Nội dung

BÀI TẬP 4 LÝ THUYẾT Phân phối xác suất kết (Joint Probability Distribution) f XY  x, y   Pr  X  x, Y  y  f XY  x, y   0  f  x, y   1 XY x y Tính phân phối xác suất lề (Marginal Probability Distribution) thông qua phân phối xác suất kết: f X  x   Pr  X  x    f XY  x, y  Rx với Rx = tập hợp các điểm thuộc miền (X,Y) mà X=x E  X    X   xf XY  x, y  R var  X    X 2    x   x  f XY  x, y  2 R Xác suất có điều kiện fY | x  y   f  y | x   f XY  x, y   f Y  y | X  x  với fX(x)>0 fX  x Nếu X, Y độc lập f XY  x, y   f X  x  fY  y  fY | x  y   fY  y  Hiệp phương sai (Covariance) cov(X,Y) = ϭXY = E[(X-μX)(Y-μY)] = E(XY) - μXμY Độ tương quan (Correlation) 1   XY  cov  X , Y  var( X ) var(Y )   XY 1  XY Tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên (Linear combination of random variables) Cho các biến ngẫu nhiên X1,X2,…,Xn và các hằng số c1,c2,…,cn, Y=c1X1+…+cnXn là một tổ hợp tuyến tính của X1,X2,…,Xn Thì Kỳ vọng E(Y)= c1E(X1)+…+cn E (Xn)  c c Phương sai Var(Y)= c12Var (X1)+…+cn2Var (Xn)+ 2 i j i j cov  X i , X j  Nếu X1,X2,…,Xn độc lập thì Var(Y)= c12Var (X1)+…+cn2Var (Xn). Phân phối của tổ hợp tuyến tính Nếu X1,X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên, độc lập, có phân phối chuẩn với kỳ vọng E(Xi)=μi, và phương sai var(Xi)=ϭi2, ∀i=1,…,n, Y=c1X1+…+cnXn (c1,c2,…,cn là các hằng số) Thì Y cũng có phân phối chuẩn với kỳ vọng E(Y)=c1 μ1 + … + cnμn, và phương sai var(Y)=c12ϭ12+…+ cn2ϭn2 Định lý giới hạn trung tâm Nếu X1, X2,…, Xn là một mẫu ngẫu nhiên kích thước n của một quần thể với kỳ vọng μ và phương sai ϭ2, và nếu X là trung bình của tập mẫu X  X 1  X 2  ...  X n X  thì Z  có phân  n n phối chuẩn chính tắc khi n   . ( X có phân phối chuẩn với kỳ vọng  , phương sai 2 khi n   ). n Thường áp dụng định lý giới hạn trung tâm với n ≥ 30. Nếu X có phân phối liên tục, unimodal (có 1 mode), đối xứng, có thể áp dụng định lý giới hạn trung tâm với n nhỏ hơn. BÀI TẬP 1) Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối bất kỳ với kỳ vọng μ và phương sai ϭ2. Cho tập mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm n phần tử {X1,X2,…,Xn} của X. Xác định kỳ vọng và phương sai của X . Giải: {X1,X2,…,Xn} là tập mẫu của X nên E(X1) = E(X2) = … = E(Xn) = E(X), var(X1) = var(X2) =…= var(X) X X 1  X 2  ...  X n là một tổ hợp tuyến tính của {X1,X2,…,Xn} suy ra: n   E X  1 1 1 1 E  X1   E  X 2   ...  E  X n    n  E  X   E  X  n n n n var  X  1 1 1 1 var X    var  X 1     var  X 2   ...    var  X n      n  var  X   n n n n n   2 2 2 2 2) Cho 2 biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2. Biết X1 có phân phối chuẩn N(2; 0.12), X2 có phân phối chuẩn N(5; 0.22). Cho biến ngẫu nhiên Y = X1+2X2. Xác định Pr(Y>14.5) Giải: Y là tổ hơp tuyến tính của X1, X2 X1, X2 có phân phối chuẩn => Y có phân phối chuẩn Y = X1+2X2 => Kỳ vọng E(Y) = E(X1) + 2E(X2) = 2 + 2.5 = 12 Phương sai var(Y) = 12×var(X1) + 22×var(X2) = 1×0.12 + 4×0.22=0.17 Như vậy, Y có phân phối chuẩn với kỳ vọng E(Y)=12, phương sai var(Y)=0.17 Pr(Y>14.5) = 1-Pr(Y<14.5) = 0 (để tính Pr(Y>14.5), xem lại bài tập về phân phối chuẩn) 3) X là biến ngẫu nhiên cho biết điện trở của thiết bị. Biết rằng X có phân phối chuẩn với trung bình 100 ohm, độ lệch chuẩn 10 ohm. Cho một tập dữ liệu mẫu ngẫu nhiên của X gồm 25 phần tử. Xác định xác suất tập mẫu có trung bình X nhỏ hơn 95 ohm. Giải: Gọi tập dữ liệu mẫu kích thước n=25 của X là {X1,X2,…,X25}. Vì X có phân phối chuẩn N(100; 102) nên X1,X2,…,X25 cũng có phân phối chuẩn N(100; 102). X1,X2,…,X25 có phân phối chuẩn, nên mọi tổ hợp tuyến tính của X1,X2,…,X25 có phân phối chuẩn. Suy ra X có phân phối chuẩn. X có kỳ vọng E( X ) = E(X), var( X ) = var(Y) / n (với n=25) => E( X )=100, var( X )=102/25=4 Vậy X có phân phối chuẩn N(100; ϭ2=4) Pr( X <95) = 0.0062 (để tính Pr( X <95), xem lại bài tập về phân phối chuẩn) 4) Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều rời rạc với hàm xác suất như sau: 1  , x  1, 2,3 f  x  3 0, khác Xác định phân phối của trung bình mẫu X biết rằng kích thước tập mẫu n=36. Xác định xác suất trung bình mẫu X lớn hơn 2.1 nhưng nhỏ hơn 2.5 (giả sử trung bình mẫu X được đo tới độ chính xác 0.1). Giải: 1 1 1 Kỳ vọng của X: E  X    xf  x   1  2   3   2 3 3 3 Phương sai của X: 2 1 1 1 2 var  X   E  X 2    E  X    E  X 2   22   x 2 f  x   12   22   32   4  3 3 3 3 Vì kích thước tập mẫu lớn n = 36 > 30, theo định lý giới hạn trung tâm, X có thể xem như có phân phối chuẩn với kỳ vọng và phương sai: E( X )=E(X) = 2 var( X ) = var(X)/ n = 2/(3×36 ) = 1/54 Vậy X có phân phối chuẩn N(2;ϭ2=1/54) Pr(2.1< X <2.5) = Pr( X <2.5) – Pr( X <2.1) = 0.231 (để tính Pr(2.1< X <2.5), xem lại bài tập về phân phối chuẩn) BÀI TẬP Bài 1: Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng μ và phương sai ϭ2. Cho tập mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm n phần tử {X1,X2,…,Xn} của X. Xác định phân phối của X (loại phân phối, giá trị kỳ vọng, phương sai). Bài 2: Cho 2 biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2. Biết X1 có phân phối chuẩn N(2; 0.22), X2 có phân phối chuẩn N(5; 0.32). Cho biến ngẫu nhiên Y = 3X1+2X2. Xác định Pr(Y<5). Bài 3: X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 20, phương sai 4. Cho một tập dữ liệu mẫu ngẫu nhiên của X gồm 10 phần tử. Xác định xác suất tập mẫu có trung bình mẫu X nhỏ hơn 15. Bài 4: Một tập mẫu ngẫu nhiên kích thước n=16 được lấy mẫu từ một phân phối chuẩn với kỳ vọng 40, phương sai 5. Xác định xác suất trung bình mẫu nhỏ hơn hoặc bằng 37. Bài 5: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều liên tục với hàm xác suất như sau: 1  ,4  x  6 f  x   2 0, khác Xác định phân phối của trung bình mẫu X biết rằng kích thước tập mẫu n=40. Bài 6: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều rời rạc với hàm xác suất như sau: 1  , x  2,3, 4,5, 6 f  x  5 0, khác Xác định phân phối của trung bình mẫu X biết rằng kích thước tập mẫu n=30. Xác định xác suất trung bình mẫu X lớn hơn 3.2 (giả sử trung bình mẫu X được đo tới độ chính xác 0.1).