Nội dung

NGUYỄN ðỨC TUẤN TỰ ÔN LUYỆN THI MÔN TOÁN Hà nội, 1 - 2005 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Chương 1: Phương trình và bất phương trình Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI I. Cách giải 1) Phương trình bậc nhất: • ax + b = 0, a,b ∈ IR. Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - b . a • Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu a = b = 0 thì phương trình nghiệm ñúng với mọi x ∈ IR. ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. 2) Phương trình bậc hai: 2 • Nếu ∆ = b – 4ac < 0 phương trình vô nghiệm. b • Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép x1 = x 2 = . 2a −b± ∆ • Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, 2 = . 2a II. ðịnh lí Viét và hệ quả về dấu các nghiệm 1) ðịnh lí Viét : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghiệm x1 , x 2 thì b c và P = x1.x 2 = . S = x1 + x 2 = a a 2) Hệ quả: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghiệm: ∆ ≥ 0 c  Trái dấu ⇔ <0 Cùng dấu ⇔  c a  a > 0  ∆ ≥ 0  c Cùng dương ⇔  > 0 a  b − a > 0  ∆ ≥ 0  c Cùng âm ⇔  > 0 a  b − a < 0 III. ðịnh lí về dấu của tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta có 1. ðịnh lí thuận: • Nếu ∆ = b2 – 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x. b • Nếu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x ≠ . 2a • Nếu ∆ > 0 khi ñó f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 và a.f(x) > 0 với x ngoài [ x1 ; x 2 ] . a.f(x) < 0 với x1 < x < x 2 . 2. ðịnh lí ñảo: Nếu tồn tại số α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt và số α nằm trong khoảng hai nghiệm ñó: x1 < α < x 2 . Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 1 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán IV. Ứng dụng 1. ðiều kiện ñể f(x) = ax2 + bx + c không ñổi dấu với mọi x a = b = 0 a = b = 0   c > 0 c ≥ 0  f(x) ≥ 0 với ∀ x ⇔  f(x) > 0 với ∀ x ⇔ a > 0 a > 0   ∆ < 0 ∆ ≤ 0 a = b = 0 a = b = 0   c < 0 c ≤ 0  f(x) ≤ 0 với ∀ x ⇔  f(x) < 0 với ∀ x ⇔ a < 0 a < 0   ∆ < 0 ∆ ≤ 0 2. So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α • • ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và x1 < α < x 2 là: a.f( α ) < 0. ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và α nằm ngoài khoảng hai ∆ > 0 nghiệm:  a.f (α) > 0 - Nếu α nằm bên phải hai nghiệm: x1 < x 2 < α •  ∆ > 0  ⇒ a.f (α ) > 0 S b  =− 0  - Nếu α nằm bên trái hai nghiệm: α < x1 < x 2 ⇒ a.f (α ) > 0 S b  =− >a 2a 2 ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm nằm trong, một nghiệm nằm ngoài ñoạn [ α; β ] là: f( α ).f( β ) < 0. 3. ðiều kiện ñể f(x) có nghiệm thỏa mãn x > α : • Trường hợp 1: f(x) có nghiệm x1 < α < x 2 ⇔ a.f( α ) < 0.  ∆ ≥ 0  • Trường hợp 2: f(x) có nghiệm α < x1 < x 2 ⇔ a.f (α) > 0  S α < 2  f (α ) = 0  • Trường hợp 3: f(x) có nghiệm α = x1 < x 2 ⇔  S α < 2 ( Làm tương tự với trường hợp x < α và khi xảy ra dấu bằng) Ngoài ra ta chú ý thêm ñịnh lí sau: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục. Khi ñó ñiều kiện ñể phương trình f(x) = m có nghiệm là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x). Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 2 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bảng tóm tắt ñịnh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai Nếu ∆ < 0 N ếu ∆ = 0 a.f(x) > 0 với ∀ x a.f(x) > 0 với ∀ x ≠ - Nếu ∆ > 0 a.f(x) > 0 với x ngoài [ x1 ; x 2 ] a.f(x) < 0 với x1 < x < x 2 b 2a Bảng tóm tắt so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α ðiều kiện ñể f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt và α nằm giữa khoảng hai nghiệm x1 < α < x 2 α nằm ngoài khoảng hai nghiệm ∆ > 0  a.f (α ) > 0 a.f( α ) < 0 x1 < x 2 < α x1 < x 2 < α  ∆ > 0  a.f (α ) > 0 S b  =− 0  a.f (α ) > 0 S b  =− >a 2a 2 Ví dụ 1. Tìm m ñể phương trình x 2 − 2( m + 4) x + m 2 + 8 = 0 có 2 nghiệm dương. Ví dụ 2. Xác ñịnh a ñể biểu thức (a + 1) x 2 − 2(a − 1) x + 3a − 3 luôn dương Ví dụ 3. Tìm m ñể bất phương trình x 2 + x − 2 ≥ m nghiệm ñúng với mọi x. Ví dụ 4. Tìm m ñể phương trình x 2 + mx + 2m = 0 có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn -1< x1 < x 2 2 Ví dụ 5. Tìm m ñể phương trình x − 2mx + 2m 2 − 1 = 0 có nghiệm thỏa mãn − 2 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 4 2 Ví dụ 6. Cho phương trình x + ( m + 2) x + 3m − 2 =0 Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 Ví dụ 7. Tìm m ñể phương trình x 2 − 2mx + m + 2 = 0 có nghiệm lớn hơn 1 Ví dụ 8. Tìm m ñể phương trình x 2 − 6mx + 9m 2 − 2m + 2 = 0 có nghiệm x1 ≤ x 2 ≤ 3 Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 3 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI I. Phương trình trùng phương (1) ax 4 + bx 2 + c = 0, a ≠ 0 2 2 ðặt t = x ≥ 0 phương trình (1) trở thành: at + bt + c = 0 (2) • PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có ít nhất một nghiệm không âm. • PT (1) có ñúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có ñúng một nghiệm dương. • PT (1) có ñúng 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương. • PT (1) có ñúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm dương phân biệt. Ví dụ 1. Cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – 1 = 0. a)Tìm các giá trị của m ñể phương trình vô nghiệm. b)Tìm các giá trị của m ñể phương trrình có 4 nghiệm phân biệt. Ví dụ 2. Tìm m sao cho ñồ thị hàm số y = x4 -2(m+4)x2 + m2 + 8 cắt trục hoành lần lượt tại 4 ñiểm phân biệt A, B, C, D với AB = BC = CD. II. Phương trình chứa giá trị tuyệt ñối 1) Các dạng cơ bản: b ≥ 0 |a|=b ⇔ | a | = | b | ⇔ a = ±b a = ± b |a| ≤ b b ≥ 0 ⇔ 2 2 a ≤ b b < 0  | a | ≥ b ⇔  b ≥ 0 a 2 ≥ b 2  | a | ≥ | b | ⇔ a 2 ≥ b2 Ví dụ 1. Giải phương trình | x2 – 3x + 2 | - 2x = 1. Ví dụ 2. Giải bất phương trình x2 - | 4x – 5 | < 0. Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình | 2x – m | = x. Ví dụ 4. Giải phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3. Ví dụ 5. Giải và biện luận bất phương trình | 3x2 -3x – m | ≤ | x2 – 4x + m |. 2)Phương pháp ñồ thị: a) Cách vẽ ñồ thị hàm số y = | f(x) | khi ñã biết ñồ thị hàm số y = f(x). - Chia ñồ thị hàm số f(x) ra 2 phần: phần ñồ thị nằm phía trên trục hoành (1) và phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành (2). - Vẽ phần ñồ thị ñối xứng với phần ñồ thị (2) qua trục hoành ñược phần ñồ thị (3). - ðồ thị hàm số y = | f(x) | là ñồ thị gồm phần ñồ thị (1) và phần ñồ thị (3) vừa vẽ. b) ðịnh lí: Số nghiệm của phương trình g(x) = h(m) là số giao ñiểm của ñường thẳng nằm ngang y = h(m) với ñồ thị hàm số y = g(x). Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng chúng về một vế của phương trình rồi vẽ ñồ thị hàm số y = g(x) và ñường thẳng y = h(m) rồi áp dụng ñịnh lí trên ñể biện luận. Ví dụ 6. Tìm m ñể phương trình | x2 – 1 | = m4 – m2 +1 có 4 nghiệm phân biệt. Ví dụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 4 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I.Các dạng cơ bản Dạng 1: Dạng 2: 2 n +1 2n f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔ f(x) = [ ϕ( x ) ]2n+1 ϕ( x ) ≥ 0 f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔  2n f ( x ) = [ϕ( x )] Dạng 3: f ( x ) ≥ 0  , f ( x ) < ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) > 0 f ( x ) < [ϕ( x )]2  f ( x ) ≥ 0  f ( x ) ≤ ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≤ [ϕ( x )]2  f ( x ) ≥ 0  ϕ( x ) < 0 , f ( x ) > ϕ( x ) ⇔  ϕ( x ) ≥ 0  f ( x ) > [ϕ( x )]2 f ( x ) < 0  ϕ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≥ ϕ( x ) ⇔  ϕ( x ) ≥ 0  f ( x ) ≥ [ϕ( x )]2 Dạng 4: Ví dụ 1. Giải phương trình x 2 − 2x + 3 = 2x + 1 Ví dụ 2. Giải bất phương trình x 2 − x − 12 < x Ví dụ 3. Giải bất phương trình 2 x 2 + 5x − 6 > 2 − x Ví dụ 4. Tìm m ñể phương trình có nghiệm x − m = 2 x 2 + mx − 3 II. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ không cơ bản 1) Phương pháp lũy thừa hai vế: - ðặt ñiều kiện trước khi biến ñổi - Chỉ ñược bình phương hai vế của một phương trình ñể ñược phương trình tương ñương (hay bình phương hai vế của một bất phương trình và giữ nguyên chiều) nếu hai vế của chúng không âm. - Chú ý các phép biến ñổi căn thức A2 = A . Ví dụ 5. Giải phương trình x +1 = 3 − x + 4 Ví dụ 6. Giải bất phương trình x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x Ví dụ 7. Giải bất phương trình 3 x − 5x + 5 > 1 Ví dụ 8. Giải bất phương trình x + 2 − x +1 ≤ x Ví dụ 9.Giải phương trình 2 x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2 Ví dụ 10.Giải bất phương trình x 2 − 4x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1 2)Phương pháp ñặt ẩn phụ: - Những bài toán có tham số khi ñặt ẩn phụ phải tìm tập xác ñịnh của ẩn mới. - Chú ý các hằng ñẳng thức (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 , a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) , … 5x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x Ví dụ 11.Giải bất phương trình Ví dụ 12.iải phương trình x + 8 + 2 x + 7 + x +1− x + 7 = 4 Ví dụ 13.Giải phương trình x + 2 + x − 2 = 4 x − 15 + 4 x 2 − 4 Ví dụ 14.Giải phương trình 9x 2 + Ví dụ 15.Giải bất phương trình 4 3x 2 + 2 x − 2 = x2 x 5 1 5 x+ < 2x + +4 2x 2 x Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 5 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG I. Hệ phương trình ñối xứng loại 1 1)Khái niệm: Là hệ mà mỗi phương trình không ñổi khi ta thay x bởi y và thay y bởi x. 2)Tính chất: Nếu (xo, yo) là một nghiệm của hệ thì (yo, xo) cũng là nghiệm của hệ. 3)Cách giải: x + y = S Biến ñổi hệ phương trình về dạng: Hệ ñã cho ⇔  (1) x.y = P Khi ñó x, y là nghiệm của phương trình: t 2 − St + P = 0 (2) Nếu ∆ = S – 4P > 0 thì phương trình (2) có hai nghiệm t1 ≠ t2 nên hệ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (t1, t2), (t2, t1). Nếu ∆ = 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép t1 = t2 nên hệ (1) có nghiệm duy nhất (t1, t2). ðiều kiện ñể hệ (1) có ít nhất một cặp nghiệm (x, y) thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0 ∆ = S 2 − 4 P ≥ 0  S ≥ 0 P ≥ 0  2 x y + y x = 30 x − y − xy = 3   2 2 x x + y y = 35 x + y + xy = 1  x + 1 + y − 1 = m xy( x + 2)( y + 2) = 5m − 6 Ví dụ 2.Tìm m ñể hệ sau có nghiệm   2 2 x + y = m 2 − 4m + 6  x + y + 2( x + y ) = 2 m x + y = 2 Ví dụ 1.Giải hệ phương trình  3 3 x + y = 26 II. Hệ phương trình ñối xứng loại 2 1)Khái niệm: Là hệ phương trình mà trong hệ phương trình ta ñổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình nọ trở thành phương trình kia. 2)Tính chất: Nếu (xo, yo) là một nghiệm của hệ thì (yo, xo) cũng là nghiệm của hệ. 3)Cách giải: Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta ñược phương trình có dạng: (x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 hoặc f(x,y) = 0. 1  2 2x = y + x 3 + xy 2 = 40 y x 2 y − 4 = y 2  y Ví dụ 3.Giải các hệ phương trình  3  2  2 2  y + x y = 40 x xy − 4 = x 2 y 2 = x + 1  x 2 2 x + y − 1 = m x = y − y + m Ví dụ 4.Tìm m ñể hệ sau có nghiệm:    y = x 2 − x + m 2 y + x − 1 = m Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 6 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Bài 5: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC I. Hệ vô tỷ  x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình   x + y = 4 x + y + xy = a Ví dụ 2. Giải và biện luận  x − y = a  x+ y + x− y =2  Ví dụ 3. Giải hệ phương trình   y + x − y − x = 1  x − 2 − y = 2 Ví dụ 4. Giải hệ phương trình   2 − x + y = 2  x + 1 + y = m Ví dụ 5. Tìm m ñể hệ có nghiệm   y + 1 + x = 1 II. Hệ hữu tỷ 3 2y   x 2 + y2 −1 + x = 1  Ví dụ 6. Giải hệ phương trình  x 2 + y 2 + 4 x = 22  y x 3 − y 3 = 7 Ví dụ 7. Giải hệ phương trình  xy( x − y) = 2 3 3 x + 4 y = y + 16 x Ví dụ 8. Giải hệ phương trình  1 + y 2 = 5(1 + x 2 ) x − y = a (1 + xy) Ví dụ 9. Tìm a ñể hệ có nghiệm  xy + x + y + 2 = 0 2 y( x 2 − y 2 ) = 3x Ví dụ 10. Giải hệ phương trình  x ( x 2 + y 2 ) = 10 y x + y = m Ví dụ 11.Tìm m ñể hệ có hai nghiệm phân biệt:  2 2 x − y + 2x = 2 2 2 x − xy − y = −11 Ví dụ 12. Giải hệ phương trình  2 ( x − y 2 ) xy = 180 x 3 − y 3 = 19( x − y) Ví dụ 13. Giải hệ phương trình  3 x + y 3 = 7( x + y) ========================================================== Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 7 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Phương trình lượng giác cơ bản Khi giải các phương trình lượng giác cuối cùng dẫn ñến phép giải các phương trình lượng giác cơ bản. Ta cần ghi nhớ bảng sau ñây: Phương trình ðiều kiện có nghiệm ðưa về dạng Nghiệm sinx = m −1 ≤ m ≤ 1 sinx = sin α cosx = m tgx = m cotgx = m −1 ≤ m ≤ 1 m ọi m m ọi m cosx = cos α tgx = tg α cotgx = cotg α x = α + k 2π  x = π − α + k 2π  ± α + k2 π α + kπ α + kπ Ở bảng trên k nhận mọi giá trị nguyên ( k ∈ Z ) . ðơn vị góc thường dùng là radian. ðể thuận lợi cho việc chọn α ta cần nhớ giá trị của hàm lượng giác tại các góc ñặc biệt. ðường tròn lượng giác sẽ giúp ta nhớ một cách rõ ràng hơn. Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 8 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 ; 2 Ví dụ 2. Giải phương trình: π a) cos2x = cos ; 5 a) sin3x = b) sin(2x - π ) = 1; 5 c) sin( xπ ) = 0. Ví dụ 4. Giải phương trình: π π π ) = cos(x + ); c) cosx = sin(2x + ). 3 2 4 π 8π cos 2 ( cos x − ) = 0 . 3 3 cos(π sin x ) = cos(3π sin x ) Ví dụ 5. Giải phương trình: cos 2 x − sin 2 ( 2 x ) = 1 Ví dụ 3. Giải phương trình: b) cos(3x - II. Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , a 2 + b 2 ≠ 0 Chia hai vế của phương trình (1) cho a 2 + b 2 , ta ñược: a b c (1) ⇔ (2) sin x + cos x = 2 2 2 2 2 a +b a +b a + b2 a b ðặt = sin ϕ ; = cos ϕ . 2 2 2 a +b a + b2 c Khi ñó phương trình lượng giác có dạng: cos(x - ϕ ) = (3) 2 a + b2 c ≤ 1 ⇔ a 2 +b2 ≥ c2 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 2 2 a +b c Khi ñó tồn tại α ∈ [0; π] sao cho cos α = nên ta có: 2 a + b2 (1) ⇔ cos( x − ϕ) = cos α ⇔ x = ϕ ± α + k 2π ; k ∈ Z Ví dụ 6. Giải phương trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx. Ví dụ 7. Cho phương trình: sinx + mcosx = 1 a) Giải phương trình với m = - 3 . b) Tìm m ñể phương trình vô nghiệm. Ví dụ 8. Giải phương trình: cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 3 sin 2 x = 1 Ví dụ 9. Tìm α ñể phương trình sau có nghiệm x ∈ IR: 3 cos x + sin( x + α) = 2 sin 8x − cos 6 x = 3 (sin 6 x + cos 8x ).  π Ví dụ 11. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm x ∈ 0;  :  2 cos2x – msin2x = 2m – 1 Ví dụ 12. Giải phương trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x). 1 Ví dụ 13. Giải phương trình: cos 2 4 x − cos x. cos 4 x − sin 2 x + = 0 4 Ví dụ 10. Giải phương trình: Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 9