Nội dung

NGirr.ThS. LÊ HOÀNH PHÒ GIẢI CÁC CHỦ Đ Ê CĂN B Ả N \ 1 1 . 1 1 1 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CDC NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HQC QUỐC GIA HÀ NỘI NHÀ XUÃT BÁN ĐẠI HỌC QUÕC GIA HÀ NỘI 16 H àn g C h u ố i - Hai Bà T rư ng - Hà Nội Điên thoai: Biên tâp-Chế bản: (04Ì 39714896: Hành chính: (04) 39714899: Tổno biên tảp: (04) 39715011 Fax: (04)39714899 * * C h ịu tr á c h n h iệm x u ấ t bản: Giám dốc - Tổng biên tập: TS. PHẠM THỊ TRÂM Biên tập: NGỌC LÂM Sửa bài: NHÀ SÁCH HỔNG ÂN C hế bản: NGUYỄN KHỞI MINH T rinh bày bìa: v õ THỊ THỪA Đối tác liên kết xuất bản: N hà sách HỒNG ÂN SÁCH LIÊN KÊT CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN HÌNH HỌC 12 Mã số: 1L- 155ĐH2014 In 2.000 cuốn, khổ 17 X 24cm tại Công ty cổ phần Văn hóa Văn Lang. Giấy phép xuất bản số: 463-2014/CXB/09-99 ĐHQGHN, ngày 14/03/2014 Quyết định xuất bản số: 153LK-TN/QĐ-NXB ĐHQGHN. In xong và nộp lưu chiểu quý II năm 2014. n ó ^ c ỉa iù Nhằm mục đích giúp các bạn học sinh lớp 10, lớp 11, lớp 12 nắm vững kiến thức căn bản về môn Toán ngay từ lúc vào THPT cho đến khi chuẩn bị thi Tốt nghiệp, tuyển sinh Cao đẳng, Đại học, tác giả đã biên soạn bộ sách PHƯƠNG PHÁP GIẢI gồm 6 cuốn: - CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN ĐẠI số 10 - CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN HÌNH HỌC 10 - CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN ĐẠI số - GIẢI TÍCH 11 - CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN HÌNH HỌC 11 - CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN GIẢI TÍCH 12 - CÁC CHỦ ĐỀ CĂN BẢN HÌNH HỌC 12 Từ nền Toán căn bản này, các bạn có thể nâng cao dần dần, bổ sung và mở rộng kiến thức và phương pháp giải Toán, rèn luyện kỹ năng làm bài và từng bước giải đúng, giải gọn các bài tập, các bài toán kiểm tra, thi cử. Cuốn CÁC CHỦ ĐỂ CĂN BẢN HÌNH HỌC 12 này có 15 chủ đề với nội dung là phân dạng Toán, tóm tắt kiến thức và phương pháp giải, các chú ý; phần tiếp theo là các bài toán chọn lọc căn bản minh họa với nhiều dạng loại và mức độ; phần cuối là 8 bài tập có hướng dẫn hay đáp số. Dù đã cố gắng kiểm tra trong quá trình biên soạn song không tránh khỏi những sai sót mà tác giả chưa thấy hết, mong đón nhận các góp ý của quý bạn đọc, học sinh để lẩn in sau hoàn thiện hơn. Tác giả LÊ HOÀNH PHÒ o CHỦ ĐỂ I KHỐi Đe DIỆN Vè PHÉP DỜI HÌNH DẠNG TOÁN 1. KHỐI ĐA DIỆN //iii/i da diện và khối da diện - Hình đa diện gồm một sổ hữu hạn đa giác phăng íhoủ mãn hai điểu kiện: (!) ỉỉai da giác hát kì hoặc không có diêm chung, hoặc có một đinh chung, hoặc cỏ một cạnh chung. (2) Moi cạnh cua một đa giác lù cạnh chung của đúng hai đa giác. - Hình da diện chia không gian làm hai phần: phần bên trong và phần bên mỉoài. Hình đa diện cùng V(/Ì phần hên trong cùa nó gọi là khối đa diện. - Mồi khối đa diện có thê phân chia dược thành những khối tứ diện. Mỗi đa giác cua hình H được gọi là một mặt cùa khoi đa diện. Các đình, các cạnh cua mỗi mặt cỏn gọi là đỉnh, cạnh của khối đa diện. Các điểm nam trong hình H còn gọi là diém trong của khối da diện. Khối chóp và khối lăng trụ - Khối đa diện được gọi là khối chóp, khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp, hình chóp cụt. Tương tự cho khối chóp n-giác, khối chóp cụt ngiác. khối chóp đểu. khối tứ diện,... - Khối da diện dược gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn hởi một hình lăng trụ. tương tự cho khối hộp, khối hộp chữ nhật, khổi lập phương... - Phân chia và lắp ghép cúc khối đa diện: Mọi khối chóp và khối lăng trụ luôn có ihẽ phán chia được thành những khối tứ diện bằng nhiều cách khác nhau. Chú ỷ: 1) Dặc .sy5 O-le cua khối đa diện lồi: Đối với mỗi khối đa diện lồi H, ta kí hiệu D lù so dinh, c là so cạnh, M là so mặt của H thì cỏ đặc số ỵjH ) = Đ - c - M = 2. 2) ỉĩinh lăng trụ đều: hình lăng trụ đứng (có cạnh bên VU( ng góc với mặt đáy) và có đáy là đa giác đểu. 3) Hình chóp đều: đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Bài toán 1: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt phải là số chẵn. Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế vói số mặt bằng 4, 6, 8,10. Giải Gọi số cạnh của khối đa diện là c, số mặt là M. Vì mỗi mặt có ba cạnh và mồi cạnh lại chung cho hai mặt nên 3M = 2C. Suy ra M là số chẵn. Sau đây là một số khối đa diện số các mặt tam giác là 4, 6, 8, 10. nhất ba cạnh và là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. Giải Ta dùng phản chứng. Neu xuất phát từ một đỉnh nào đó chỉ có hai cạnh, thì mồi cạnh như thế là cạnh của chi một đa giác, trái với điều kiện trong định nghĩa của hình đa diện. Vậy mỗi đỉnh phải là đỉnh chung của ít nhất là ba cạnh, và vì vậy nó cũng phải là đỉnh chung của ba mặt. Bài toán 3: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. Giải Già sử khối đa diện có c cạnh và có Đ đỉnh. Vì mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh và mỗi cạnh có hai đỉnh nên 3Đ = 2C. Vậy Đ phải là số chẵn. Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác và mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện. Giải Gọi A là một đỉnh của khối đa diện. Theo giả thiết, đỉnh A là đỉnh chung cho ba cạnh, ta gọi ba cạnh đó là AB, AC, AD. Cạnh AB phải là cạnh chung của hai mặt tam giác, đó là hai mặt ABC và ADB (vì qua đỉnh A chỉ có 3 cạnh). 1'ương tự, ta.có các mặt tam giác ACD và BCD. Vậy khối đa diện đó chính là khối tứ diện ABCD. Bài toán 5: Chứng minh rằng, số góc của tất cả các mặt gấp đôi số cạnh của khối da diện. Suy ra số góc chẵn. Giải Gọi sổ góc là G và số cạnh của khối đa diện làc. Trong mỗi mặt là đa giác thì số góc bằng số cạnh, mà số cạnh được tính 2 lần nên G = 2C, do đó G chẵn. Bài toán 6: Chứng minh không tồn tại khối đa diện có một số lẻ mặt và mỗi mặt lại có một số lẻ cạnh. Giải Giả sừ tồn tại khối đa diện có số mặt là M lẻ và mỗi mặt chứa số lẻ cạnh Ci, i = 1, 2...., M. ' ’ Ta có số góc của khối đa diện: G = C| + C 2 +... + C]VI ^ G lẻ: vô lý. Vậy không tồn tại khối đa diện thoà đề bài. Bài toán 7 : 1lãy phân chia một khối tứ diện thànli ba khối tứ diện bởi hai mặt phang. Giải Cho khối tứ diện ABCD. Lấy điểm M và N phân biệt nằm giữa c và D. Bằng hai mặt phẳng (ABM) và (ABN), ta chia p khối tứ diện đã cho thành ba khối tứ diện: ABCN, ABNM va ABMD. Bài toán 8: Hãy phân chia một khối tứ diện thànli bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng. Giải A Cho khối tứ diện ABCD. Lấy diểm M nằm giữa A và B, điểm N nằm giữa c và D. Bằng hai mặt phẳng (MCD) và (NAB), ta Mi chia khối tứ diện đã cho thành bốn khối tứ diện: BAMCN, AMND, BMCN và, BMND. Bài toán 9: Hãy phân chia một khối hộp thành năm khối tứ diện Giải Có thể phận chia khốỉ hộp ABCD.A'B'C'D' thành năm khối tứ diện sau đây: ABDA', C BD C, B'A’C'B, D'A'C'D và, BDA'C. DẠNG TOÁN 2. PHÉP DỜI HÌNH Phép dời hình - Mội phép hiến hình F trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó hảo toàn khoảng cách giữa hai diêm hất kỳ’: nếu F biến hai điếm bất kì M, N lần lượt thành hai diêm M \ N' thì M'N' MN. Phép dời hĩnh biến đường thăng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phảng... Hợp thành cùa những phép dời hình là phép dời hình. Các phép dời hình dặc biệt - Phép đồng nhất: Phép dời hĩnh hiến diểm M hẩt kĩ thành chỉnh nó. - Phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vectơ M thành diêm M ' .sao cho MM ' = V là phép hiển hình hiến mỗi điểm V. - Phép đối xứng qua đường thăng (phép đối xứng trục): Cho đường thăng d. phép đoi xứng qua dường thăng d là phép hiến hình hiến mỗi điếm thuộc d thành chính nỏ và hiến moi diêm M không thuộc d thành điểm M ’ sao cho trong mặt phăng (M, d), d là đưòmg trung trực cùa đoạn thăng MM'. - Phép đoi xứng qua một diêm (phép dổi xứng tâm): Cho điểm (), phép đối xứng qua diêm () là phép hiến hình hiến mỗi điểm M thành điếm M ' sao cho OM • OM ' 0 , hay () là trung diêm của MM'. - Phép đổi xứng qua mặt phang (P) là phép hiến hình hiển mỗi điểm thuộc (P) thành chỉnh nỏ và hiến mỗi diêm M không thuộc (P) thành điểm M' .sao cho (P) là mặt phăng trung trực của đoạn thăng MM'. Hai hình bằng nhau - Hai hình đa diện gọi là hằng nhau nếu có một phép dời hình hiến hình nàv thành hình kia. Dổi với các khối đa diện lồi: Neu phép dời hình F hiến tập các đinh của khối đa diện lồi H thành tập các đình cua khối đa diện lồi H' thì F hiển H thành H'. Dịnh lý: Hai hình tứ diện ABCD và A 'B'C'D' bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng hằng nhau, nghĩa là AB = A'B', BC - B 'C , CD = C 'D ’, DA - D 'A\ AC = A ’C, BD = B'D'. Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A, B và phép dời hình f biến A thành A, biến B thành B. Chứng minh ràng f biến mọi điểm M nàm trên đường thẳng AB thành diêm M. Giải Ta có f(A) = A. r(B) = B. (jiả sư điểm M Ihuộc dường ihẳng AB và f(M) = M'. Khi đó M' thuộc đường thăng AB và AM = AM', iỉM BM'. Suy ra M' trùng M, tức là f biến M thành chính nó. Vậy 1'biến mọi diồm M nàm trên dường thẳng AB thành chính điểm M. Fỉài toán 2: Cho tam giác ABC và pliép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó, tức là f(A) = A, f(B) = B, f(C) ^ c. Chứng minh rằng f biến mọi điểm M của mp(ABC) thành chính nó, tức là l'(M) = M,Giải Vì f(A) = A, f(B) = B và f(C) = c nôn í'biến mp(ABC) thành mp(ABC). Bởi vậy nếu M thuộc mp(ABC) và Í'(M) = M' thì M' thuộc mp(ABC) và AM = AM', BM = BM’. CM = CM'. Ncu M’ và M phân biệt thì ba điểm A. B. c thuộc đưòng thẳng trung trực của doạn thẳng MM' trên mp(ABC), trái với giả thiết ABC là tam giác. Vậy f(M) = M. lỉài toán 3: Cho tứ diện ABCD. Chứng tỏ rang phép dời hình biến mồi diêm A, B, c, D thành chính nó phai là phép dồng nhất. Giải Giá sử phép dời hình f biến các diềm A, B, c, D thành chính các đicm đó, tức là f(A) = Á. f(B) = B. f(C) = c, f(D) = D. Ta chứng minh ràng f biến điổm M bất kì thành M. Thật vậy giả sử M' ~ f(M) và M' khác với M. Khi đó vì phép dời hình không làm thay đôi khoáng cách giữa hai diêm nên AM = AM'. BM = BM', CM = CM', DM = DM', suy ra bốn điểm A, B, c, D nằm trên mặt phăng trung trực của đoạn MM', điều dó trái với giả thiết ABCD là hỉnh tứ diện. Vậy M' trùng với M và do dó f là phép dồng nhất. Bài toán 4: Cho hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có các cạnh tương ứng bằng nhau; AB = A'B'. BC = B’C . CD = C’D', DA - D’A', DB = D'B', AC = A'C. Chứng minh ràng cỏ không quá một phép dời hình biến các điểm A, B, c, D lần lượt thành các điểm A', B', c . D'. Gia sử có hai phép dời hình thành các điềm A', B'. c , D'. f| Giải và f'2dềii biến các điểm A. B, c, D lần lượt Ncu fi và I2 khác nhau thì có ít nhất một điểm M sao cho nếu Mi = fi(M) và M2 = t'2(M) thì M| và M2 là hai điểm phân biệt. Khi dó vì f) và t'2 đều là phép dời hình nên A'Mi = AM và A'M 2 = AM. vậy A'M, = A'M 2, tương tự B'M| = B'M 2, C’M| = C M 2, D'M| = D’M2, do đó bốn điểm A'. B', c, D' cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng M 1 M 2, trái với giá thiết A'B'C'D' là hình tứ diện. Do đó với mọi diếm M ta đều có f|(M) ^ 1'2(M), tức là hai phép dời hình f| và í'2 trùng nhau. Vậy có không quá một phép dời hình biến các điểm A, B, c, Dlần lượt thành các diếm A', B', C', D'. Bài toán 5: Cho hai tam giác bằng nhàu ABC và A'B'C' (AB = A'B', BC = B'C, AC = A'C). Chứng minh rằne có đúng hai phép dời hình, mỗi phép biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C. Cho trước tam giác ABC. Có những phép dời hình nào biến tam giác ABC thành chính nó? . D Giãi Tròn đưòng thẳng a vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm D khác A, trên đưòng thảng a' vuông góc với mp(A'B'C) tại A' có hai điểm phân biệt Di và D 2 sao cho A’D, = A'D 2 = AD. 'l a có các hình tứ diện ẠBCD, A'B'C'D, và A’B’C'D 2 có các cạnh tương ứng bằng nhau. Nếu f là phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì hoặc rbiến D thành D| hoặc f biến D thành D2 . Vậy có đủng hai phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C. Đó là phép dời hình f| biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'Di và phép dời hình Ỹ2 biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D 2 . Dây là trường hợp riêng khi hai tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau. Vậy ta có hai phép dời hình biên ABCD thành chính nó; đó là phép đông nhât và phép đôi xứng qua mp(ABC). Bài toán 6: Cho tứ diện đều ABCD và phép dờihình f biến ABCD thành chính nó, nghĩa là biến mỗi đỉnh của tứ diện thành mộtđỉnh của tứ diện. Tìm tập hợp các diêm M trong không gian sao cho M = f(M) trong các trường họp sau đây: a) f(A) = B, f(B) - c, f(C) = A b) f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D c) f(A) = B, f(B) = c, f(C) = D Giải a) 'ĩheo giả thiết f(A) = B và f(B) = c, f(C) = A. Do đó f(M) = M khi và chi khi MA = MB = MC. Suy ra tập họp các điểm M là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) Theo giả thiết f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D. Do đó f(M) = M khi và chỉ khi MA = MB và MC = MD, tức là M đồng thời năm trôn các mặt phăng trung trực của AB và CD. Suy ra tập họp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và CD. c) Theo giả thiết f(A) - B, f(B) = C^CC) = D. Do đó f(M) = M khi và chỉ khi MA = MB = MC = MD. Suy ra tập hợp các điểm M gồm một điểm duy nhất là trọng tâm tứ diện ABCD. 10