Ôn thi Đại số tổ hợp

pdf
Số trang Ôn thi Đại số tổ hợp 20 Cỡ tệp Ôn thi Đại số tổ hợp 227 KB Lượt tải Ôn thi Đại số tổ hợp 0 Lượt đọc Ôn thi Đại số tổ hợp 1
Đánh giá Ôn thi Đại số tổ hợp
4.7 ( 9 lượt)
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Đang xem trước 10 trên tổng 20 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
Chủ đề liên quan

Nội dung

Tác giả: ThS. ðoàn Vương Nguyên CHƯƠNG I HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP A. TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. Quy tắc ñếm, cộng và nhân 1. Quy tắc ñếm Trong nhiều trường hợp ta cần phải ñếm số phần tử, số tập hợp, số các số hạng của tổng, … và không phải lúc nào cũng thực hiện dễ dàng. Ta xét một quy tắc rút ra từ bài toán ñơn giản sau ñây. Bài toán Người ta cần làm một hàng rào dài 20m, cứ cách 2m thì chôn 1 cọc. Tính số cọc cần dùng. Giải Số khoảng cách giữa các cọc là 20: 2 = 10. Kể từ cọc thứ 2 trở ñi thì số cọc bằng số khoảng cách. 20 Vậy số cọc là + 1 = 11 . 2 1.1. Quy tắc Với ñiều kiện là khoảng cách giữa các số bằng nhau (cách ñều), ta có: soá lôùn nhaát − soá nhoû nhaát soá caùc soá = + 1. khoaûng caùch giöõa 2 soá lieàn keà Ví dụ 1. Tính số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 4. Giải Số có 3 chữ số lớn nhất chia hết cho 4 là 996. Số có 3 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 4 là 100. Khoảng cách giữa 2 số liền kề chia hết cho 4 là 4. 996 − 100 Vậy có + 1 = 225 số. 4 Ví dụ 2. Tìm số hạng thứ 7 trong tổng sau: (a + x) + (a + x)4 + (a + x)7 + ... + (a + x)28 . Giải Khoảng cách giữa số mũ của 2 số hạng kề nhau là 3. Gọi số mũ của số hạng thứ 7 là k, ta có k −1 + 1 = 7 ⇒ k = 19 . 3 Vậy số hạng cần tìm là (a + x)19 . 1.2. Các dấu hiệu chia hết + Chia hết cho 2: số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. + Chia hết cho 3: số có tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ 2001). + Chia hết cho 4: số có 2 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 (ví dụ 2000, 3796, 12344). + Chia hết cho 5: số có chữ số tận cùng là 0, 5. + Chia hết cho 6: số chia hết cho 2 và 3. + Chia hết cho 8: số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8 (ví dụ 2000, 2008, 3257016). + Chia hết cho 9: số có tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ 2007). + Chia hết cho 10: số có chữ số tận cùng là 0. + Chia hết cho 11: số có hiệu của tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn chia hết cho 11 (ví dụ 1345729 vì (1 + 4 + 7 + 9) – (3 + 5 + 2) = 11). + Chia hết cho 25: số có 2 chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75. 2. Quy tắc cộng i) Nếu một quá trình (bài toán) có thể thực hiện ñược một trong hai cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m kết quả và cách thứ hai cho n kết quả. Khi ñó việc thực hiện quá trình trên cho m + n kết quả. ii) Nếu một quá trình (bài toán) có thể thực hiện ñược k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, …, cách thứ k cho mk kết quả. Khi ñó việc thực hiện quá trình trên cho m1 + m2 + … + mk kết quả. Ví dụ 3. Có 2 cuốn sách toán A và B khác nhau, 2 cuốn sách vật lý C và D khác nhau. Cần chọn ñúng 2 cuốn sách, hỏi có bao nhiêu cách. Giải + Trường hợp 1: chọn 2 cuốn sách toán có 1 cách. + Trường hợp 2: chọn 2 cuốn sách vật lý có 1 cách. + Trường hợp 3: chọn 1 cuốn sách toán và 1 cuốn vật lý có 4 cách là A và C, A và D, B và C, B và D. Vậy có 1 + 1 + 4 = 6 cách chọn. Ví dụ 4. Từ tập hợp X = { a; b; c } chọn ra 1 tập hợp con của A. Hỏi có mấy cách. Giải + Trường hợp 1: chọn tập hợp không chứa phần tử nào cả có 1 cách là tập rỗng. + Trường hợp 2: chọn tập hợp chứa 1 phần tử của A có 3 cách, ñó là { a } , { b } và { c } . + Trường hợp 3: chọn tập hợp chứa 2 phần tử của A có 3 cách, ñó là { a; b } , { a; c } và { b; c } . + Trường hợp 4: chọn tập hợp chứa 3 phần tử của A có 1 cách, ñó là { a; b; c } . Vậy có 1 + 3 + 3 + 1 = 8 cách chọn. 2. Quy tắc nhân i) Nếu một quá trình (bài toán) ñược thực hiện theo hai giai ñoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho có m cách thực hiện giai ñoạn thứ nhất, ñồng thời ứng với mỗi cách ñó có n cách ñể thực hiện giai ñoạn thứ hai. Khi ñó có mn cách thực hiện quá trình trên. ii) Nếu một quá trình (bài toán) ñược thực hiện theo k giai ñoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho có m1 cách thực hiện giai ñoạn thứ nhất, với mỗi cách ñó có m2 cách ñể thực hiện giai ñoạn thứ hai, …, có mk cách thực hiện giai ñoạn thứ k. Khi ñó, toàn bộ quá trình có m1.m2…mk cách thực hiện. Ví dụ 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ñược mấy số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt. Giải + Bước 1: chọn chữ số hàng trăm có 7 cách (trừ chữ số 0). + Bước 2: chọn chữ số hàng chục có 7 cách (trừ chữ số ñã chọn ở hàng trăm). + Bước 3: chọn chữ số ñơn vị có 6 cách (trừ 2 chữ số ñã chọn). Vậy có 7.7.6 = 294 số. Ví dụ 6. Số 12000 có bao nhiêu ước số tự nhiên. Giải Ta có 12000 = 22.3.103 = 25.3.53 . Suy ra ước số của 12000 có dạng 2m.3n.5k với m ∈ { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } , n ∈ { 0; 1 } và k ∈ { 0; 1; 2; 3 } . + Bước 1: chọn m có 6 cách. + Bước 2: với mỗi cách chọn m có 2 cách chọn n. + Bước 3: với mỗi cách chọn m và n có 4 cách chọn k. Vậy có 6.2.4 = 48 ước số. 1 Ví dụ 7. Từ các phần tử của X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau. Giải Gọi A = a1a 2a 3 với a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 ∈ X là số cần lập. + Trường hợp 1: A = a1a 2 0 (a 3 = 0) . - Bước 1: chọn a1 có 5 cách, ñó là a1 = 1 (hoặc 2, 3, 4, 5). - Bước 2: chọn a2 có 4 cách (trừ chữ số 0 và chữ số a1 ñã chọn). Suy ra có 5.4 = 20 số A = a1a 2 0 . + Trường hợp 2: A = a1a 2a 3 (a 3 ≠ 0) . - Bước 1: chọn a3 có 2 cách, ñó là a3 = 2 (hoặc a3 = 4). - Bước 2: chọn a1 có 4 cách (trừ chữ số 0 và chữ số a3 ñã chọn). - Bước 3: chọn a2 có 4 cách từ 4 chữ số còn lại. Suy ra có 2.4.4 = 32 số A = a1a 2a 3 (a 3 ≠ 0) . Vậy có 20 + 32 = 52 số. Ví dụ 8. Từ các phần tử của X = { 0; 2; 3; 6; 9 } có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau. Giải Gọi A = a1a 2a 3a 4 a 5 với a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ∈ X là số cần lập. + Trường hợp 1: a1 lẻ. - Bước 1: do a 1 ∈ { 3; 9 } nên a1 có 2 cách chọn. - Bước 2: do a 5 ∈ { 0; 2; 6 } nên a5 có 3 cách chọn. - Bước 3: do a 2 ∈ X \ { a 1; a 5 } nên a2 có 3 cách chọn. - Bước 4: do a 3 ∈ X \ { a1; a 2 ; a 5 } nên a3 có 2 cách chọn. - Bước 5: do a 4 ∈ X \ { a1 ; a 2 ; a 3 ; a 5 } nên a4 có 1 cách chọn. Suy ra có 2.3.3.2.1 = 36 số ñược lập. + Trường hợp 2: a1 chẵn. - Bước 1: do a 1 ∈ { 2; 6 } nên a1 có 2 cách chọn. - Bước 2: do a 5 ∈ { 0; 2; 6 } \ { a1 } nên a5 có 2 cách chọn. - Bước 3: do a 2 ∈ X \ { a 1; a 5 } nên a2 có 3 cách chọn. - Bước 4: do a 3 ∈ X \ { a1; a 2 ; a 5 } nên a3 có 2 cách chọn. - Bước 5: do a 4 ∈ X \ { a1 ; a 2 ; a 3 ; a 5 } nên a4 có 1 cách chọn. Suy ra có 2.2.3.2.1 = 24 số ñược lập. Vậy có 36 + 24 = 60 số. Ví dụ 9. Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 2 chữ số. Giải Gọi A = a1a 2 với a 1, a 2 không phân biệt là số cần lập. + Bước 1: chọn 1 chữ số ñể xếp vào a1 có 3 cách. + Bước 2: chọn 1 chữ số ñể xếp vào a2 có 3 cách (do các chữ số không phân biệt). Vậy có 3.3 = 9 số. Ví dụ 10. Cần sắp xếp 3 người A, B, C lên 2 toa tàu (mỗi toa có thể chứa ñược 3 người). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp. Giải + Bước 1: người A có 2 sự lựa chọn toa tàu. 2 + Bước 2: với mỗi cách chọn của A thì người B có 2 sự lựa chọn toa tàu. + Bước 3: với mỗi cách chọn của A và B thì người C có 2 sự lựa chọn toa tàu. Vậy có 2.2.2 = 8 cách sắp xếp. Cách giải sai: Toa tàu thứ nhất có 3 cách chọn người, toa thứ hai có 3 cách chọn người. Do ñó có 3.3 = 9 cách. Sai ở chỗ là toa thứ nhất có nhiều cách chọn (không chọn ai cả hoặc chọn 1 người, 2 người, cả 3 người) ñồng thời khi chọn người A thì toa thứ hai không thể chọn người A ñược nữa! Cụ thể các trường hợp ñó là Toa I II 1 ABC 2 ABC 3 AB C Các trường hợp 4 5 AC BC B A 6 C AB 7 B AC 8 A BC Nhận xét: Chỉ dùng các quy tắc ñếm, cộng và nhân thì ưu ñiểm là ít sai sót nhưng nhược ñiểm là lời giải dài dòng. II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị ðịnh nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( n ≥ 0 ) . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử ñược ký hiệu là Pn. Pn = n ! = 1.2...n . Quy ước: 0! = 1. Ví dụ 11. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách. Giải Mỗi cách ñổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị. Vậy có P5 = 5! = 120 cách sắp. Ví dụ 12. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập ñược mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Giải Gọi A = a1a 2a 3a 4 a 5 với a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 phân biệt là số cần lập. + Bước 1: chữ số a 1 ≠ 0 nên có 4 cách chọn a1. + Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách. Vậy có 4.24 = 96 số. 2. Chỉnh hợp ðịnh nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( n ≥ 0 ) . Mỗi cách chọn ra k ( 0 ≤ k ≤ n ) phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử ñược ký hiệu là Akn . n! A kn = . (n − k)! Nhận xét: A nn = n ! = Pn . Ví dụ 13. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách. 3 Giải Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế ñể sắp 5 người vào và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7. 7! Vậy có A57 = = 2520 cách sắp. (7 − 5)! Ví dụ 14. Từ tập hợp X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } có thể lập ñược mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Giải Gọi A = a1a 2a 3a 4 với a 1 ≠ 0 và a 1, a 2 , a 3 , a 4 phân biệt là số cần lập. + Bước 1: chữ số a 1 ≠ 0 nên có 5 cách chọn a1. + Bước 2: chọn 3 trong 5 chữ số còn lại ñể sắp vào 3 vị trí A53 cách. Vậy có 5A53 = 300 số. 3. Tổ hợp ðịnh nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( n ≥ 0 ) . Mỗi cách chọn ra k ( 0 ≤ k ≤ n ) phần tử của X ñược gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử ñược ký hiệu là Ckn . n! Ckn = . k !(n − k)! Ví dụ 15. Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách. Giải Mỗi cách chọn ra 4 trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10. 4 Vậy có C10 = 210 cách chọn. Ví dụ 16. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong ñó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách. Giải + Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam. - Bước 1: chọn ra 1 trong 3 nữ có 3 cách. - Bước 2: chọn ra 2 trong 5 nam có C25 . Suy ra có 3C25 cách chọn. + Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam. - Bước 1: chọn ra 2 trong 3 nữ có C23 cách. - Bước 2: chọn ra 1 trong 5 nam có 5. Suy ra có 5C23 cách chọn. + Trường hợp 3: chọn 3 nữ có 1 cách. Vậy có 3C25 + 5C23 + 1 = 46 cách chọn. Ví dụ 17. Hỏi có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số ñó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng ñơn vị. Giải Gọi A = a1a 2a 3a 4 với 9 ≥ a 1 > a 2 > a 3 > a 4 ≥ 0 là số cần lập. X = { 0; 1; 2; ...; 8; 9 } . Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập ñược 1 số A. Nghĩa là không có hoán vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10. 4 Vậy có C10 = 210 số. 4 Nhận xét: i/ ðiều kiện ñể xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt. ii/ Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì không. 4. Phương pháp giải toán 4.1. Phương pháp 1. Bước 1. ðọc kỹ các yêu cầu và số liệu của ñề bài. Phân bài toán ra các trường hợp, trong mỗi trường hợp lại phân thành các giai ñoạn. Bước 2. Tùy từng giai ñoạn cụ thể và giả thiết bài toán ñể sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp. Bước 3. ðáp án là tổng kết quả của các trường hợp trên. Ví dụ 18. Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người ñể lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Giải + Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam. - Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách. 2 - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A15 cách. 2 - Bước 3: chọn 2 trong 13 nam còn lại có C13 cách. 2 2 .C13 cách chọn cho trường hợp 1. Suy ra có 5A15 + Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam. - Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có C25 cách. 2 - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A15 cách. - Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách. 2 Suy ra có 13A15 .C25 cách chọn cho trường hợp 2. + Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam. - Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có C53 cách. 2 cách. - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A15 2 3 Suy ra có A15 .C5 cách chọn cho trường hợp 3. 2 2 2 2 Vậy có 5A15 .C13 + 13A15 .C25 + A15 .C53 = 111300 cách. Cách khác: 2 + Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A15 cách. + Bước 2: chọn 3 tổ viên, trong ñó có nữ. 2 - Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam có 5.C13 cách. 2 - Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có 13.C5 cách. - Trường hợp 3: chọn 3 nữ có C53 cách. 2 2 Vậy có A15 + 13.C25 + C53 ) = 111300 cách. ( 5.C13 4.2. Phương pháp 2. ðối với nhiều bài toán, phương pháp 1 rất dài. Do ñó ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán A ∪ A = X ⇒ A = X \ A . Bước 1: chia yêu cầu của ñề thành 2 phần là yêu cầu chung X (tổng quát) gọi là loại 1 và yêu cầu riêng A. Xét A là phủ ñịnh của A, nghĩa là không thỏa yêu cầu riêng gọi là loại 2. 5 Bước 2: tính số cách chọn loại 1 và loại 2. Bước 3: ñáp án là số cách chọn loại 1 trừ số cách chọn loại 2. Chú ý: Cách phân loại 1 và loại 2 có tính tương ñối, phụ thuộc vào chủ quan của người giải. Ví dụ 19. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập ñược mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Giải + Loại 1: chữ số a1 tùy ý, ta có 5! = 120 số. + Loại 2: chữ số a1 = 0, ta có 4! = 24 số. Vậy có 120 – 24 = 96 số. Ví dụ 20. Một nhóm có 7 nam và 6 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong ñó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách. Giải 3 + Loại 1: chọn 3 người tùy ý trong 13 người có C13 cách. + Loại 2: chọn 3 nam (không có nữ) trong 7 nam có C73 cách. 3 Vậy có C13 − C73 = 251 cách chọn. Ví dụ 21. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu ñể làm ñề kiểm tra sao cho phải có ñủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập ñược bao nhiêu ñề kiểm tra. Giải + Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có C10 cách. 20 + Loại 2: chọn 10 câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó. - Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C10 16 cách. 10 - Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có C13 cách. - Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có C10 11 cách. 10 10 10 10 Vậy có C20 − ( C16 + C13 + C11 ) = 176451 ñề kiểm tra. Chú ý: Giải bằng phương pháp phần bù có ưu ñiểm là ngắn tuy nhiên nhược ñiểm là thường sai sót khi tính số lượng từng loại. Ví dụ 22. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 7 câu ñể làm ñề kiểm tra sao cho phải có ñủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập ñược bao nhiêu ñề kiểm tra. Cách giải sai: 7 + Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. + Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu. - Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ trong 9 câu có C79 cách. - Trường hợp 2: chọn 7 câu trung bình có 1 cách. 7 - Trường hợp 3: chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C16 cách. 7 - Trường hợp 4: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có C13 cách. 7 - Trường hợp 5: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 cách. 7 7 7 7 7 Vậy có C20 − ( 1 + C9 + C16 + C13 + C11 ) = 63997 ñề kiểm tra! Sai sót trong cách tính số ñề loại 2. Chẳng hạn, khi tính số ñề trong trường hợp 3 ta ñã tính lặp lại trường hợp 1 và trường hợp 2. 6 Cách giải sai khác: 7 + Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. + Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu. 7 cách. - Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu có C16 7 - Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ hoặc khó trong 13 câu có C13 cách. 7 - Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình hoặc khó trong 11 câu có C11 cách. 7 7 7 7 Vậy có C20 − ( C16 + C13 + C11 ) = 64034 ñề kiểm tra. Sai sót do ta ñã tính lặp lại số cách chọn ñề chỉ có 7 câu dễ và ñề chỉ có 7 câu trung bình trong trường hợp 1 và trường hợp 2. Cách giải ñúng: 7 + Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có C20 cách. + Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu. 7 - Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu có C16 cách. 7 7 - Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có C13 − C9 cách. 7 - Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 − 1 cách. 7 7 7 7 7 Vậy có C20 − ( C16 + C13 − C9 + C11 − 1 ) = 64071 ñề kiểm tra. Ví dụ 23. Hội ñồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong ñó có 5 nữ. Từ hội ñồng quản trị ñó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội ñồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội ñồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người ñược bầu phải có nữ. Giải + Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ). 2 - Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có A12 cách. 2 - Bước 2: bầu 2 ủy viên có C10 cách. 2 2 Suy ra có A12 .C10 cách bầu loại 1. + Loại 2: bầu 4 người toàn nam. - Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có A27 cách. - Bước 2: bầu 2 ủy viên có C25 cách. Suy ra có A27 .C25 cách bầu loại 2. 2 2 Vậy có A12 .C10 − A27 .C25 = 5520 cách. 5. Hoán vị lặp (tham khảo) Cho tập hợp X có n phần tử gồm n1 phần tử giống nhau, n2 phần tử khác lại giống nhau, …, nk phần tử khác nữa lại giống nhau ( n1 + n2 + ... + n k = n ) . Mỗi cách sắp n phần tử này vào n vị trí là một hoán vị lặp, số n! hoán vị lặp là . n1 ! n2 !...n k ! Ví dụ 24. Từ các chữ số 1, 2, 3 lập ñược bao nhiêu số tự nhiên có ñúng 5 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 3 chữ số 3. Giải Xem số cần lập có 10 chữ số gồm 5 chữ số 1 giống nhau, 2 chữ số 2 giống nhau và 3 chữ số 3 giống nhau. 10 ! Vậy có = 2520 số. 5!2 ! 3! Cách giải thường dùng: 5 + Bước 1: chọn 5 trong 10 vị trí ñể sắp 5 chữ số 1 có C10 cách. + Bước 2: chọn 2 trong 5 vị trí còn lại ñể sắp 2 chữ số 2 có C25 cách. 7 + Bước 3: sắp 3 chữ số 3 vào 3 vị trí còn lại có 1 cách. 5 Vậy có C10 .C25 .1 = 2520 số. CHƯƠNG II NHỊ THỨC NEWTON PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. NHỊ THỨC NEWTON ðịnh nghĩa Nhị thức Newton là khai triển tổng lũy thừa có dạng: ( a + b )n = C0n a n + C1n a n −1b + C2n a n −2 b2 + ... + Cnk a n − k bk + ... + Cnn bn n = ∑C a k n n−k bk (n = 0, 1, 2, ...) . k=0 + Số hạng thứ k+1 là Tk +1 = Cnk a n − k bk thường ñược gọi là số hạng tổng quát. + Các hệ số Ckn ñược tính theo công thức tổ hợp chập hoặc dựa vào tam giác Pascal sau ñây: Chẳng hạn: C60 = 1, C16 = 6, C62 = 15, C63 = 20, C64 = 15, C65 = 6, C66 = 1 . Tính chất i) Ckn = Cnn − k (0 ≤ k ≤ n) . ii) Ckn + Ckn−1 = Ckn +1 (1 ≤ k ≤ n) . PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Dùng ñịnh nghĩa và tính chất chứng minh hoặc rút gọn ñẳng thức Ví dụ 1. Chứng minh ñẳng thức: Ckn + 3Ckn−1 + 3Ckn−2 + Cnk − 3 = Cnk + 3 với 3 ≤ k ≤ n . Giải Áp dụng tính chất ta có: 8 Ckn + 3Cnk −1 + 3Cnk −2 + Cnk −3 = ( Ckn + Ckn−1 ) + 2 ( Ckn−1 + Ckn−2 ) + ( Ckn−2 + Cnk − 3 ) = Ckn +1 + 2Ckn−+11 + Ckn−+21 = ( Cnk +1 + Cnk−+11 ) + ( Cnk −+11 + Cnk −+21 ) = Ckn +2 + Cnk−+12 = Ckn + 3 . 15 16 29 30 Ví dụ 2. Tính tổng S = C14 30 − C 30 + C30 − ... − C 30 + C30 . Giải Áp dụng tính chất ta có: 14 14 15 15 16 28 29 30 13 29 30 13 S = ( C13 29 + C29 ) − ( C29 + C29 ) + ( C29 + C29 ) − ... − ( C29 + C29 ) + C 30 = C29 − C29 + C30 = C29 . Vậy S = 67863915 . Cách khác: 13 14 29 30 ( 1 − 1 )30 = ( C030 − ... + C12 30 − C 30 ) + ( C 30 − ... − C30 + C 30 ) 18 17 14 29 30 ⇒ ( C30 30 − ... + C30 − C30 ) + ( C 30 − ... − C30 + C 30 ) = 0 15 14 16 15 14 14 15 ⇒ ( S − C16 30 + C30 − C30 ) + S = 0 ⇒ 2S = C 30 − C30 + C30 = 2C 30 − C 30 . 15 2C14 30 − C 30 = 67863915 . Vậy S = 2 Ví dụ 3. Rút gọn tổng sau: 0 1 2005 2 2004 k 2006 -k 2006 0 S = C2007 C2006 2007 + C2007 C2006 + C2007 C2005 + ... + C2007 C2007 -k + ... + C2007 C1 . Giải Áp dụng công thức ta có: 2007 ! (2007 − k)! 2007 ! 2006! k -k C2007 C2006 . = = 2007. 2007 -k = k ! ( 2007 − k ) ! (2006 − k)!1! k ! ( 2006 − k ) ! k ! ( 2006 − k ) ! k = 2007C2006 với ∀k = 0, 1, 2, ..., 2006 . 2006 0 k Suy ra S = 2007 ( C2006 + C12006 + ... + C2006 + ... + C2006 . 2006 ) = 2007 ( 1 + 1 ) 2006 Vậy S = 2007.2 . 2. Khai triển nhị thức Newton 2.1. Dạng khai triển Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số ñứng trước tổ hợp và lũy thừa là 1 hoặc 1 và – 1 xen kẽ nhau. i) Khai triển ( a + b )n hoặc ( a − b )n . ii) Cộng hoặc trừ hai vế của 2 khai triển trên. Ví dụ 4. Tính tổng sau: 0 2 3 2007 2007 S = C2007 − 2C12007 + 22 C2007 − 23 C2007 + ... + 22006 C2006 C2007 . 2007 − 2 Giải Ta có khai triển: 0 2 2006 2007 (1 − 2)2007 = C2007 − 2C12007 + 22 C2007 − ... + 22006 C2007 − 22007 C2007 . Vậy S = −1 . Ví dụ 5. Rút gọn tổng sau: 0 4 2004 2006 S = C2007 + 32 C22007 + 34 C2007 + ... + 32004 C2007 + 32006 C2007 . Giải Ta có các khai triển: 0 2007 2007 (1 + 3)2007 = C2007 + 3C12007 + 32 C22007 + ... + 32006 C2006 C2007 (1) 2007 + 3 9
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.