ta có: Năm học 2010 – 2011 5 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) AC BC  . Mặt khác theo GT: AC ' ' B ' C ' AC BC  A' C ' B ' C ' Từ đó suy ra A’C” = A’C’ và B’C’ = B’C”  C ' C ' ' . Vậy c đi qua O hay a, b, c đồng quy tại O. Đến đây GV cho học sinh phát biểu khái quát bài toán trên. HS: “Nếu ba đường thẳng cắt hai đường thẳng song song và định ra trên hai đường thẳng đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy”. Như vậy, học sinh đã được phát triển tư duy độc lập, khái quát lên hai nội dung kiến thức cần thiết cho việc chứng minh một số bài tập có liên quan đến định lý Talét. Đến đây GV cho học sinh làm bài tập vận dụng những điều vừa chứng minh được vào giải quyết bài tập. * Bài số 4: Chứng minh rằng hai đường thẳng chứa hai cạnh bên và đường thẳng nối trung điểm của hai đáy của một hình thang đồng quy. Chứng minh: Vì M là trung điểm của AB nên: MA = MB Vì N là trung điểm của CD nên: NC = ND từ đó suy ra: O AM MB  DN NC Theo kết quả bài 3 ta được AD, BC, MN đồng quy, đến đây GV cho học sinh tiếp tục làm bài tập sau đây. * Bài số 5: Chứng minh rằng: Trong hình thang giao điểm hai cạnh bên, giao điểm hai đường chéo và trung điểm của hai đáy thẳng hàng. Chứng minh: Gọi giao điểm của AD và BC là O ; giao điểm của AC và BD là I. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. Ta có: O, M, N thẳng hàng (áp dụng bài 4) Ta có I, M, N thẳng hàng (tương tự bài 4) Suy ra: O, M, N, I thẳng hàng (đpcm). Đây là bài toán, sau khi làm bài, 4 học sinh đã làm được bài làm một cách dễ dàng Năm học 2010 – 2011 6 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) mà không cần phải gợi ý thêm gì cả. Sau đó tôi cho học sinh làm bài toán mà tôi đã đặt vấn đề ở trên: * Bài số 6: a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy của hình thang. b/ Hãy nêu ra cách dùng chỉ một cái thước (không dùng com pa) để dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi cho một đường thẳng d song song với AB và dựng qua điểm M cho trước một đường thẳng song song với đoạn thẳng AB cho trước mà đã biết trung điểm I của AB. Lời giải: a/ Giả sử hình thang ABCD có hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại E và hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại F. Gọi giao điểm của EF với AB, CD theo thứ tự là M, N. Với hai đường thẳng song song AB, CD và ba đường thẳng đồng quy ED, EN, EC AM MB  , DN NC AM DN  Do đó (1). Với hai đường thẳng song MB NC ta có song AB, CD và ba đường thẳng đồng quy AC, MN, BD AM MB AM NC   , do đó (2). NC DN MB ND DN NC  Từ (1) và (2) Suy ra do đó DN = NC NC DN Ta có nên N là trung điểm của CD. Từ DN = NC và (2) suy ra AM = MB nên M là trung điểm của AB. b/ Nếu có đường thẳng d song song với đoạn thẳng AB thì ta lần lượt nối A, B với cùng một điểm E nào đó ở ngoài d và khác phía đối với A. Gọi giao điểm của d với EA, EB theo thứ tự là C, D. Nối AD, BC và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là F. Nối F với E thì theo chứng minh ở phần a giao điểm của EF với AB là trung điểm M của đoạn thẳng AB. Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AB thì không thể có đường thẳng song song với AB và đi qua M. Nếu điểm M không nằm trên đường thẳng AB thì ta chọn một điểm O tuỳ ý trên đường thẳng AM (không trùng với A, M), gọi K là giao điểm của OI và MB, gọi N là giao điểm của AK và OB. Khi đó MN//AB. Thật vậy, giả sử đường thẳng song song với AB sẽ qua M cắt OB tại N’ và hai đường thẳng Năm học 2010 – 2011 7 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) MB, AN’ cắt nhau tại K’. Khi đó, theo chứng minh ở phần a đường thẳng OK’phải đi qua trung điểm I của AB. Do đó K’ trùng với K và vì vậy N’ trùng với N nên MN//AB. Đến đây giáo viên đặt câu hỏi: Hãy phát biểu khái quát phần a của bài toán trên: “Nếu ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song, tạo ra trên đường thẳng thứ nhất hai đoạn thẳng bằng nhau thì cũng tạo ra trên đường thẳng thứ hai hai đoạn thẳng bằng nhau”. Làm xong bài tập trên, học sinh đã nắm chắc về tính chất của ba đường thẳng đồng quy. Tôi tiếp tục cho học sinh làm một số bài tập vận dụng có yêu cầu cao hơn, phức tạp hơn trong đó có sử dụng đến tính chất của ba đường thẳng đồng quy mà các em đã được chứng minh ở trên. III. Bước thứ ba: Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng và bài tập vận dụng. Với mục tiêu giúp học sinh hiểu sâu hơn về định lý Talét và áp dụng tính chất của ba đường thẳng đồng quy, phần bài tâp vận dụng tôi chỉ xin đưa ra những ý chính của việc chứng minh: * Bài số 7: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD,BE,CF. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA. Chứng minh rằng bốn điểm I, K, M, N thẳng hàng. Giải: Gọi H là giao điểm của AD, BE, CF ta có BI BD BK    IK // FE IF DC KE Tương tự Ta lại có (1) MN//FE (2) IF DH NE    IN // FE (3) FA HA EA Từ (1), (2) và (3) suy ra I, K, M, N thẳng hàng * Bài số 8: Cho hình thang ABCD (AB//CD; AB,CD). Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD tại E, đường thẳng qua B song song với AD cắt CD tại H, đường thẳng qua H song song với BD cắt BC tại I. Chứng minh rằng: a) EI // AB b) Ba đường thẳng EI, BH, ACđồng quy Giải: Gọi F là giao điểm của BH và AC, G là giao điểm của AE và CD a/ Vì HI // BD  BI DH  IC HC Năm học 2010 – 2011 (1) 8 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) Vì DG // AB  BE AE AB   ED EG DG (2) Các tứ giác ABHD, ABCG là hình bình hành nên DH = AB = GC Suy ra DG = HC thay vào (1)  BI AB  (3). Từ (2) và (3)  IC DG BI BE  IC ED Từ đó suy ra EI // DC hay EI // AB (4) b/ Từ (2) và (3) ta có AB AF BI AF BI BE AB AB      , lại có HC // AB  do đó suy IC ED DG HC HC FC IC FC ra FI // AB hay FI // CD (5) từ (4) và (5)  EI, BH, AC đồng quy. * Bài số 9: Cho M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh AB, BC, CA (hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là MA NB PC . . 1 (định lý Mê-nê-la-úyt) MB NC PA Giải: Điều kiện cần: Giả sử M, N, P thẳng hàng Từ A kẻ AQ // BC cắt MN ở Q ta có: MA AQ  Từ  MBN  Từ  PNC  MB NB PC NC  PA AQ Nhân từng vế hai đẳng thức trên ta được MA PC NC .  MB PA NB Nhân 2 vế với NB ta có: NC MA NB PC . . 1 MB NC PA Điều kiện đủ: Cho ba điểm M, N, P trên ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện. MA NB PC . . 1 MB NC PA Nối MP kéo dài cắt BC ở N’, theo (cm trên) từ đó suy ra MA N ' B PC . . 1 MB N ' C PA N ' B NB  . N ' C NC Vì N’ và N cùng ở trong đoạn BC nên N’  N, tức là M, P, N thẳng hàng. Năm học 2010 – 2011 9 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) * Bài số 10: Trên hai cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD, Lấy hai điểm tương ứng M, N. Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của BN với MD. Chứng minh rằng ba điểm C, P, Q thẳng hàng. Giải: NA QD BM . . 1 ND QM MA Gọi K là giao điểm của CD với đường thẳng MP. Khi đó BCKM, NDKP NA PM  là các hình bình hành nên: và ND PK BM CK  BA CD Do đó Vì ba điểm N, Q, B thẳng hàng nên theo bài 3 ta có: 1 NA QD BM PM QD CK PM CK QD . .  . .  . . Vì C, P, Q nằm trên các đường ND QM BA PK QM CD PK CD QM thẳng chứa các cạnh của tam giác MDK theo bài toán 9 và đẳng thức trên suy ra C, P, Q thẳng hàng. * Bài số 11: Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tương ứng các điểm P, Q, R sao cho ba đường thẳng AP, BQ và CR cắt nhau tại một điểm. AR BP CQ Chứng minh rằng: BR . PC . QA 1 . Giải: (Định lý Xê-va) E Qua A kẻ một đường thẳng song song với BC cắt các đường thẳng CR và BQ tại E và F Gọi O là giao điểm của AP, BQ và CR. A R F Q O AR AE  (1) RB BC PB OP  BOP FOA  (2) B AF OA OP PC  POC AOE  (3) P OA AE CQ BC PB AF  CQB   Từ (2) và (3)  (4). AQE (5) QA AF PC AE AR BP CQ AE AF BC Từ (1), (4) và (5) ta có RB . PC . QA  BC . AE . AF 1 (Điều phải c/m) ARE BRC  Năm học 2010 – 2011 C 10 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) * Bài số 12: Cho tam giác ABC, một điểm D trên cạnh AB, một điểm E trên cạnh AC và trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng DE//BC khi và chỉ khi ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy. Giải : Vì M là trung điểm của BC nên MB 1 . Do MC đó DA MB EC DA EC . .  . . Vì vậy, ba đường thẳng DB MC EA DB EA AM, BE, CD đồng quy khi và chỉ khi. DA EA DA MB EC DA EC . .  . 1 hay  DB MC EA DB EA DB EC tức là DE//BC * Bài số 13: Chứng minh rằng nếu ba tam giác đều ABD, BCE, CAFnằm phía ngoài tam giác ABC thì ba đường thẳng AE, BF, CD đồng quy. Giải : Gọi P là giao điểm của AE và BC, Q là giao điểm của BF và CA, R là giao điểm của CD và AB . Hai tam giác ABE và ACE có chung cạnh AE nên tỷ số diện tích của chúng bằng tỉ số các khoảng cách từ B và C đến cạnh chung AE. Theo định lý Talét trong tam giác, tỉ số khoảng cách đó bằng PB S ABE PB . Do đó PC  S . (1) PC ACE Tương tự, ta có: QC S FCB  (2); QA S AFB RA S CAD  (3) RB S DBC PB QC RA S ABE S FCB S CAD . .  . . PC QA RB S ACE S FAB S DBC Vì  ABE =  DBC (c.g.c),  ACE =  FCB (c.g.c),  FAB =  CAD (c.g.c). PB QC RA S ABE S FCB S CAD . .  . . 1 . Ba đường thẳng AE, BF, CD Nên PC QA RB S ACE S FAB S DBC đồng quy. (định lý Xêva HS sẽ được học kỹ hơn ở bậc THPT). Nhân vế với vế của (1), (2) và (3) ta có: * Bài tập vận dụng Năm học 2010 – 2011 11 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) Bài 1: Trên các cạnh kéo dài của tam giác ABC, đặt các đoạn AA'  AB , BB ' BC , CC ' CA . Chứng minh rằng trọng tâm các tam giác ABC và ABC  trùng nhau. Định hướng giải: Kẻ đường trung tuyến BE của  ABC và đường trung tuyến AD của  ABC  . Áp dụng định lí về đường trung bình vào tam giác CBC  , rồi suy ra Tứ giác AEDB la hbh nên ED song song và bằng AB. Áp dụng hệ quả của định lí Talet vào EG DG ED 1    . tam giác A/GB ta có GB GA AB 2 A/ A B B/ rồi suy ra điều phải chứng minh. G E C D C /   yOz 600 . Bài 2: Cho tia Ox, Oy, Oz tạo thành xOy Chứng minh rằng: Nếu A, B, C là ba điểm thẳng hàng trên Ox, Oy, Oz thì ta có: 1 1 1   . OB OA OC Bài 3: Qua điểm O tuỳ ý trong tam giác ABC, ta dựng các đường thẳng DE, FK, MN tương ứng song song với AB, AC, BC sao cho F và M nằm trên AB, E và K trên BC, N và D trên AC. Chứng minh: AF BE CN   1. AB BC CA Bài 4: Cho hình thang ABCD có P và Q là trung điểm của hai đáy BC và AD. M là một điểm trên tia đối của tia CA. Các đường thẳng MP và MQ cắt hai cạnh bên AB và CD ở H và K. Chứng minh rằng HK song song với đáy của hình thang. C. KẾT THÚC VẤN ĐỀ Qua nội dung trình bày trên, ta thấy ở nhiều bài tập, khi chứng minh rất cần đến việc áp dụng tính chất của các đường thẳng đồng quy. Những kiến thức này, giúp cho học sinh phát triển được tư duy và kĩ năng chứng minh hình. Do được trang bị những kiến thức về đường thẳng đồng quy nên việc chứng minh và trình bày sẽ ngắn gọn và dễ hiểu hơn, làm cho học sinh hứng thú trong học tập cũng như khi giải các bài tập khó. Qua thử nghiệm, tôi nhận thấy có một số kết quả rất phấn khởi như sau: I. Kết quả về nhận thức: Năm học 2010 – 2011 12 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) - Khi chưa thực hiện chuyên đề này, học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc chứng minh loại bài tập này, ngay bài tập số 4 tương đối dễ mà có tới 99% các em không giải được, còn các bài tập từ bài số 6 đến bài số 13 các em hoàn toàn bế tắc. - Sau khi nghiên cứu sắp xếp hệ thống bài tập, câu hỏi (như đã trình bày ở trên) và áp dụng dạy cho học sinh giỏi lớp 8 thì thấy rằng: Học sinh hiểu bài hơn, có hứng thú say mê với loại bài chứng minh ba đường thẳng đồng quy. Các em tự mình có thể giải quyết được các bài tập, đồng thời các em còn trình bày ngắn gọn hơn, xúc tích hơn. Ngoài những bài tập tôi đưa ra trên, còn nhiều bài khác nữa đã có 70% đến 80% học sinh làm được. - Đặc biệt, riêng công tác bồi dưỡng đội tuyển HS giỏi toán tham gia dự thi HS giỏi cấp huyện (năm học 2009 – 2010) đã có 3 em đạt giải; năm học 2010 – 2011, có 5 học sinh đạt giải. II. Kết quả về hành vi, thái độ: Bước đầu đã xây dựng cho học sinh phong cách say sưa tìm tòi, khám phá cái mới, điều hay qua từng bài tập; các em nắm chắc kiến thức cơ bản và kĩ năng giải toán của các em được nâng lên ở mức độ cao hơn và sâu sắc hơn. Học sinh không còn hiểu vấn đề một cách máy móc, dập khuôn như trước. 1. Đối với giáo viên: - Sau khi chuyên đề được áp dụng và đem lại kết quả khả quan, thiết thực, người dạy có thêm lòng tự tin, phấn khởi trong việc tích cực thực hiện nhiệm vụ đổi mới phương pháp dạy học theo mục tiêu chung của toàn ngành. - Từ việc mạnh dạn áp dụng những giải pháp để đổi mới phương pháp dạy và học cùng với hiệu quả cụ thể mà chuyên đề mang lại đã làm cho người dạy tăng thêm sự say mê, hứng thú với công tác chuyên môn. Trên cơ sở đó, càng thêm yêu trường, mến trẻ. 2. Đối với học sinh: - Với đối tượng học sinh khá giỏi: Chuyên đề đã góp phần xây dựng cho các em lòng mê say nghiên cứu, tìm hiểu, khám phá những điều lý thú, bổ ích của môn Toán học. - Đối với học sinh trung bình: Các em được củng cố và phát triển những kỹ năng cơ bản của kiến thức toán nên đa số HS đã có niềm thích thú, tìm tòi và sáng tạo trong học tập môn học. - Với đối tượng học sinh còn yếu, kém: Chuyên đề cũng đã có một đóng góp đắc lực vào việc giúp các em phát tiển được tính tự giác, tích cực và độc lập trong quá trình tiếp thu kiến thức và làm bài. III. Bài học kinh nghiệm rút ra: 1. Đổi mới phương pháp dạy học là một quá trình. Song, mỗi giáo viên cần có ý thức thường trực tìm tòi những phương pháp phù hợp với từng loại bài tập và từng đối tượng học sinh theo hướng tích cực hoá hoạt động của học sinh trong quá trình học tập. 2. Học sinh trung học cơ sở còn ở tuổi thiếu niên, việc tư duy của các em, khả năng khái quát hoá còn rất hạn chế. Do đó, để giải các bài tập khó là Năm học 2010 – 2011 13 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) cả một công việc khá nặng nề đối với các em, nhất là các bài tập hình. Vì vậy, đòi hỏi ở người giáo viên phải có một sự đầu tư lớn trong việc nghiên cứu chương trình của sách giáo khoa, hệ thống bài tập áp dụng và bài tập nâng cao, từ đó xây dựng thành những chuyên đề nhằm giúp học sinh có năng lực độc lập tư duy, khái quát hoá các kiến thức. Từ đó mà năng lực và trí tuệ của các em mới được rèn luyện và nâng cao. 3. Chỉ qua một ví dụ về “Định lý Talét”, ta thấy đã rút ra được rất nhiều kiến thức khá bổ ích cho việc giải bài tập hình về chứng minh trung điểm của đoạn thẳng, các điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song, các đường thẳng đồng quy… Nếu chúng ta tiến hành như vậy ở nhiều các nội dung kiến thức khác nữa thì chắc chắn rằng, kết quả giáo dục ngày càng được nâng cao hơn, môn học sẽ góp phần phát hiện và đào tạo được nhiều nhân tài cho đất nước có đủ kiến thức và trình độ để hội nhập cùng quốc tế, đó chính là đích cuối cùng của nghề dạy học. Vì không có điều kiện trình bày hết tất cả các bài tập, tôi chỉ xin trình bày một số bài tập nêu trên làm ví dụ minh hoạ cho chuyên đề của mình. Với một vài kinh nghiệm (có thể là rất bé nhỏ), chắc chắn sẽ không tránh khỏi những điều còn khiếm khuyết. Kính mong được sự góp ý, xây dựng của Hội đồng khoa học các cấp, đồng chí và đồng nghiệp để đề tài được hoàn chỉnh hơn. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Thọ Xuân, tháng 4 năm 2011 Tác giả Ngô Thị Loan Năm học 2010 – 2011 14 Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8) MỤC LỤC A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lời nói đầu. II. Thực trạng của vấn đề. Trang 1 Trang 1, 2 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Các giải pháp (Bước thứ nhất). II. Biện pháp cụ thể (Bước thứ hai). Trang 3 Trang 4 đến 11 C. KẾT THÚC VẤN ĐỀ I. Kết quả về nhận thức. II. Kết quả về hành vi, thái độ. 1. Với giáo viên: 2. Với học sinh: III. Bài học kinh nghiệm rút ra: Năm học 2010 – 2011 Trang 12 Trang 13 Trang 13, 14 15