Nội dung

www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG VECTOR I. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Vấn đề 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. (Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối A, A1 năm 2012.) Lời giải: Cách 1 ( Phương pháp phổ biến ): Sử dụng định lý cosin trong ∆AHC ta tính được đoạn HC: 4a2 2a 1 7a2 HC 2 = AH 2 + AC 2 − 2AH.AC.cos60o = + a2 − 2. . = 9 3 2 9 √ a 7 \ = 60o Từ đó ta có: HC = . Mặt khác HC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC) nên [SC,\ (ABC)] = SCH 3 √ √ √ √ √ a 7√ a 21 1 1 a 21 a2 3 a3 7 ⇒ SH = HC.tan60o = . 3= . Suy ra VS.ABC = .SH.S∆ABC = . . = 3 3 3 3 3 4 12 −−→ −−→ −−→ Cách 2 (Phương pháp vector): Đặt BC = ~a, BA = ~b, SH = ~c. Hiển nhiên: BC = BA = |~a| = ~b = a và SH = |~c|. S M φ A F C N H B −→ −−→ −→ −−→ \ Lập luận như cách trên ta có: (SC; HC) = 60o . Ta sẽ biểu diễn lần lượt các SC và HC theo các ~a, ~b, ~c. −→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 1 1 SC = SH + HC = SC + BC − BH = ~a − ~b + ~c. Còn HC = BC − BH = ~a − ~b. 3 3 www.MATHVN.com 1 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 1 1 1 −→ −−→ (~a − ~b + ~c)(~a − ~b) (~a − ~b)2 −→ −−→ 1 1 1 SC.HC \ 3 3 3 = ⇔ = Ta có: cos(SC; HC) = −→ −−→ = ⇔ 1 1 1 1 2 2 2 SC . HC ~a − ~b + ~c . ~a − ~b ~a − ~b + ~c . ~a − ~b 3 3 3 3 1~ ~a − b 1 1 1 1 1 1 3 = ⇔ 4(~a − ~b)2 = (~a − ~b + ~c)2 ⇔ 4(~a − ~b)2 = (~a − ~b)2 + c2 + 2(~a − ~b)~c ⇔ 1~ 2 3 3 3 3 3 ~a − b + ~c 3 1 1 2 1 1 2 7a2 ⇔ 3(~a − ~b)2 = c2 ⇔ 3(a2 + b2 − ~a~b) = c2 ⇔ 3(a2 + a2 − . a.a) = c2 ⇔ = c2 9 3 9 √2 3 √ 3 √3 √ a 7 1 1 a 7 a2 3 a3 7 ⇔ c = √ . Từ đó tính được VS.ABC = . |~c| .S∆ABC = . √ . = . 3 3 4 12 3 3 Nhận xét: Mình không khuyến khích các bạn dùng cách này để tính một câu thể tích rất dễ như thế kia có thể giải bằng cách rất thông dụng. Mình giải như thế chỉ để làm rõ phương pháp của chủ đề này cho các bạn hiểu. Nhưng đến câu hỏi tính khoảng cách thì phương pháp này lại rất khả thi trong việc xác định đoạn vuông góc chung và độ dài khoảng cách giữa 2 đường thẳng. −→ 2 −−→ Ta dễ dàng biểu diễn được các vector: SA = ~b + ~c và BC = ~a 3 −−→ −→ 2x −−→ −−→ Gọi M,N lần lượt là các điểm nằm trên SA và BC thỏa: SM = xSA = ~b + x~c và BN = y BC = y~a. 3 −−→ −−→ −→ −−→ −2x~ 1 1 M N = M S + SB + BN = b − x~c + ~c − ~b + y~a = y~a − (2x + 1)~b + (1 − x)~c (1) 3 3 3   −→ −→ M N ⊥SA − M N .SA = 0 Để MN là đoạn vuông góc chung của SA và BC thì: ⇔ −−→ −−→ M N ⊥BC M N .BC = 0    2y ~a~b − 2 (2x + 1)b2 + (1 − x)c2 = 0 3 9 ⇔ 1  ya2 − (2x + 1)~a~b = 0 3    2 2    2y . a − 2 (2x + 1)a2 + (1 − x). 7a = 0  7 (1 − x) − 2 (2x + 1) + y = 0 −7x − 2 (2x + 1) + y = −7 3 2 9 3 3 9 3 3 ⇔ ⇔ ⇔ 2 1   −2x + 6y = 1 ya2 − 1 (2x + 1). a = 0 − (2x + 1) + y = 0 6 3 2   13 25 −19  − x + y = x = 16 3 3 ⇔ ⇔ 7 −2x + 6y = 1  y = 16 −−→ 7 7 3 Thay x, y vào phương trình (1) ta thu được: M N = ~a − ~b + ~c. 16 8 16 r r −−→ 7 2 2 7 7 2 2 3 2 2 7 7 7 3 7 a2 7 7 Ta có: M N = M N = ( ) .a + ( ) .b + ( ) .c − 2~a~b. . = ( )2 .a2 + ( )2 .a2 + ( )2 . .a2 − 2 . . 16 8 16 16 8 16 8 16 3 2 16 8 √ a 42 = . 8 3V Các bạn có thể giải câu khoảng cách bằng cách sử dụng ti số đường cao hoặc công thức h = bằng cách qua A S dựng một đường thẳng song song với BC. Nhận xét: Cách này cho ta thấy đươc chính xác vị trí của các điểm M, N nằm trên cạnh SA và BC. Nên đường vuông góc chung hoàn toàn được xác định. Một lợi thế nữa của phương pháp này so với phương pháp tọa độ là ta không cần phải sử dụng 3 trục vuông góc từng đôi một và xuất phát từ một điểm như hệ trục Decartes mà chỉ cần biết rõ góc giữa các vector. Ta cần phải chọn bộ 3 các vector ~a, ~b, ~c vừa có thể biểu diễn được hoành độ và tung độ của mặt phẳng đáy và cao độ của chiều cao từ đỉnh. Ưu tiên chọn các vector ~a, ~b, ~c có các góc đẹp giữa các vector như 30o , 45o , 60o và đặc biệt là 90o . Lưu ý: Không chọn 3 vector cùng nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc có ít nhất 2 vector nằm cùng phương với nhau. Vấn đề 2: Cho hình chóp S.AB có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.(Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối A năm 2011.) Lời giải:  (SAB)⊥(ABC) ⇒ SA⊥(ABC) Theo giả thiết : (SAC)⊥(ABC) www.MATHVN.com 2 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam −−→ −−→ −→ Đối với bài này ta chọn hệ vector như sau: Đặt BA = ~a, BC = ~b, SA = ~c. Hiển nhiên ta có: BA = BC = |~a| = ~b = 2a Lưu ý: Các vector ~a, ~b, ~c đôi một vuông góc nhau nên tích vô hướng giữa chúng hiển nhiên bằng 0 việc chọn như thế sẽ dễ dàng cho việc tính toán. Để  xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) ta làm như sau: (SBC) ∩ (ABC) = BC. Mặt khác: AB ∈ (ABC), AB⊥BC(gt) \ \ [ = 60o . ⇒ [(SBC); (ABC)] = (AB; SB) = SBA BC⊥SB(BC⊥(SAB) √ √ Từ đó tính được SA = AB.tan60o = 2 3a ⇒ c2 = 3a2 = 3b2 (với |~c| = 2 3a) 1 1 3a2 Dễ thấy tứ giác BM N C là hình thang vuông nên ta có SBM N C = .BM.(M N + BC) = .a.(a + 2a) = 2 2 2 √ 1 1 √ 3a2 3 VSBM N C = .SA.SBM N C = .2 3a. =a 3 3 3 2 −−→ −−→ Để tính khoảng cách giữa AB và SN ta sẽ biểu diễn các vector AB, SN theo ~a, ~b, ~c. S K N C A M φ B H −−→ −−→ −→ −−→ −−→ 1 AB = −~a, SN = SA + AM + M N = − (~a − ~b) + ~c 2 −−→ −−→ −−→ −−→ y Gọi các điểm H ∈ AB và K ∈ SN sao cho: AH = xAB = x~a.SK = y SN = − (~a − ~b) + y~c 2 −−→ −−→ −→ −−→ y y y HK = HA + AS + SN = −x~a − ~c − (~a − ~b) + y~c = −(x + )~a + ~b + (y − 1)~c 2 2 2   −→ −−→ HK⊥AB − HK.AB = 0 Để HK là đoạn vuông góc chung của AB và SN thì: ⇔ −−→ −−→ HK⊥SN HK.SN = 0    y y y x + = 0 x + = 0 x + = 0 2 2 ⇔ 1 ⇔ 1 ⇔ 1 2 7y  (x + y )a2 + y b2 + (y − 1)c2 = 0  (x + y ) + y + 3(y − 1) = 0  x+ =3 2 4 2 2 4 2 2 2  x = − 6 −−→ 6 1 13 ⇔ ⇒ HK = ~b − ~c 12  13 13 y = 13 www.MATHVN.com 3 −−→ ⇒ HK = HK = r www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam r √ 6~ 6 2 39a 1 −1 2 ~ b − ~c)2 = ( )2 + 3( ) b = . 13 13 13 13 13 Vấn đề 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD, H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng √ (ABCD) và SH = a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. (Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối A năm 2010.) 1 1 a2 a2 5a2 Lời giải: Dễ thấy: SCDN M = SABCD − SAM N − SBM C = a2 − .AM.AN − .BM.BC = a2 − − = 2 2 8 4 8 √ 1 1 √ 5a2 5 3a3 Từ đó tinh được: VS.CDN M = .SH.SCDN M = .a 3. = 3 3 8 24 ( S M B A N T H≡K D C √ −−→ −−→ −−→ a Đặt AM = ~a, DN = ~b, SH = ~c. Hiển nhiên ta có: AM = DN = |~a| = ~b = , SC = |~c| = a 3 2 −−→ −−→ −−→ −→ ⇒ c2 = 12a2 = 12b2 . Ta có: DM = ~a + 2~b, CN = −2~a + ~b. Đến đây ta sẽ biểu diễn lần lượt DM , SC theo ~a, ~b, ~c. −−→ −−→ Nhưng để làm được điều đó ta phải xác định được vị trí điểm H mới có thể biểu diễn được DH, CH từ đó biểu diễn −−→ −→ DM , SC . −−→ −−→ Cách xác định điểm H như sau:Đặt DH = u(~a + 2~b), CH = v(−2~a + ~b) −−→ −−→ −−→ −−→ ~ ~ ~ HH = HD + DC  + CH = −u(~a + 2b) + 2~a + v(−2~a + b) = −(u + 2v − 2)~a + (−2u + v)b u + 2v − 2 = 0 −−→ Mà HH = ~0 ⇔ (Do ~a, ~b không cùng phương ngược hướng) −2u + v = 0 −−→ 2 −−→ −−→ 4 −−→ 4 2 ⇔ u = , v = ⇒ DH = DM và CH = CN 5 5 5 5 −−→ −→ −−→ −−→ 4 4 ~ Từ đó DM = ~a + 2b, SC = SH + HC = ~c − (−2~a + ~b) = (2~a − ~b) + ~c 5 5 −−→ −−→ −→ −→ 4y Gọi các điểm K ∈ DM và T ∈ SC sao cho: DK = xDM = x(~a + 2~b), ST = y SC = (2~a − ~b) + y~c 5 −−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ 4y 2 KT = KD + DS + ST = KD + DH + HS + ST = −x(~a + 2~b) + (~a + 2~b) − ~c + (2~a − ~b) + y~c 5 5 8y 2 4y 4 ~ = (−x + + )~a + (−2x − + )b + (y − 1)~c (1) 5 5 5 5 www.MATHVN.com 4 www.MATHVN.com - Toán học   Việt Nam Để KT là đoạn vuông góc chung của DM và SC thì: KT ⊥DM −→ −−→ − KT .DM = 0 ⇔ −−→ −→ KT .SC = 0 KT ⊥SC    −5x + 2 = 0 −x + 8y + 2 + 2(−2x − 4y + 4 ) = 0 5 5 5 5 ⇔ ⇔ 8 8y −4y 4y 4  76y − 12 = 0   (−x + ) + (−2x − + ) + 12(y − 1) = 0 5 5 5 5 5 5 2  x = −−→ 24 12 4 5 ⇒ KT = ~a − ~b − ~c (Thay x,y vào (1) ) ⇔ 15  19 19 19 y = 19 r r −−→ 12~ 4 2 −12 2 −4 2 24 24 ) + 12.( ) . |~a| Suy ra KT = KT = ( ~a − b − ~c) = ( )2 + ( 19 19 19 19 19 19 √ √ 4 57 a 2 57a = . = 19 2 19 2 Nhận xét: Từ x = ta có thể thấy được điểm K mà ta giả định trùng với điểm H. Từ đó thấy được 5 đoạn vuông góc chung cũng chính là đoạn HT. Các bạn nên hiểu rõ rằng phương pháp tính độ dài vector trong các vấn đề trên hoàn toàn xuất phát từ định lý cosin trong tam giác chứ không có gì mới lạ cả. Ngoài ra phương pháp vector cũng rất hiệu quả trong các trường hợp tính góc. Ta hãy xét các vấn đề tiếp theo để hiểu rõ phương pháp. Vấn đề 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đấy là tam giác vuông có AB = a, √ AC = a 3. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a đường cao khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA", B’C’. (Trích đề thi đại học môn toán khối A năm 2008) Lời giải: −−−→ −−→ −−→ Gọi M là trung điểm của BC theo giả thiết A0 M ⊥(ABC). Ta chọn các vector như sau: A0 B 0 = ~a, A0 C 0 = ~b, A0 M = ~c (Đây là bộ ba vector đôi một vuông góc nhau nên tích vô hướng giữa chúng sẽ bằng 0 ) √ Từ đó có được A0 B 0 = |~a| = a, A0 C 0 = ~b = a 3, A0 M = |~c| . B' C' A' B M C A www.MATHVN.com 5 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam −−→ −−→ −−→ −−→ 1 −−→ −→ 1 Ta có: A0 A0 = A0 M − AM = A0 M − (AB + AC) = − (~a + ~b) + ~c. Mặt khác AA0 = 2a nên AA02 = 4a2 2 2 −1 1 1 1 ⇔[ (~a + ~b) + ~c]2 = 4a2 ⇔ (~a + ~b)2 + c2 = 4a2 ⇔ (a2 + b2 ) + c2 = 4a2 ⇔ (a2 + 3a2 ) + c2 = 4a2 2 4√ 4 4 ⇔ c2 = 3a2 hay AM 0 = |~c| = a 3 −−→0 −−0→ AA .B C − − → − − → \ 0 ; B 0 C 0 ) = cos(AA0 ; B 0 C) = Để tính cosin góc giữa AA0 , B 0 C 0 ta sẽ sử dụng công thức: cos(AA\ −−→0 −−0−→0 . AA . B C −−−→ −−→ −−−→ −−→ 1 Ta sẽ biểu diễn AA0 , B 0 C 0 theo các ~a, ~b, ~c. Ta có: AA0 = − (~a + ~b) + ~c, B 0 C 0 = ~b − ~a 2 −−→0 −−0−→0 1 1 1 3 AA .B C = a2 − b2 = a2 − b2 = −a2 2 2 2 2 q √ −−0−→0 −−→0 0 0 0 AA = AA = 2a. B C = B C = (~b − ~a)2 = a2 + b2 = 2a −−→ −−→ −a2 1 \ 0 ; B 0 C 0 ) = cos(AA0 ; B 0 C) = ⇒ cos(AA\ = . 2 4a 4 Lưu ý: Đối với 1 số bài toán có hình vẽ phức tạp yêu cầu chứng minh quan hệ vuông góc thì phương pháp này cũng tỏ ra rất hiệu quả. Vấn đề 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD va tính theo (a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. (Trích đề thi đại học môn toán khối B năm 2007) Lời giải: Gọi O là tâm hình vuông, K là trung điểm SA theo giả thiết ta có: SO⊥(ABCD). Do K vừa là trung điểm SA vừa −−→ −−→ −→ −−→ 1 −→ 1 −→ −−→ là trung điểm DE nên tứ giác ADSE là hình bình hành.⇒ M A = SD = (SO + OD). Và AN = AO + ON = 2 2 −→ 1 −−→ −−→ AO + (OC + OB). 2 −−→ −−→ −→ −−→ −−→ Ta sẽ chọn hệ vector như sau: OC = ~a, OD = ~b, SO = ~c. Ta sẽ lần lượt biểu diễn M N , BD theo các vector ~a, ~b, ~c E S M K A B N O K D C −−→ −−→ −−→ 1 −−→ −−→ −−→ 1 1 Ta có: M N = M A + AN = (~b + ~c) + (3~a − ~b) = (3~a + ~c). Và BD = 2~b ⇒ M N .BD = ~b(3~a + ~c) = 0 (Do các vector 2 2 2 www.MATHVN.com 6 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ~a, ~b, ~c vuông góc từng đôi một nên tích vô hướng giữa chúng sẽ bằng 0) Để tìm và tính đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng MN và AC ta làm như sau: −−→ −−→ x −−→ −→ Gọi các điểm H ∈ M N và K ∈ AC sao cho: M H = xM N = (3~a + ~c), AK = y AC = 2y~a 2 −−→ −−→ −−→ −−→ x 1 1 1 1 HK = HM + M A + AK = − (3~a + ~c) + (~b + ~c) + 2y~a = (−3x + 4y)~a + ~b − (x − 1)~c (1) 2 2 2 2   2 −→ −−→ HK⊥M N − HK.M N = 0 Để HK là đoạn vuông góc chung của MN và AC thì: ⇔ −−→ −→ HK⊥AC HK.AC = 0   x − 1 = 0  3 (−3x + 4y)a2 − 1 (x − 1)c2 = 0 −−→ 1 4 ⇔ ⇒ HK = ~b (Thay vào (1) ) ⇔ 4 −3x + 4y = 0 −3x + 4y = 0 2 √ −−→ 1 a 2 ⇒ HK = HK = ~b = 2 4 3 Nhận xét: Từ hê phương trình trên ta có thể giải ra và thấy x = 1 nghĩa là điểm H ≡ N, y = nên điểm K là trung 4 điểm của đoạn OC. Dễ dàng thấy được đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng MN và AC là NK. Lưu ý: Ngoài ra nếu gặp câu hỏi về khoảng cách từ điểm tới mặt ta có thể dựng một mặt phẳng song song rồi chuyển về tìm đoạn vuông góc chung giữa hai đoạn thẳng bằng phương pháp trên. Một cách làm nghe có vẻ "ngược đời" nhưng hoàn toàn có thể thực hiện được bằng phương pháp trên. Ta xét tiếp các vấn đề kế tiếp sẽ thấy rõ hiệu quả. Vấn đề 6: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C=a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a . (Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối D năm 2012.) Lời giải: √ a a 2 và cạnh của hình vuông AB = Do ∆AA0 C vuông cân tại A nên ta tính được: AA0 = AC = 2 2 0 0 Theo đề bài AB⊥BB 0 và AB⊥BC nên dễ dàng suy ra được: AB⊥(BB C C). √ √ 1 1 a 1 a a 2 a3 2 Suy ra: VABB 0 C 0 = .AB.S∆BB 0 C 0 = . . . . = . 3 3 2 2 2 2 48 A B D C K B' A' D' C' Để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) ta có thể tính khoảng cách giữa hai đường đường AD và CD’ (vì www.MATHVN.com 7 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 0 (AD k (BCD )). √ −−→ −−→ ~ −−→0 a a 2 2 ~ Ta chọn hệ vector như sau: BA = ~a, AD = b, AA = ~c với |~a| = b = , |~c| = . Hay c2 = 2 |~a| . 2 2 −−→ −−→ −−−→ Ta có: CD0 = CC 0 + C 0 D0 = ~a + ~c. −−→ −−→ −−→ −−→ Gọi các điểm H ∈ AD và K ∈ CD0 sao cho: AH = xAD = x~b, CK = y CD0 = y(~a + ~c) −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ ~ ~ ~ HK = HA + AC + AK = HA + BC − BA + AK = −x  b + b − ~a + y(~a + ~c) = (y − 1)~a + (1 − x)b + y~c (1) − − → − → HK⊥AC HK.AC = 0 Để HK là đoạn vuông góc chung của AD và CD’ thì: ⇔ −−→ −−→ HK⊥CD0 HK.CD0 = 0   1 − x = 0 x = 1 −−→ 1 ⇒ HK = (−2~a + ~c) (thế x, y vào từ (1) ) ⇔ ⇔ 1 y − 1 + 2y = 0 y = 3 3 √ √ −−→ 1p 1 a 6 ⇒ HK = HK = (−2~a + ~c)2 = . |~a| . 4 + 2 = . 3 3 6 √ a 6 . Vậy d[A; (BCD0 )] = HK = 6 Nhận xét: Từ hệ trên ta thấy ngay điểm H ≡ D nên đoạn vuông góc chung của AD và CD’ là đoạn DK cũng chính là đường cao kẻ từ đỉnh D trong ∆CDD0 . √ Vấn đề 7: Cho hình lăng trụ ABCD.A1 B1 C1 D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1 A1 ) và (ABCD) bằng 60o . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1 BD) theo a . (Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối B năm 2011.) Lời giải: Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD và M là trung điểm AD ta dễ dàng chứng minh được: A1 O⊥(ABCD), OM ⊥AD o \ và A1 M ⊥AD nên góc giữa hai mặt phẳng (ADD1 A1 ) và (ABCD) là (A1\ M ; OM ) = A√ 1 M O = 60 . √ √ AB √ a 3 3a2 a 3 ⇒ A1 O = OM.tan60o = . 3= . Suy ra VABCD.A1 B1 C1 D1 = A1 O.SABCD = .a.a 3 = . 2 2 2 2 Để tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1 BD) ta có thể chuyển về tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A1 B1 O1 D1 H C1 A M φ B O D C www.MATHVN.com 8 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam B1 D1 và A1 B (vì B1 D1 k (A1 BD) ). √ −−→ −−−→ ~ −−→ a 3 3 2 ~ Ta chọn hệ vector như sau: OD = ~a, B1 A1 = b, A1 O = ~c với |~a| = b = a, |~c| = . Hay c2 = |~a| . 2 4 1 2 [ o o ~ ~ .a Dễ thấy A\ B D = 60 nên suy ra (~ a ; b) = 60 từ đó lưu ý rằng ~ a . b = 1 1 1 2 −−−→ −−→ −−→ −−→ Ta có: B1 D1 = 2~a và A1 B = A1 O + OB = −~a + ~c −−−→ −−−→ −−−→ −−→ Gọi các điểm H ∈ B1 D1 và K ∈ A1 B sao cho: B1 H = xB1 D1 = 2x~a, A1 K = y A1 B = y(−~a + ~c) −−→ −−−→ −−−→ −−−→ ~ HK = HB1 + B1 A1 + A1 K = −2x~a + ~b + y(−~a + ~c) = −(2x (1)  + y)~a + b + y~c  −→ −−−→ HK⊥B D − HK.B1 D1 = 0 1 1 Để HK là đoạn vuông góc chung của B1 D1 và A1 B thì: ⇔ −−→ −−→ HK⊥A1 B HK.A1 B = 0     −2(2x + y)a2 + 2~a.~b = 0 −2(2x + y) + 1 = 0 x = 1 4x + 2y = 1 4 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (2x + y)a2 − ~a.~b + yc2 = 0 2x + y − 1 + 3y = 0 y = 0 2x + 7y = 1 2 4 2 r 2 r −−→ − − → 1 1 1 1 2 Thay x, y vào (1) ta được: HK = − ~a + ~b ⇒ HK = HK = (− ~a + ~b)2 = a + a2 − a2 2 2 4 2 √ √ a 3 a 3 = ⇒ d[B1 ; (A1 BD)] = HK = . 2 2 Nhận xét: Từ hệ trên ta có thể thấy được điểm H là trung điểm của đoạn O1 B1 (với O1 là tâm của hình chữ nhật A1 B1 C1 D1 và K ≡ A1 nên đoạn vuông góc chung tìm được ở đây là đoạn A1 H. Để tổng kết phương pháp ta sẽ đi đến vấn đề cuối cùng và sau đó là một vài bài tập tự luyện để các bạn có thể hiểu và nắm chắc phương pháp này. Vấn đề 8: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ .Cạnh đáy có độ dài là a, biết góc giữa 2 đường thẳng AB’ và BC’ là 60o . Tính thể tính của khối lăng trụ ABC.A’B’C và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ theo a. Lời giải: −−→ −−→ \ 00 ; BC 0 ) = cos(AB 0 ; BC 0 ) = Để xử lí dữ kiện góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ ta sẽ sử dụng công thức: cos(AB\ B C K A H C' B' A' www.MATHVN.com 9 −−→0 −−→0 AB .BC 1 −−→0 −−→0 = 2 . AB . BC www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam −−→ −−→ −→ Ta chọn hệ vector như sau: AB = ~a, AC = ~b, AA0 = ~c và AB = AC = |~a| = ~b = a a2 c Để ý rằng ~a.~b = |~a| . ~b .cos(~a; ~b) = a.a.cos60o = . Do ~c vuông với 2 vector ~a, ~b nên tích vô hướng của ~c đối với hai 2 vector này đều bằng 0. −−→ −−→ −−→ −−→ Ta biểu diễn AB 0 , BC 0 theo các vector ~a, ~b, ~c. Dễ thấy AB 0 = ~a + ~c và BC 0 = −~a + ~b + ~c p √ √ −−→0 −−→0 −−→ −−→ a2 AB .BC = −a2 + ~a.~b + c2 = − + c2 . AB 0 = a2 + c2 . BC 0 = a2 + b2 + c2 − 2~a.~b = a2 + c2 . 2 a2 c2 − √ −−→ −−→ 1 \ 2 00 ; BC 0 ) = cos(AB 0 ; BC 0 ) = = ⇔ c = 0 (loại) hoặc c2 = 2a2 ⇒ |~c| = a 2 ⇒ cos(AB\ 2 2 a +c √ 2 √ √ a 3 a3 6 Từ đó ta có: VABC.A0 B 0 C 0 = AA0 .SABC = a 2. = . 4 4 Để tìm và tính đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ ta làm như sau: −−→ −−→ −−→ −−→ Gọi các điểm H ∈ AB 0 và K ∈ BC 0 sao cho: AH = xAB 0 = x(~a + ~c), BK = y BC 0 = y(−~a + ~b + ~c) −−→ −−→ −−→ −−→ → − ~ HK = HA + AB + BK = −x(~a + ~c), +~a + y(−~a + ~b + ~c) = −(x + y − 1)~ a + y b + (y − x)~c (1) −→ − − → HK⊥AB 0 HK.− AB 0 = 0 Để HK là đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’ thì: ⇔ −−→ −−→ HK⊥BC 0 HK.BC 0 = 0    −(x + y − 1)a2 + ~a.~b.y + (y − x)c2 = 0 −(x + y − 1) + 1 y + 2(y − x) = 0 2 ⇔ ⇔ (x + y − 1)a2 + yb2 + (y − x)c2 − (x + 2y − 1)~ab = 0 (x + y − 1) + y + 2(y − x) − 1 (x + 2y − 1) = 0  2   5 3   −3x + y = −1 x = 2 9 ⇔ −3 ⇔ 1 4    y = x + 3y = 2 2 9 q √ −−→ 1 ~ −−→ 1 1√ 1 Thay x, y vào (1) ta có: HK = (4b − ~c) ⇒ HK = HK = (4~b − ~c)2 = . 16b2 + c2 = ~b . 16 + 2 9 9 9 9 √ a 2 = . 3 TỔNG KẾT: Qua các ví dụ trên mình muốn cho các bạn thấy rằng một bài toán hình học không gian có thể được giải bằng nhiều cách từ đó các bạn có thể chọn được phương pháp giải phù hợp đề bài trong mỗi trường hợp cụ thể. Chúc các bạn ôn thi có kết quả cao và nắm chắc được 1 điểm phần hình học không gian trong đề thi Đại Học sắp tới năm 2013. Sau cùng là một vài bài tập cho các bạn tự luyện để đánh giá mức độ nhận biết. II. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tự luyện 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = √ a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C. (Trích đề tuyển sinh √ Đại Học môn Toán khối D năm 2008). √ a3 2 a 7 Đáp số: VABC.A0 B 0 C 0 = , d(AM ; B 0 C) = . 2 7 √ Tự luyện 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a, SA=a, SB=a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích khối chóp S.BMDN và tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.(Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối B năm 2008). √ √ a3 3 5 0 \ Đáp số: VS.BM DN = , cos(AM ; B C) = . 3 5 Tự luyện 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm số đo của góc tạp bởi hai mặt phẳng (BA’C) và (DAC).(Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối A năm 2003). \ Đáp số: [(BA0 C); (D”AC)] = 60o √ Tự luyện 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a 5, AC= 4a và chiều cao của hình chóp là SO √ = 2 2a, ở đây O là giao điểm của AC và BD. Gọi H là trung điểm của SC. Tìm góc và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM theo a.(Trích đề √ tuyển sinh Đại Học môn Toán khối A năm 2004). 2 6a \ Đáp số: (SA; BM ) = 30o , d(SA; BM ) = 3 Tự luyện 5: Cho hình lập phương ABCD.A01 B1 C1 D1 có cạnh bằng a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A1 B và B1 D (Trích đề tuyển sinh Đại Học môn Toán khối B năm 2002). www.MATHVN.com 10