Nội dung

Ph−¬ng tr×nh h÷u tØ 1. C¸c kh¸i niÖm Gi¶ sö f vµ g lµ c¸c hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp D vµ E ⊂ D. Gi¶i ph−¬ng tr×nh f(x) = g(x) (1) trªn tËp hîp E nghÜa lµ t×m tËp hîp M ⊂ E gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö α ∈ E sao cho f(α) = g(α) lµ ®óng. α ®−îc gäi lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1). Ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc gäi lµ v« nghiÖm trªn E nÕu tËp nghiÖm M = ∅. Trong tr−êng hîp tr¸i l¹i M ≠ ∅. Trong tr−êng hîp tr¸i l¹i M ≠ ∅, ta nãi r»ng (1) cã nghiÖm. NÕu c¶ f vµ g ®Òu lµ biÓu thøc ®¹i sè th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè. NÕu tr¸i l¹i th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh siªu viÖt. NÕu c¶ f vµ g ®Òu lµ ®a thøc th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®a thøc. Tr¸i l¹i nÕu cã Ýt nhÊt mét vÕ lµ ph©n thøc h÷u tØ cßn l¹i lµ ®a thøc th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ph©n thøc. Hai ph−¬ng tr×nh f1(x) = g1(x) víi tËp nghiÖm M1 ⊂ E vµ f2(x) = g 2(x) víi tËp nghiÖm M2 ⊂ E, ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng trªn E nÕu M1 = M2. NÕu M1 ⊂ M2 th× ph−¬ng tr×nh sau ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph−¬ng tr×nh ®Çu vµ khi ®ã, ta viÕt f1(x) = g1(x) ⇒ f2(x) = g2(x) NÕu sau phÐp biÕn ®æi, miÒn x¸c ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh më réng ra (hay thu hÑp l¹i) th× ph−¬ng tr×nh ®Çu cã thÓ xuÊt hiÖn nghiÖm ngo¹i lai (hay mÊt nghiÖm). 2. Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ hai 2.1. Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt Ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + b = 0 (a ≠ 0), (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®a thøc bËc nhÊt. Ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm duy nhÊt x1 = − VÝ dô 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 1 b . a (c − 1)x + 2 = c + 1. (2) (2) ⇔ (c − 1)x = c − 1. NÕu c ≠ 1 th× (2) cã nghiÖm duy nhÊt x= c −1 = 1 , (M = {1}). c −1 NÕu c = 1 th× (2) cã d¹ng 0x + 2 = 2. Mäi x ∈ R = (−∞, +∞) ®Òu lµ nghiÖm cña (2) nghÜa lµ M = R. 2.2. Ph−¬ng tr×nh bËc 2 2 Ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0, (3) trong ®ã a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai. 2 Sè ∆ := b − 4ac ®−îc gäi lµ biÖt thøc cña ph−¬ng tr×nh (3). §· biÕt, khi ∆ < 0, (3) v« nghiÖm. NÕu ∆ = 0 ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm (thùc) trïng nhau (nghiÖm kÐp) b x1 = x2 = − . 2a NÕu ∆ > 0 ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm (thùc) ph©n biÖt x1 = −b − ∆ −b + ∆ , x2 = 2a 2a 2 Khi ®ã: ax + bx + c = a(x − x1)(x − x2) VÝ dô 2. Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh 2 (m + 1)x + 2(m + 1)x + m − 2 = 0 (4) Gi¶i. a) NÕu m ≠ −1 th× (4) lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai 2 Khi ®ã, ∆ = 4∆' = 4[(m + 1) − (m + 1)(m − 2)] = 12(m + 1), b  2 ë ®©y, ∆' = b' − ac (b' =  b ' =  , 2  2 2 = (m + 1) − (m + 1)(m − 2) = 3(m + 1). • NÕu m < −1, th× b < 0 vµ do ®ã, (4) v« nghiÖm. 2 • NÕu m > −1, th× b > 0 vµ nh− vËy (4) cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2 x1, 2 = −(m + 1) ∓ 3(m + 1) m +1 b) NÕu m = −1, th× (4) cã d¹ng −3 = 0 vµ do ®ã, (4) v« nghiÖm. 2 VÝ dô 3. Cho ph−¬ng tr×nh f(x) := ax + bx + c = 0. (5) Chøng minh r»ng, nÕu 5a + 4b + 6c = 0, (6) th× (5) cã nghiÖm. Gi¶i. a) NÕu a = 0 th× (5) cã d¹ng bx − 2 2 b = 0, vµ do ®ã x = lµ 3 3 nghiÖm. b) NÕu a ≠ 0, th× do af(2) + 1 1 af   + af(0) = 0 4 2 nªn cã mét sè h¹ng ©m hoÆc b»ng 0. Tõ ®ã, (5) cã nghiÖm. VÝ dô 4. Cho ph−¬ng tr×nh a(x − b)(x − c) + b(x − a)(x − c) + c(x − a)(x − b) = 0. (7) 2 2 2 Chøng minh r»ng nÕu a + b + c ≠ 0 th× ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm. 2 Gi¶i. (7) ⇔ (a + b + c)x − 2(ab + ac + bc)x + 3abc = 0. − NÕu a + b + c ≠ 0 th× (7) lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai. Khi ®ã ∆ = (ab − 2 2 ac) + (ab − bc) + (ac − bc) ≥ 0. Do ®ã (7) cã nghiÖm. − NÕu a + b + c = 0 th× (7) cã d¹ng 3 2(ab + ac + bc)x = 3abc. (8) 2 2 2 2 Tõ (a + b + c) = 0 ⇒ a + b + c + 2(ab + ac + bc) = 0 2 2 2 ⇒ 2(ab + ac + bc) = −(a + b + c ) ≠ 0. Khi ®ã (8) cã nghiÖm. C«ng thøc Viet vµ øng dông 2 §Þnh lÝ. (a) NÕu ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0 cã hai nghiÖm x1, x2 th× x1 + x2 = − b c , x1x2 = . (9) a a (b) §¶o l¹i, hai sè α, β bÊt k× sÏ lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai 2 x − Sx + P = 0 víi S = α + β, P = α.β. VÝ dô 5. Cho ph−¬ng tr×nh bËc hai 2 2x − 5x + 1 = 0. Kh«ng gi¶i, h·y tÝnh S2 = x12 + x 22 , S 3 = x13 + x32 trong ®ã x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh. Gi¶i. Theo c«ng thøc Viet, x1 + x2 = 5 1 vµ x1x2 = . Chó ý r»ng ∆ = 2 2 17 > 0. Tõ ®ã 2 5  1  21 2 S2 = (x1 + x2) − 2x1x2 =   − 2.   = , 2 2 4 S3 = (x1 + x2) (x12 − x1x 2 + x 22 ) = 5  21 1  95 . − =  2 4 2 8 2 Chó ý. Gi¶ sö x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0, a ≠ 0 vµ Sn = x1n + x 2n , n ≥ 2. B»ng quy n¹p cã thÓ chøng minh ®−îc c«ng thøc sau aSn+1 + bSn + cSn−1 = 0, n ≥ 2. 4 VÝ dô 6. Cho hai ph−¬ng tr×nh bËc hai 2 2 x + b1x + c1 = 0 vµ x + b2x + c2 = 0 víi b2i + 4ci ≥ 0 i = 1, 2. Chøng minh r»ng chóng cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung khi vµ chØ khi 2 (c2 − c1) = (b2 − b1)(b1c2 − b2c1). (10) Gi¶i. §Æt fi(x) = x2 + bi x + ci (i = 1, 2). NÕu x1, x2 lµ 2 nghiÖm cña f1(x) = 0 th× ®Ó hai ph−¬ng tr×nh ®· cho cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ f2 (x1 )f2 (x2 ) = 0. hay (x12 + b2 x1 + c2 )(x 22 + b2 x2 + c2 ) = 0 . (11) (11) ⇔ [f1 (x1 ) + (b2 − b1 )x1 + (c2 − c1 )][f1 (x2 ) + (b2 − b1 )x 2 + (c2 − c1 )] = 0 ⇔ [(b2 − b1 )x1 + (c2 − c1 )][(b2 − b1 )x 2 + (c2 − c1 )] = 0 ⇔ (b2 − b1 )2 x1x 2 + (c2 − c1 )(b2 − b1 )(x1 + x2 ) + (c2 − c1 )2 = 0 2 Tõ ®ã vµ c«ng thøc Viet x1 + x2 = −b1, x1x2 = c1, ta cã (b2 − b1) c1 − 2 2 (c2 − c1)(b2 − b1)c1 + (c2 − c1) = 0 hay (b2 − b1) = (b2 − b1)(c2b1 − b2c1). 3. Mét sè ph−¬ng tr×nh bËc cao ®−îc ®−a vÒ bËc hai Ph−¬ng tr×nh d¹ng 2 a(f(x)) + bf(x) + c = 0 ®−îc ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai b»ng c¸ch ®Æt t = f(x). VÝ dô 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 8 4 x − 26x + 25 = 0. (11) 4 Gi¶i. §Æt t = x . (11) ®−îc ®−a vÒ d¹ng 5 2 t − 26t + 25 = 0. Tõ ®ã ta cã t1 = 1, t2 = 25 vµ x = 1  x4 = 1 (11) ⇔  ⇔  x = 5 4  x = 25  x = −5. VÝ dô 8. Gi¶i ph−¬ng tr×nh a) (x − 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 9, (12) 4 4 b) (x + 1) + (x + 3) = 16, (13) c) 2x 4 + 3x3 − x 2 + 3x + 2 = 0, (14) d) (x 2 + x − 2)(x 2 + x − 3) = 12, (15) e) (12x − 1)(6x − 1)(4x − 1)(3x − 1) = 5, (16) Gi¶i. a) Ph−¬ng tr×nh (12) ⇔ (x − 1)(x + 5)(x + 1)(x + 3) = 9 2 2 ⇔ (x + 4x − 5) + 8(x + 4x − 5) − 9 = 0 §Æt t = x2 + 4x − 5 ta cã ph−¬ng tr×nh  t = −9 2 t + 8t − 9 = 0 ⇔  t = 1  x2 + 4x − 5 = −9 Tõ ®ã (12) ⇔   x2 + 4x − 5 = 1  x2 + 4x + 4 = 0  x = −2 ⇔  ⇔   x2 + 4x − 6 = 0  x = −2 ∓ 10 b) §Æt t = x + 2, ta ®−îc 4 4 4 2 (t − 1) + (t + 1) = 16 ⇔ t + 6t − 7 = 0 6  t2 = 1 ⇔t=±1 ⇔   t 2 = −7 Tõ ®ã ph−¬ng tr×nh (13) cã hai nghiÖm x1 = −1, x2 = −3. c) x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (14). VËy 1  1   (14) ⇔ 2  x2 + + 3 x +  − 1 = 0 2  x  x   2 1 1   ⇔ 2  x +  + 3  x +  − 5 = 0. (18)   x x §Æt t = x + 1 , |t| ≥ 2. Khi ®ã (18) trë thµnh x 2 2t + 3t − 5 = 0, 5 Ph−¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm t1 = 1 (lo¹i) vµ t2 = − . Tõ ®ã 2 x+ 1 5 2 = − ⇔ 2x + 5x + 2 = 0. x 2 1 Ph−¬ng tr×nh sau cïng cã hai nghiÖm x1 = −2, x2 = − . 2 2 2 d) §Æt t = x + x. (15) cã d¹ng t − 5t − 6 = 0. Tõ ®ã t1 = 6, t2 = −1 vµ ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi tËp hîp  x2 + x = 6   x2 + x = −1. Ph−¬ng tr×nh sau v« nghiÖm, ph−¬ng tr×nh ®Çu cho x1 = 2, x2 = −3. 1  1  1  1 5  e) (16) ⇔  x − (17) x − x − x −  = 12   6  4  3  6.122  7 1  1   1  1  1  5 . x −  +  x −  +  x −  +  x −  = x −  4  12   6  4  3  24 §Æt t = 2 2  5  1    3   . Thay vµo (17), ta nhËn ®−îc  t 2 −     t 2 −    =  24     24   6.122  2 Tõ ®ã t = 49 (24) 2 vµ t = ± 7 . 24 Chó ý 1. Trong vÝ dô 8.e), ph−¬ng tr×nh cã d¹ng (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) = m (18) trong ®ã, a < b < c < d vµ b − a = d − c. Ta cã thÓ gi¶i (18) b»ng c¸ch ®Æt t= (x − a) + (x − b) + (x − c) + (x − c) a+b+c+d =x− . 4 4 Chó ý 2. T−¬ng tù, ®èi víi ph−¬ng tr×nh (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) = mx 2 víi m ≠ 0 vµ ab = cd cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch ®Æt t = x + VÝ dô 9. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x . (19) (19) ⇔ (x + 2)(x + 12)(x + 3)(x + 8) = 4x 2 2 2 ⇔ (x + 14x + 24)(x + 11x + 24) = 4x . (20) V× x = 0 kh«ng lµ nghiÖm nª 24 24    (20) ⇔  x + + 14   x + + 11  = 4 x x    §Æt t = x + 24 , ta cã ph−¬ng tr×nh x 2 t + 25t + 150 = 0. 8 ab . x Gi¶i ra ta ®−îc t1 = −10, t2 = −15 Thay vµo ta thu ®−îc tËp hîp ph−¬ng tr×nh  x2 + 15x + 24 = 0  2  x + 10x + 24 = 0. Gi¶i ra ta ®−îc x1,2 = (−15 (−15 ∓ 129) , x3 = −4, x4 = −6. 2 4. Ph−¬ng tr×nh bËc ba. §ã lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 3 2 f(x) ≡ ax + bx + cx + d = 0, a ≠ 0. (1) 4.1. NÕu biÕt α lµ mét nghiÖm cña (1) th× (1) cã thÓ ®−a vÒ d¹ng 2 a(x − α)(x + px + q) = 0 x − α = 0 ⇔  2  x + px + q = 0 2 b»ng c¸ch chia f(x) cho a(x − α) ®Ó ®−îc tam thøc bËc hai x + px + q. VÝ dô 10. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3 2 f(x) ≡ x + 3x + x − 5 = 0 (1) Gi¶i. T×m nghiÖm nguyªn cña (1) b»ng c¸ch xÐt c¸c −íc cña −5 ®ã lµ ±1 vµ ±5. Ta thÊy x = 1 lµ mét nghiÖm. Chia f(x) cho x − 1 ta dc th−¬ng 2 lµ x + 4x + 5. Tõ ®ã x − 1 = 0 ⇔ x ∈ {1, 5}. (1) ⇔  2  x + 4x + 5 = 0 NghiÖm x = 1 lµ nghiÖm kÐp. 3 3 4.2. §èi víi ph−¬ng tr×nh d¹ng (1) víi ®iÒu kiÖn ac = db , d ≠ 0, (cßn ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh håi qui bËc ba) th× cã thÓ gi¶i nh− sau. 9 d a) NÕu c = 0 th× b = 0 vµ x = 3 − lµ nghiÖm béi ba. b b) NÕu c ≠ 0 th× b ≠ 0 vµ (1) cã d¹ng 2 2 (x − α)[ax + (aα + b)x + aα ] = 0 ë ®©y α = − c b 3 VÝ dô 11. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x + 3x − 6x − 8 = 0. (2) 3 3 Gi¶i. (2) lµ ph−¬ng tr×nh håi qui v× 1.(−6) = (−8).3 . Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm α = 6 = 2. 3 x = 2 x = 2 ⇔  x = −1 Tõ ®ã (2) ⇔  2  x + 5x + 4  x = −4. 4.3. §èi víi ph−¬ng tr×nh d¹ng tæng qu¸t 3 2 ax + bx + cx + d = 0 (a ≠ 0), 3 cã thÓ ®−a vÒ d¹ng t + pt + q = 0 (3) 3 2 b»ng c¸ch ®−a vÒ d¹ng x + b'x + c'x + d' = 0, sau ®ã ®Æt x = t − p= − b' ta sÏ nhËn ®−îc (3) víi 3 (b ')2 2(b ')3 b ' c ' + c ', q = − + d '. 3 27 3 Cuèi cïng b»ng c¸ch ®Æt u = 2 p t 3 3 ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh 4u − 3u = m (nÕu p > 0) (4) 3 4u + 3u = m (nÕu p < 0). (5) 10