Nội dung

kientoanqb@yahoo.com sent to www.laisac.page.tl PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH Oxy TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Phần một: Bài tập liên quan đến xác định các yếu tố trong tam giác Trong phần này ta thống nhất kí hiệu: Trong tam giác ABC: - AM, AH, AD lần lượt là trung tuyến, đường cao, phân giác trong góc A - G, I lần lượt là trọng tâm, tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác. - S, p lần lượt là dịên tích, nữa chu vi tam giác Để giải quyết tôt bài tập trong phần này học sinh cần nắm chắc các vần đề sau: - Nếu M ( xM ; yM ) thuộc đường thẳng :ax+by+c=0  ax M  byM  c  0 hoặc - -  x  x0  at M ( xM ; yM ) thuộc đường thẳng    M ( x0  at ; y0  bt )  y  y0  bt ax  byM  c Khoảng cách từ M đến đường thẳng  là d( M /  )  M a 2  b2 Nếu M là điểm bất kỳ thuộc cạnh AC của tam giác ABC thì điểm đối xứng với M qua phân giác trong AD luôn thuộc cạnh AB.(Tính chất rất quan trọng trong tam, giác ABC) Cho 2 đường thẳng 1 : a1 x  b1 y  c  0,  2 : a2 x  b2 y  c  0 góc tạo bởi 1 ,  2 kí hiệu   n1.n2   a1a2  b1b2 , nếu 1 ;  2 vuông góc với nhau   cos   cos(n1 , n2 )     n1 n2 a12  b12 a22  b2 2   thì n1 .n2  0  a1a2  b1b2  0 Tam giác ABC cân tại A  cosB=cosC Trong tam giác vuông tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm cạnh huyền abc 1 S ABC  BC.d  A/ BC   p.r  2 4R Nếu đường thẳng  bất kỳ đi qua M ( xM ; yM ) thì phương trình   : a( x  xM )  b( y  yM )  0  ax+by-(axM  byM )  0 với n(a; b) là VTPT của  và ( a2  b2  0 ) - Phương tích của điểm M bất kỳ với đường tròn ( C) tâm I bán kính R là  P( M /(C ))  MAMB  IM 2  R 2 (Với A, B là giao điểm của cát tuyến qua M với đường tròn (C) Nếu M nằm ngoài đường tròn thì P( M /( C ))  0 Nếu M nằm trong đường tròn thì P( M /( C ))  0 Nếu M thuộc đường tròn thì P( M /( C ))  0 Nếu MT là tiếp tuyến P( M /( C ))  MT 2 MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CÀN LƯU Ý: 1) Biết đỉnh A của tam giác ABC và 2 trung tuyến BM, CN. Viết phương trình các cạnh? 1 PP: Trước hết ta tìm tọa độ đỉnh B ( xB ; yB ) : Vì B  BM ta có phương trình (1). Từ toạ độ B ta x  x A yB  y A biểu diễn N ( B ; ) vì N  CN ta có phương trình (2). Giải hệ gồm 2 phương trình 2 2 (1) (2) ta tìm được toạ độ điểm B. Tương tự có đỉnh C A N M B C Ví dụ 1) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(4;-1) và phương trình 2 đường trung tuyến BM: 8x-y-3=0, CN:14x-13y-9=0. Tính toạ độ các đỉnh B, C HD Giải: Giả sử B ( x1; y1 ); B  BM  8 x1  y1  3  0 .(1) Vì N là trung điểm AB nên 4  x1 1  y1  4  x1   1  y1  ; ); N  CN  14    13    9  0 (2) 2 2  2   2  x  1 Giải hệ (1) và (2) ta có  1  B (1;5)  y1  5 Tương tự ta có C(-4;-5) N( 2) Biết đỉnh A của tam giác ABC và trung tuyến BM, đường cao BH. Viết phương trình các cạnh? PP: - Tìm toạ độ B là giao điểm của BM và BH. Viết phương trình AB, AC. Giao của AC và BM ta có toạ độ M dùng tính chất trung điểm suy ra toạ độ C. 2 B A H M C Ví dụ 1) Tam giác ABC có đường trung tuyến mA : x  y  1  0, đường cao hA : x  2 y  1  0 đoạn AB có trung điểm M(1;1). Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC  Giải: mA : x  y  1  0; hB : x  2 y  1  0 có véc tơ pháp tuyến n1 1; 2  Gọi A  t; t  1  m A , B 1  2u; u   hB . t  1  2u   t  1  2u  xM  1  u  0 2 2 Toạ độ trung điểm M của AB là    t  1  y  t 1 u 1  t  1  u  M  2  2  x  1 Vậy A=(1;2), B=(1;0). Suy ra AB   0; 2  và phương trình đường thẳng AB:  y  2  t  Đường thẳng AC đi qua A(1;2) có véc tơ chỉ phương n 1; 2  nên có phương trình: x 1 y  2   y  2x 1 2 1 v  Giả sử C  v; 2v   AC . Toạ độ trung điểm N của BC là: N  ;v   2    1 v N  mA   v  1  0  v  3 . Vậy C=(3;6), BC   2;6   2 1;3 2 Phương trình đường thẳng BC đi qua B(1;0) có véc tơ chỉ phương (1;3) là: x 1 y  . 1 3 3) Biết đỉnh A đường cao BH trung tuyến CM. Viết phương trình các cạnh tam giác? PP: Viết phương trình AC.Giao điểm của AC và CM ta có toạ độ C. Gọi B ( xB ; yB ) vì M là trung x  x A yB  y A điểm AM nên M ( B ; ) M thuộc CM nên thay vào phương trình CM ta tìm được toạ 2 2 độ điểm B. 3 B M A C H Ví dụ 3) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có C(-4;-5) và phương trình đường cao AD:x+2y-2=0, đường trung tuyến BM: 8x-y-3=0. Tính toạ độ các đỉnh A,B HD Giải: Hs dễ dàng viết được phương trình (BC):2x-y+3=0. Tọa độ B là nghiệm của hệ 2 x  y  3  0  x  1, y  5  B(1;5)  8 x  y  3  0 Giả sử A(x;y)  x  2 y  2  0 (1) vì M là trung điểm AC nên 4  x 5  y  4  x   5  y  M( ; ); M  BM  8     3  0 (2). Giải hệ gồm 2 phương trình 2 2  2   2  (1) và (2) ta có x  4; y  1  A(4; 1) Ví dụ 2) Cho tam giác ABC có phương trình của trung tuyến xuất phát từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt là: 2 x  5 y  1  0; x  3 y  4  0. Đường thẳng BC đi qua điểm K  4; 9  . Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết rằng đỉnh C nằm trên đường thẳng d :x y60   Giải: Gọi B  4  3b; b  , C  c; c  6  ta có KB  3b; b  9  ; KC  c  4; c  3   7k  9 27  5k K,B,C thẳng hàng nên KB  k KC. Từ đó ta tính được b  ,c  4 4k  21k 2  38k  27 7 k 2  38k  27  Gọi M là trung điểm của BC ta tính được M  ;  8k 8k   Vì M thuộc đường trung tuyến AM nên ta có tọa độ M thỏa mãn phương trình AM : 77 k 2  258k  81  0 . Giải rat a được k  3 hoặc k  27 77 viết phương trình AC tìm A theo 2 trường hợp. Phần còn lại đơn giản các bạn tự giải. 4 Ví dụ 3) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết đường cao và trung tuyến xuất phát từ A lần lượt có pt: 6 x  5 y  7  0; x  4 y  2  0. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng trọng tâm tâm của tam giác thuộc trục hoành và đường cao xuất phát từ đỉnh B đi qua điểm E 1; 4  Giải: Ta có A  2;1 . Gọi G  a; 0  , vì G thuộc trung tuyến nên suy ra G  2;0    1  Gọi M là trung điểm BC ta có: AG  2GM  M  4;   2  Viết được BC : 5 x  6 y  23  0  B  1  6t; 3  5t  ; C  7  6t ;5t  2  Vì BE vuông góc với AC ta có điều kiện là 61t 2  42t  19  0  t  1 hoặc t  19 61 Đến đây chia hai trường hợp để giải. 4) Biết đỉnh A trung tuyến BM, phân giác trong BD. Viết phương trình các cạnh? PP: Tìm B là giao điểm của BM, BD. Viết phương trình AB. Tìm toạ độ A1 đối xứng với A qua phân giác trong BD suy ra A1 thuộc BC. Viết phương trình đường thẳng BC (đi qua B, A1 ). Tìm toạ độ C ( xC ; yC ) vì C thuộc BC ta có phương trình (1) . M là trung điểm AC suy ra x  x A yC  y A M( C ; ) Vì M thuộc trung tuyến BM ta có phương trình (2). Giải hệ (1) (2) ta có 2 2 toạ độ C. B A1 A D C M 5) Biết đỉnh A trung tuyến BM phân giác trong CD. Viết phương trình các cạnh? 5 PP:Tìm toạ độ C ( xC ; yC ) Vì C thuộc CD nên ta có phương trình (1). M là trung điểm AC nên x  x A yC  y A M( C ; ) . Vì M thuộc BM thay vào ta có phương trình (2). Giải hệ (1) (2) ta có toạ 2 2 độ C. Tìm A1 đối xứng với A qua phân giác trong CD. Viết phương trình BC (đi qua C và A1). Lấy giao điểm BC và BM ta có toạ độ điểm B. A1 B D A C M Ví dụ 1) Trong Oxy cho  ABC có đỉnh A(1;2) đường trung tuyến BM: 2 x  y  1  0 và phân giác trong CD: x  y  1  0 . Viết phương trình đường thẳng BC. Giải: Điểm C  CD : x  y  1  0  C  t ;1  t  .  t 1 3  t  Suy ra trung điểm M của AC là M  ; . 2   2  t 1  3  t M  BM : 2 x  y  1  0  2   1  0  t  7  C  7;8  2  2  Từ A(1;2), kẻ AK  CD : x  y  1  0 tại I (điểm K  BC ). Suy ra AK :  x  1   y  2   0  x  y  1  0 . x  y 1  0 Tọa độ điểm I thỏa hệ:   I  0;1 . x  y 1  0 Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK  tọa độ của K  1;0  . Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: x 1 y   4x  3 y  4  0 7  1 8 6) Biết đỉnh A đường cao BH, phân giác trong BD. Viết phương trình các cạnh tam giác ? PP: Viết phương trình AC. Tìm B là giao điểm của BH và BD viết phương trình AB.Tìm A1 đối xứng với A qua phân giác trong BD. Viết phương trình BC(đi qua A1 và B). Tìm C là giao điểm AC và BC 6 B A1 A H D C Ví dụ 1) Tam giác ABC có C(-3; 1), đường cao hA : x  7 y  32  0 , phân giác I A : x  3 y  12  0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác.  Giải: hA : x  7 y  32  0 có véc tơ pháp tuyến n1 1;7   Vì BC  hA nên BC có véc tơ chỉ phương n1 1;7  . Đường thẳng BC đi qua C(-3;1) và có véc tơ  x  3 y 1 chỉ phương n1 1;7  có phương trình là  1 7  x  7 y  32  0 x  3 Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:    A   3; 5  x  3 yy  12  0  y  5 Gọi C1 là điểm đối xứng với C qua l A thì C1  AB  l A : x  3 y  12  0 có véc tơ pháp tuyến n2 1;3 . Vì CC1  l A nên CC1 có véc tơ chỉ phương là  n2 1;3  Phương trình đường thẳng CC1 đi qua điểm C(-3;1) và có véc tơ chỉ phương là n2 1;3 là x  3 y 1  1 3 Toạ độ giao điểm I của CC1 và l A là nghiệm của hệ: 21  x  x  3 y 1      21 13  5   I    ;  3  1 5  5  x  3 y  12  0  y   13  5 27   xC1  2 x1  xC   5  27 31    42 6  6 I là trung điểm của CC1 nên   C1    ;   ; C1 A   ;    7;1 5  5  5 5 5  y  2 y  y   31 C1 1 C  5 AB đi qua A(3;-5) và có véc tơ chỉ phương (7;1) nên phương trình đường thẳng AB x3 y5 là:  7 1 7 AC đi qua A(3;-5) và có véc tơ chỉ phương 1  AC   1;1 nên phương trình đường thẳng AC là: 6 x3 y5  . 1 1 7) Biết đỉnh A đường cao BH phân giác trong CD. Viết phương trình các cạnh tam giác? PP: Viết phương trình AC. Tìm C là giao điểm của AC và CD.Tìm A1 đối xứng với A qua phân giác trong CD. Viết phương trình BC (đi qua C và A1). Tìm B là giao điểm của BH và BC. A1 B D A H C Ví dụ 1) Cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A, đường cao kẻ từ B lần lượt là: x  y  2  0; 4 x  3 y  1  0 . Biết hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng qua AB là H(-1;-1). Tìm tọa độ đỉnh C Giải: Kí hiệu đường cao là BK: 4x+3y-1=0, phân giác trong AD:x-y+2=0 Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua AD thì H’ thuộc AC . Tính được H’(-3;1) Phương trình AC: 3x-4y+13=0. Tọa độ A là giao điểm của AD và AC là nghiệm của hệ x  y  2  0 x  5   A(5; 7)  3 x  4 y  13  0 y  7 Đường cao CH qua H và vuông góc với HA nên CH: 3x+4y+7=0 3 x  4 y  13  0  10 3  Tọa độ C là giao điểm của AC và CH:  C ;   3 4 3 x  4 y  7  0 Ví dụ 2) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có C (2;3) . Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A và đường phân giác trong góc B có phương trình lần lượt là: 3 x  2 y  25  0, x  y  0 .Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác Gọi đường cao kẻ từ A là AH: 3x  2 y  25  0 Đường phân giác trong góc B là BE: x  y  0 BC có phương trình : 2 x  3 y  5  0 8 2x  3 y  5  0 x  1 Toạ độ B là nghiệm của hệ    B (1;1) x  y  0 y 1 Gọi F là điểm đối xứng của C qua BE. Do BE là phân giác nên F thuộc AB. Xác định toạ độ F được F(3; -2). Đường thẳng chứa cạnh AB là đường thẳng đi qua B, F. Phương trình AB là: 3x + 2y -5 = 0. 3x  2 y  5  0 x  5 Toạ độ A là nghiệm của hệ    A(5; 5) 3x  2 y  25  0  y  5 Vậy phương trình AC là: 8x + 7y - 5 = 0 8) Biết đỉnh A hoặc trọng tâm G của tam giác ABC thuộc một đường thẳng (d) cho trước, Biết toạ độ 2 đỉnh B,C và diện tích tam giác ABC. Tìm toạ độ đỉnh A? PP: Biểu diễn toạ độ A theo phương trình tham số của (d).( Nếu biết trọng tâm G thuộc đường thẳng d. thì biễu diễn G trước sau đó suy ra toạ độ A theo G). Dùng công thức tính diện tích tam 1 giác S ABC  BC.d  A / BC  ta tính được toạ độ A. 2 (Chú ý: Đôi khi thay vì cho diện tích tam giác ABC giả thiết bài toán là cho diện tích tam giác GBC hoặc GAB, GAC. Khi đó các em học sinh cần chú ý các tam giác này đều có diện tích bằng 1/3 lần diện tích tam giác ABC) Ví dụ 1) Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;1) , B(1; 2) , träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®­êng th¼ng x  y  2  0 . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 . HD giải: V× G n»m trªn ®­êng th¼ng x  y  2  0 nªn G cã täa ®é G  (t ; 2  t ) . Khi ®ã AG  (t  2;3  t ) , AB  (1;1) VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ S 2 2t  3 1 1 AG 2 . AB 2  AG. AB  2 ( t  2) 2  ( 3  t ) 2  1 = 2 2 2     NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng 13,5 : 3  4,5 . VËy 2t  3  4,5 , 2 suy ra t  6 hoÆc t  3 . VËy cã hai ®iÓm G : G1  (6;4) , G 2  (3;1) . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn xC  3 xG  ( xa  xB ) vµ yC  3 yG  ( ya  yB ) . Víi G1  (6;4) ta cã C1  (15; 9) , víi G 2  (3;1) ta cã C2  (12;18) Ví dụ 2)Tam giác ABC có A(1;1), B(-2;5) trọng tâm G thuộc đường thẳng 1 : 2 x  3 y  1  0 , đỉnh C thuộc đường thẳng  2 : x  y  1  0. Tính diện tích tam giác ABC. x  t  Giải: 1 : 2 x  3 y  1  0   1  2t  y  3 9  1  2u  Gọi G  u;   1 , C  v;1  v    2 3   1  v   xG  3 Vì A(1;1), B(-2;5) nên toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là  y  7  v  G 3 1  v  u  3 u  5 Vậy    C 16; 15 v  16 1  2u  7  v  3 3  Ta có AB   3; 4  , AB  5 Đường thẳng AB đi qua điểm A(1;1) có véc tơ chỉ phương (-3;4) nên ta có phương trình: x  1 y 1   4x  3 y  7  0 3 4 4.16  3.15  7 12 Suy ra d  d  C , AB    5 4 2  32 S ABC  1 1 12 AB.d  .5.  6 2 2 5 9) Biết toạ độ đỉnh A hoặc một cạnh của tam giác cân ABC đi qua M cho trước, Biết phương trình 2 cạnh không chứa điểm M. Tìm toạ độ các đỉnh? PP: Gọi  là đường thẳng bất kỳ đi qua M ( xM ; yM )   : a( x  xM )  b( y  yM )  0  ax+by-(axM  byM )  0 với n(a; b) là VTPT của  và ( a 2  b 2  0 ). Nếu  là một cạnh của tam giác cân ABC ( giả sử cân tại A) thì cos(,AB)=cos(,AC) (nếu biết trước phương trình 2 cạnh là AC, AB và BC đi qua M). từ đó giải a theo b ta viết được phương trình của  Ví dụ 1) Cho tam giác cân ABC có cạnh đáy BC:x-3y-1=0, cạnh bên AB:x-y-5=0. Đường thẳng AC đi qua M(-4;1). Tìm toạ độ đỉnh C? HD giải:  Gọi n (a; b) là VTPT của đường thẳng AC, Vì AC đi qua M(-4;1)   PT ( AC ) : a( x  4)  b( y  1)  0  ax+by+(4a-b)=0 a 2  b 2  0 10 