Nội dung

OÂN THI CAO HOÏC MOÂN TOAÙN KINH TEÁ (Bieân soaïn: Traàn Ngoïc Hoäi - 2007) PHAÀN III: THOÁNG KEÂ A- ÖÔÙC LÖÔÏNG §1. CAÙC ÑAËC TRÖNG MAÃU 1.1. Baûng soá lieäu Khi khaûo saùt ñaùm ñoâng X ta thu thaäp soá lieäu cuûa maãu côõ n: (X1, X2,…, Xn) vaø thöôøng laäp baûng soá lieäu theo caùc daïng sau: Daïng 1: Lieät keâ döôùi daïng: x1, x2,…, xn trong ñoù moãi soá lieäu coù theå laëp laïi nhieàu laàn. Daïng 2: Laäp baûng coù daïng: Xi ni trong ñoù x1 n1 x2 n2 ……………………….. xk …………………………. nk x1 < x2 <… < xk vaø moãi soá lieäu xi xuaát hieän ni laàn. Daïng 3: Laäp baûng coù daïng: Xi ni x1- x2 x2- x3 ……………………….. xk- xk+1 n1 n2 …………………………. nk trong ñoù x1 < x2 <… < xk < xk+1 vaø moãi nöûa khoaûng (tröø caùi cuoái cuøng laø ñoaïn [xk; xk+1]) chöùa ni soá lieäu. [xi; xi+1) Khi xöû lyù soá lieäu ta seõ ñöa soá lieäu veà Daïng 2. Coù theå ñöa Daïng 1 veà Daïng 2 baèng caùch thoáng keâ laïi. 1 Daïng 3 ñöôïc ñöa veà Daïng 2 baèng caùch thay xi-xi+1 baèng giaù trò trung bình cuûa hai ñaàu muùt x'i = caùc khoaûng xi + xi +1 2 . Trong caùc phaàn sau, ta xeùt maãu cuûa ñaùm ñoâng X coù daïng 2. 1.2. Kyø voïng maãu. 1) Ñònh nghóa: Kyø voïng maãu hay Trung bình maãu cuûa X ñaùm ñoâng X öùng vôùi maãu (X1, X2,…, Xn), kí hieäu X n hay laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi: 1 k X = ∑ X i ni n i =1 2) YÙ nghóa: Khi n → ∞ ñaùm ñoâng kyø voïng maãu X n hoäi tuï veà kyø voïng μ = M(X). Do ñoù khi n khaù lôùn ta xaáp xæ: μ = M (X ) ≈ Xn 1.3. Phöông sai maãu vaø ñoä leäch maãu 1) Ñònh nghóa: Phöông sai maãu cuûa ñaùm ñoâng 2  (coøn kí hieäu laø (X1, X2,…, Xn), kí hieäu S löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi: X xσ2n öùng vôùi maãu hay σ2n ) laø ñaïi 2 1 k 2  S = ∑ X i n i − (X)2 n i =1 Caên baäc hai cuûa phöông sai maãu cuûa X goïi laø ñoä leäch maãu, kí hieäu  (coøn kí hieäu laø S = S xσn hay σn ): 1 k 2 X i n i − (X)2 ∑ n i =1 2) Phöông sai maãu vaø ñoä leäch maãu hieäu chænh Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa ñaùm ñoâng X öùng vôùi maãu (X1, X2,…, Xn), kí hieäu S2 (coøn kí hieäu laø xσ2n −1 hay σ2n −1 ) laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi: 2 n 2 1 k 2 n S = S = X i ni − (X)2 ∑ n −1 n − 1 i =1 n −1 2 Caên baäc hai cuûa phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X goïi laø ñoä leäch maãu hieäu chænh, S (coøn kí hieäu laø xσn −1 S= hay σn −1 ): 1 k 2 n X i ni − (X)2 . ∑ n − 1 i =1 n −1 3) YÙ nghóa: Khi n → ∞ phöông sai maãu hieäu chænh hoäi tuï veà 2 phöông sai ñaùm ñoâng σ = D(X). Do ñoù khi n khaù lôùn ta xaáp xæ: σ2 = D(X) ≈ S2 1.4. Phöông sai maãu vaø ñoä leäch maãu 1) Ñònh nghóa: Ta xeùt ñaùm ñoâng vôùi tæ leä caùc phaàn töû coù tính chaát A laø p. Daáu hieäu X maø ta quan taâm laø caùc phaàn töû cuûa ñaùm ñoâng coù tính chaát A hay khoâng: Neáu coù, ta ñaët X = 1; neáu khoâng, ta ñaët X = 0. Nhö vaäy, ñaùm ñoâng X coù phaân phoái Bernoulli X ∼ B(p) nhö sau: X P 0 q 1 p (q = 1-p). Khi ñoù moät maãu côõ n laø moät boä goàm n ñaïi löôïng ngaãu nhieân (X1, X2, …, Xn) maø moãi Xi ñeàu coù cuøng phaân phoái Bernoulli vôùi X: Xi ∼ B(p), nghóa laø Xi 0 1 P q p Noùi caùch khaùc, moãi Xi chæ nhaän hai giaù trò: 0 (vôùi xaùc suaát q) vaø 1 (vôùi xaùc suaát p). Tæ leä maãu cuûa ñaùm ñoâng X öùng vôùi maãu (X1, X2,…, Xn), kí hieäu Fn, laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi: 1 k Fn = ∑ X in i n i =1 3 2) YÙ nghóa: Khi n → ∞ tæ leä maãu Fn hoäi tuï veà tæ leä ñaùm ñoâng p. Do ñoù khi n khaù lôùn ta xaáp xæ: p ≈ Fn 3) Chuù yù: Döôùi Daïng 2 cuûa baûng, vieäc tính giaù trò cuûa tæ leä maãu raát ñôn giaûn vì ta chæ caàn xaùc ñònh soá phaàn töû m thoûa tính chaát A cuûa maãu côõ n. Khi ñoù Fn = m n . Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19 cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo loaïi B. Haõy xaùc ñònh kyø voïng maãu, phöông sai maãu, phöông sai maãu hieäu chænh, ñoä leänh maãu, ñoä leänh maãu hieäu chænh cuûa chæ tieâu X vaø tæ leä maãu caùc saûn phaåm loaïi B. Giaûi. Tröôùc heát ta thay caùc khoaûng xi- xi+1 baèng giaù trò trung x'i = bình cuûa hai ñaàu muùt 13 Xi ni 8 Ta coù: - Côõ maãu - Kyø voïng X= - 17 9 xi + xi +1 2 21 20 . 25 16 29 16 33 13 n = 100. maãu cuûa X laø 1 ∑ X i ni = 26,36 (cm). n Phöông sai maãu cuûa X laø: 2 = 1 S X i2n i − X 2 =(7, 4452)2 (cm2 ). ∑ n 4 37 18 -  = 7, 4452 (cm) Ñoä leäch maãu cuûa X laø: S Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: S2 = n 2 S = (7, 4827)2 (cm2 ). n −1 - Ñoä leäch maãu hieäu chænh cuûa X laø: S = 7, 4827(cm) - Tæ leä maãu caùc saûn phaåm loaïi B laø: Fn = m 17 = = 0,17 = 17%. n 100 vì trong n = 100 saûn phaåm coù m = 8 + 9 = 17 saûn phaåm coù chæ tieâu X nhoû hôn hay baèng 19 cm, nghóa laø coù m = 17 saûn phaåm loaïi B. Chuù yù: Ta coù theå söû duïng phaàn meàm thoáng keâ trong caùc maùy tính boû tuùi CASIO 500MS, 570MS,..) nhö sau: 1) Vaøo MODE SD: Baám MODE… vaø baám soá öùng vôùi SD. 2) Xoùa boä nhôù thoáng keâ: Baám SHIFT MODE 1 (maøn hình hieän leân Stat clear) = AC. Kieåm tra laïi: Baám REPLAY Up hoaëc Down thaáy n = vaø ôû goùc soá 0 laø ñaõ xoùa. 3) Nhaäp soá lieäu: 13 ; 8 M+ 17 ; 9 M+ 21 ; 20 M+ 25 ; 16 M+ 29 ; 16 M+ 33 ; 13 M+ 37 ; 18 M+ Löu yù: Ñeå ñöôïc ; ta baám SHIFT , 4) Kieåm tra vaø söûa soá lieäu sai: Baám REPLAY Down ñeå kieåm tra soá lieäu. Thaáy soá lieäu naøo sai thì ñeå maøn hình ngay soá lieäu ñoù, nhaäp soá lieäu ñuùng vaø baám = thì soá lieäu môùi seõ thay cho soá lieäu cuõ. Ví duï: Nhaäp sai 13 ; 18 M+. Khi kieåm tra ta thaáy: - x1 = 13 (ñuùng). - Freq1 = 18 (sai) Söûa nhö sau: Ñeå maøn hình ôû Freq1 = 18, baám 8 vaø = thì nhaän ñöôïc soá lieäu ñuùng Freq1 = 8. 5 Soá lieäu naøo bò nhaäp dö thì ñeå maøn hình ôû soá lieäu ñoù vaø baám SHIFT M+ thì toøan boä soá lieäu ñoù (goàm giaù trò cuûa X vaø taàn soá töông öùng) seõ bò xoùa. • Sau khi kieåm tra xong phaûi baám AC ñeå xoùa maøn hình vaø thoaùt khoûi cheá ñoä chænh söûa. 5) Ñoïc keát quaû: - Baám SHIFT 1 1 ( ∑ X 2 ) = ta ñöôïc ∑X - Baám SHIFT 1 2 ( ∑ X ) = ta ñöôïc ∑X n - Baám SHIFT 1 3 (n) = ta ñöôïc côõ maãu n = 100. - Baám SHIFT 2 1 ( X ) = ta ñöôïc kyø voïng maãu X = 26, 36 . - Baám SHIFT 2 2 (xσn) = ta ñöôïc ñoä leäch chuaån: i 2 n i =75028. i i =2636;  = 7, 4452 S 2  = (7, 4452) . Suy ra phöông sai maãu S - 2 Baám SHIFT 2 3 (xσn-1) = ta ñöôïc ñoä leäch chuaån hieäu chænh: S = 7, 4827 Suy ra phöông sai maãu hieäu chænh S = (7, 4827) . 2 2 §2. ÖÔÙC LÖÔÏNG 2.1. Öôùc löôïng ñieåm Xeùt ñaùm ñoâng X vaø maãu (X1, X2,..., Xn) ta coù caùc öôùc löôïng ñieåm khoâng cheäch sau: 1) Kyø voïng maãu X laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa kyø voïng ñaùm ñoâng: μ = M (X ) ≈ X 6 2) Phöông sai maãu hieäu chænh S2 laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa phöông sai ñaùm ñoâng: σ2 = D(X) ≈ S2 3) Tæ leä maãu ñaùm ñoâng: Fn laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa tæ leä p ≈ Fn Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19 cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo loaïi B. Haõy öôùc löôïng giaù trò trung bình, phöông sai cuûa chæ tieâu X vaø tæ leä caùc saûn phaåm loaïi B. Giaûi. Trong Ví duï 1 ôû §1, ta ñaõ tìm ñöôïc: - Kyø voïng maãu cuûa X laø X = 26,36 (cm). - - Phöông sai ñaõ hieäu chænh cuûa X laø n 2 S2 = S = (7, 4827)2 = 55, 9903 (cm2 ). n −1 Tæ leä maãu caùc saûn phaåm loaïi B laø Fn = 17%. Ta öôùc löôïng: - Giaù trò trung bình cuûa X laø M(X) ≈ X - = 26,36 (cm). Phöông sai cuûa X laø D(X) ≈ S2 = 55, 9903 (cm2 ). - Tæ leä caùc saûn phaåm loaïi B laø p ≈ 7 Fn = 17%. 2.2. Öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng Xeùt ñaùm ñoâng X vaø maãu (X1, X2,..., Xn), ta coù caùc coâng thöùc öôùc löôïng khoûang cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α nhö sau: Tröôøng hôïp 1: n ≥ 30; σ2 = D(X) ñaõ bieát. (X − zα σ σ ; X + zα ) n n vôùi ϕ(zα ) = 1−α γ = 2 2 (ϕ laø haøm Laplace). Ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø ε = zα σ . n Tröôøng hôïp 2: n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát. (X − zα S S ; X + zα ) n n vôùi ϕ(zα ) = 1−α γ = 2 2 (S laø ñoä leäch maãu hieäu chænh, ϕ laø haøm Laplace). Ñoä chính xaùc cuûa S öôùc löôïng laø ε = zα . n Tröôøng hôïp 3: n< 30; X coù phaân phoái chuaån, σ2 = D(X) ñaõ bieát. (X − zα σ σ ; X + zα ) n n vôùi ϕ(zα ) = 1−α γ = 2 2 (ϕ laø haøm Laplace). Ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø ε = zα bieát. σ . n Tröôøng hôïp 4: n< 30; X coù phaân phoái chuaån, σ2=D(X) chöa (X − t α S S ; X + tα ) n n (S laø ñoä leäch maãu hieäu chænh) trong ñoù t α = t αk ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student öùng vôùi baäc töï do k = n–1 vaø α = 1 - γ. S Ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø ε = t α . n • Tra Baûng haøm Laplace ñeå xaùc dònh zα thoûa ϕ(zα ) = ta ñöôïc: 8 1−α γ = 2 2 γ 90% 95% 96% 97% 98% 99% ϕ (zα) = γ/2 0,45 0,475 0,48 0,485 0,49 0,495 zα 1,65 1,96 2,06 2,17 2,33 2,58 • Ñoâi khi giaù trò zα ñöôïc cho döôùi daïng P(|Z|≤ zα) = 1- α = γ hay P(Z ≤ zα) = 0,5 + γ 1−α = 0, 5 + , trong ñoù Z ∼ N(0,1). 2 2 • Baûng phaân phoái Student öùng vôùi k = n – 1 vaø α = 1 - γ cho ta giaù trò t α = t αk thoûa P(|T|> tα) = α = 1 - γ, nghóa laø P(|T|≤ tα) = 1- α = γ. Ví duï: Khi k = 12, α = 0,01 ta coù tα = 3,055. Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: X(cm) Soá saûn phaåm 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 8 9 20 16 16 13 18 Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19 cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo loaïi B. a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä tin caäy 95%. b) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 99% (Giaû söû X coù phaân phoái chuaån). Giaûi. a) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α = 95% = 0,95. Vôùi caùc soá lieäu treân, trong §1, ta ñaõ tìm ñöôïc: - Côõ maãu n = 100. - X = 26,36 (cm). - S 2 = (7,4827) 2 (cm 2 ). Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng: 9 S S ; X + zα ) n n (X − zα trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng B giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: (26,36 − 1,96 7,4827 7,4827 ; 26,36 + 1,96 ) = (24,89; 27,83). 100 100 Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X töø 24,89cm ñeán 27,83 cm. b) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μB = M(XB) cuûa chæ tieâu X = XB cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α = 99% = 0,99. Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XB: XBi nBi Töø baûng treân ta tính ñöôïc: nB = 17; - 2 Kyø voïng maãu cuûa XB laø 1 nB ∑ X BinBi = 15,1176 (cm). Phöông sai maãu cuûa XB laø:  2B = 1 S nB - 17 9 ∑ X Bi nBi =257; ∑ X Bi nBi =3.953. XB = - 13 8 ∑ X Bi2nBi − X B2 =(1, 9965)2 (cm2 ). Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa XB laø: SB 2 = nB  2 SB = (2, 0580)2 (cm2 ). nB − 1 Vì nB < 30, XB coù phaân phoái chuaån, σ2B= D(XB) chöa bieát, neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng: 10