Nội dung

X Bài toán 6 : Cho hai đường thẳng: d : 2 - 3 = 7 + 3t và d': y = 2 + 2 t 4 z = -l-3 t a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng cắt nhau. b) Viết phương trình mặt phăng chứa 2 đường thẳng đó. Giải X = 1 + 2s a) Phương trình tham số của đường thẳng d là: -Ị y = - 2 - 3s z = 5 + 4s l + 2s = 7 + 3t De tìm giao điếm của hai đưòng thẳng ta giải hộ: —2 —3s = 2 + 2t <=> Ịs = 0 5 + 4s = - l - 3 t t=-2 ‘ Suy ra có giao điểm A( 1; -2; 5) nên d và d' cắt nhau. b) Vectơ pháp tuyến của mặt phăng (P) chứa d và d’ là n = f u , u 'j = (1; 18; 13). Mặt phẳng (P) chứa d nên đi qua M(1 ;-2;5). Vậv phưcmg trình mặt phẳng chứa d và d' là: l ( x - 1)+ 18(y + 2) + 13(z-5) = 0 o x + 18y + 13z-30 = 0. Bài toán 7: Cho diểm A( 1; -1; 1) và hai đường thẳng: (d,): X = t X = t' y= y - l + 2 t'. - l - 2 t , ( d 2) : z = 3t z = 4 + 5t’ Chứng minh (d|), (di) và A cùng thuộc một mặt phăng. Giái (d2) qua B(0; 1; 4) và có VTCP ĩi = (1; 2; 5) Mp(A, d 2) qua B và có VTPT n = I u,. AB] = (-4; - 8 ; -4) hay (1; 2; -1) nên có phương trình: 1(x - 1) + 2(y + 1) - 1(z - 1) = 0 <=> X + 2y - z + 2 Ta có (di) qua M(0; -1; 0) và N (-l; 1; 3) Vì M, N thuộc mp(A. d 2) nên di thuộc mp(A, d 2) Vậy A. (d|), (d 2 ) cùng thuộc một mặt phẳng. = 0 X = 1+ 2t Bài toán 8 : 'I rong không gian toạ độ Oxyz. cho đưòng thẳng d: <Ịy = - 1 + t . z=2-t 217 (jọi d' là giao luvến của hai mặt phang: (a); 3y - z - 7 = 0 và (a'): 3x + 3y - 2z - 17 = 0. a) Chứng minh d, d' chéo nhau và vuông góc với nhau. b) Viết phưcmg trình mặt phẳng (P) đi qua d' và vuông góc với d. Tìm toạ độ giao điểm II của d và (P). Giải a) Đường thẳng d' là giao tuyến của hai mặt phang có vectơ pháp tuyến là n = (0; 3; -1) và n ' = (3; 3; -2) nên d' có một vectơ chỉ phương là: Uj, = [ n , n '1 = (-3; -3; -3) hay (1; 1; 3) Vectơ chỉ phương Uj cùa d là Uj = (2; 1; -1) Ta có Uj . Uj. = 0 nên d 1 d'. Hệ [3 (-l + t ) - ( 2 - t ) - 7 = 0 3(1 + 2t) + 3 (-l + t ) - 2(2 - 1) -1 7 = 0 vô nghiệm nên d và d' không có diêm chung. Vậy chủng chéo nhau. b ) Cho y = 0 thi z = - 7 , X = 1 , ta có A( 1 ; 0 ; - 7 ) e d'. Vì d 1 d' nên mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d sỗ di qua d'. Vậy phương trình mặt phang (P) là: 2(x - 1) + (y - 0) - (z + 7) = 0 Cí> 2x + y - z - 9 = 0. Toạ độ giao diểm Iỉ(x; y; z) của d và (P) thoả mãn hệ ' x-=l + 2t y = -1 + t ^’3 2 t = - => H 3 ’3 3 ' z = 2-t 2x + y - z - 9 = 0 Bài toán 9: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phang: a) d: ~ -19 y- 9 z , (P): 3x + 5 y - z - 2 = 0. x + 1 V—3 z _ b) d: — ■' = = - , (P): 3x - 3y + 2z - 5 = 0. 9 4 3 z-4 x - 13 , (P); X + 2y - 4z + 1 = 0. c) d: 8 2 Giải a) Dường thăng d có vectơ chỉ phương u = (4; 3; 1). Mặt phăng (P) có vectơ pháp tuyên n = (3; 5; -1). Ta có ủ ,n = 12 + 15 -1 = 26 218 0. Vậy đường thẳng d cắt (P). b ) d q u a A ( - l ; 3 ; 0 ) v à c ó VTCP ũ - (2; 4; 3) Mặt phẳng (P) có vcctơ pháp Iciyến n = (3; -3; 2). Ta có u . n = 6 - 12 + 6 = 0 nên hoặc d song song (P) hoặc d thuộc (P). Mà A Ể (P) nên d // (P). c) d qua M( 13; 1; 4) và có v r c p u = (8; 2; 3) Mặt phẳng (P) có vcctơ pháp tuyến n = (1; 2; -4). Ta có n . u = 0 mà M e (P) nên đường thăng d nằm trên (P). Bài toán 10: Chứng minh đường thẳng: X= a) d: 5t 7 y = — + 9t thuộc mặt phẳng (!’): 4x - 3y + 7z - 7 = 0. 2 z=- +t 5 h)d: X y-2 cắt mặt phẳng (P): 4x - y + 5z - 1 = 0. Giải ^ 2 ^ a) Dường thăng d qua A(0; - —; —) và có VTCP u = (5; 9; 1) Mặt phẳm> (P) có vcctơ pháp tuyến n = (4; -3; 7). Ta có: n . u = 0 và A e (ỉ’) nôn d năm trôn (P). b) Dường thăng d có VTCP u = (2; 3; 4), Mặt phăng (P) có vcctơ pháp tuyên n = (4; -1; 5). I'a có ri. ĩi = 8 - 3 + 20 = 25 0 nôn d cắt mp(P). Bài toán 11: rim k dể đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phang (P); 2kx + y - z. + 1 = 0, (Q); X - ky -( z - 1 = 0 nằm trong mặt phẳng.(Oyz). Giải Giao tuyên d có V TCP: u = = M p(Oyz)có VTP I' 1 -1 -1 2k 2k 1 ' \ -k 1 ỉ 1 1 -k . = (l-k;-l-2k: -2k-l) r =(1;0;0) Dổ d nằm trong mặt phang (Oyz) thi cần có: r. ủ = 0 <=>(ỉ - k) l +( - l - 2 k ). 0 + (-2 k^ - l ). 0 = 0 c: >k= 1 . 219 Thay k = 1 vào phưcmg trình của 2 mặt phăng chứa d: (P): 2x + y - / + 1 = 0, (Q): X - y + z - 1 “ 0. 'l'a có điểm M(0; 0; 1) thuộc d và cùng thuộc mặt phẳng (Oyz) nên thoả mãn. Vậy dế d nằm trong mặt phẳng (Oyz) thì cần và đủ là: k = 1. Bài toán 12: Trong không gian có hệ toạ dộ Oxyz, cho các điổm A(2; 1; 0), B(l; 2; 2), C( 1; 1; 0) và mặt phẳng (P): X + y t- z - 20 = 0. Xác định toạ độ diêm D thuộc đưòng thẳng AB sao cho đường thảng CD song song với mặt phẳiig (P). Giải x = 2 -t Ta có AĨì = (-1; 1; 2). phương trình AB; y = 1+ 1 . z = 2t D thuộc dường thẳng AB => D(2-t; 1+t; 2t) => CD = (1-t; t; 2t) Vectơ pháp tuyến cùa mặt phang (P): n = (1; 1; 1) Vì c không thuộc mặt phẳng (P) nên: C D / / ( P ) » ri.CD = 0 o 1.(1 - t ) + 1.1+ 1.2t = 0 « t Vậy D ( ^ ; ^ ; - l ) . Bài toán 13: Chứng minh các mặt phăng (P„,): (2 -t- m)x + (1 + m)y + (1 + m)z + m - 1 = 0 Tuôn di qua một dưcmg thẳng cố định. Giải (P„i): 2x + y + z - 1 t m(x + y + z + 1) = 0. Mặt phăng (P,„) di qua các diêm M(x; y; z) có toạ dộ không phụ thuộc m khi và [2x + y + z - l = 0 chi khi: [x + y + z + 1 = 0 Cho y = 0 thì X = 2, z = -3; A(2; 0; -3) Cho z = 0 thì X = 2, y = -3; B(2; -3; 0). , Vậy các mặt phẳng (Pm) di qua dường thảng co dịnh là giao tuyến cúa 2 mặt phăng: 2x ( y +- z - 1 = 0. X + y t z ^ 1 = 0 tức là đường thẳng AB cố dịnh. Bài toán 14: Chứnu minh các đường thẳng dk là giao tuyến của 2 mặt phang: X + kz - k = 0. (1 - k)x - ky = 0. k 0 luôn nằm trên mặt phang cố dịnh. Giải Giao tuyến dk chứa các diêm M(x; y; z) có loạ độ thoả màn hệ; 220 X + kz - k = 0 [(l-k)x-ky = 0 ;k9iO. Suy ra: X - (1 - k)x + kz - k + ky = 0. => k(x + y + z - l) = 0 = > x + y + z - l =0 , vìk^ẾO. Vậy các đường thẳng dk luôn luôn nằm trong mặt phang cố định (P): x + y + z - l = 0 . Bài toán 15: Trong không gian Oxyz cho tập hợp các mặt phang (am) có phưcmg trình là: mx - 2(m - l)y + (m + l)z - 1 = 0 và đường thẳng d có phưcmg trình ttmm tham snsố: x = l-2t ■y = 3t z = -2 - 1 a) Chứng tó rằng các mặt phẳng (ttm) di qua một đường thẳng cố định A. b) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d và A chéo nhau. Giải a) Phương trình các mặt phẳng (am) có thể viết thành: 2y + z - 1 + rìi(x - 2y + z) = 0 Í2x + z -1 = 0 Dăng thức này đúng với mọi m nên ta suy ra: ( (x-2y + z = 0 I ỉệ phương trình này xác định một dường thảng A cố định là giao tuyến của 2 mặt phẳng 2y + z - 1 - 0, X - 2y + z = 0. A có VTCP n = [ n , , n, 1 = (4; 1; -2) và đi qua B (-l; 0; 1). Vậy các mặt phẳng (ttm) đi qua đường thẳng cố định A: 4 1 -2 ỉ-. b) d qua A(1; 0; -2) và có VTCP u = (-2; 3; -1) Ta có I u , V Ị. AB 7^ 0 nên d và A chéo nhau. BÀI TẬP TỐNG HỢP Bài tập 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng; a) đi qua A (2;l;-3) và B(3;-l;2). b) di qua M (2;l;9) và vuông góc với mp(P): 3x - 4 y - z +9 =0 HD-ĐS X = 2 +1 a) Kết quả y =\-2 t z - - 3 + 5t x = 2 + 3t b) Kết quả 0. Bài toán 1: Cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 3y + 5z - 1 = 0. a) '1'ìm toạ độ giao điểm của mặt phang đó với các trục Ox, Oy, Oz. b) 'ĩính thể tích tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng (P) và 3 mặt phẳng toạ độ. Giải a) Cho y = z = 0 thì giao với trục Ox tại A( —; 0; 0) Cho X = z = 0 thì giao với trục Oy tại B(0; - - ; 0) Cho X = y = 0 thì giao với trục Oz tại C(0; 0; —) b) 'ĩứ diện cần tìm OABC có OA, OB, V = - .OA.OB. 6 oc đôi một vuông góc nên thể tích oc = - 6 2 180 Bài toán 2: Cho ba mặt phảng (P): x + y + z - 6 = 0, (Q): m x - 2 y + z + m - l = 0 và (R): mx + (m - 1)y - z + 2m = 0. a) Xác định giá trị m để ba mặt phang đôi một vuông góc với nhau. b) 'l ìm giao diêm chung của cả ba mặt phang. Giải a) Vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt là; n,, = (1; 1; 1). tiụ = (m; -2; 1), = (m; m - 1; -1) Diều kiện ba mặt phang đôi một vuông góc n,,.np =0 m - 2 + l=0 m=l <=> m = 1. n,,.nj^ = 0 <»■ m + m -1 -1 = 0 <=í>l(l; 2; 3) z=3 ^ 225 Bài toán 3: Tim giao điểm của đưòng thẳng: X = 1 + 2t a) d: -Ị y = 2 - 1 , với mặt phang (P): 2x - V + 5z - 4 = 0. z = 3t b) d: x - 2 _ y + 1 _ Z- 1 , với mặt phẳng (a): 2x + y + z - 8 = 0. G iả i a) Giao điểm M thuộc d nên M(1 + 2t; 2 - 1; 3t) và thuộc (P) nên: 2(1 + 2 t ) - ( 2 - t ) + 1 5 l - 4 = 0 = ^ t = Thay t = — vào ta được M ị l 9 3^ 5’ 5’ 5 X = 2 + 2/ b) Đường thẳng d: x -2 _ y +l_ z -l có phương trình y = - l + 3t . z = \ + 5t Giao điểm A thuộc d nên A(2 + 2t; -1 + 3t; 1 + 5t). rhế X, y , z vào phương trình của ( a ) , ta được: 2(2 + 2t) + (-1 + 3t) + (1 + 5t) -8 = 0 Suy ra t = - và được giao điểm là A V- Bài toán 4: Tìm giao điểm của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng: a) X + y - 2z - 11 = 0, 3x - y + z - 6 = 0 với (P): X -ỉ- 2y - z -15 = 0. b) 2x - y’+ z - 6 = 0, X + 4y - 2z - 8 = 0 với các mặt toạ độ. G iả i a) Mp(xOy): z = 0. X= 2x - y -f z = 6 ['oạ độ giao điểm A là nghiệm của hệ x + 4y-2z=:8<=> z=0 Vậy A 9 32 9 10 y =■ z=0 9 Giải lương tự thì giao diêm với mp(yOz) là B(4; 0; -2) và với mp(xOz) là C(0;10;16). 226