Nội dung

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Hàm Số Nâng Cao Trang 0 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT CHUNG Cho hàm số y  f  x, m  , m là tham số, có taaph xác định D. Hàm số f đồng biến trên D  f   0, x  D . Hàm số f nghịch biến trên D  f   0, x  D . Từ đó suy ra điều kiện của m. 1. Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trên tập D để giải quyết bài toán tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu. Lí thuyết nhắc lại: Cho bất phương trình: f ( x, m)  0, x  D  f  x   g  m  , x  D  min f  x   g  m  xD Cho bất phương trình: f ( x, m)  0, x  D  f  x   g  m  , x  D  min f  x   g  m  xD Phương pháp: Để điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của hàm số y  f ( x, m) , ta thực hiện các bước sau: - Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số. - Bước 2: Tính y . Để hàm số đồng biến y   0, x  D , (để hàm số nghịch biến y   0, x  D ) thì ta sử dụng lý thuyết nhắc lại phần trên. - Bước 3: Kết luận giá trị của tham số. Chú ý: + Phương pháp trên chỉ sử dụng được khi ta có thể tách được thành f  x  và g  m  riêng biệt. + Nếu ta không thể tách được thì phải sử dụng dấu của tam thức bậc 2. 2. Sử dụng phương pháp tham thức bậc hai để tìm điều kiện của tham số: Lý thuyết nhắc lại: 1) y  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu y '  ax 2  bx  c thì:  a  b  0  c  0  y   0, x      a  0     0 a  b  0  c  0  y   0, x     a  0      0 3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g  x   ax 2  bx  c Nếu   0 thì g  x  luôn cùng dấu với a. Nếu   0 thì g  x  luôn cùng dấu với a , trừ x   b 2a Nếu   0 thì g  x  có hai nghiệm x1 , x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g  x  khác dấu với a , ngoài khoảng hai nghiệm thì g  x  cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x1 , x2 của tam thức bậc hai g  x   ax 2  bx  c với số 0. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 1 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   0   x1  x2  0   P  0 S  0    0   0  x1  x2   P  0 S  0  Hàm Số Nâng Cao  x1  0  x2  P  0 5) Để hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến)  x1; x2  bằng d thì ta thực hiện các bước sau: Tính y . a  0 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và ngịch biến:    0 2 Biến đổi x1  x2  d thành  x1  x2   4 x1 x2  d 2 1  2 Sử dụng định kí Vi-et đưa (2) thành phương trình theo m. Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: y  từng khoảng xác định của nó. A. m  1 hoặc m  1 . C. m  2 hoặc m  1 . mx  1 luôn đồng biến trên xm B. m  1 hoặc m  1 . D. m  2 hoặc m  1 . Hướng dẫn giải: TXĐ: D   \ m . Ta có: y   m2  1  x  m 2 .  m  1 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi y '  0, x   m  m 2  1  0   m  1 Chọn B. Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  sin x  cos x  mx đồng biến trên . A.  2  m  2. Hướng dẫn giải: Chọn D. B. m   2. C.  2  m  2. D. m  2. Ta có: y  sin x  cos x  mx y '  cos x  sin x  m Hàm số đồng biến trên   y   0, x  .  m  sin x  cos x, x  .  m  max   x  , với   x   sin x  cos x.    Ta có:   x   sin x  cos x  2 sin  x    2. 4  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Do đó: max   x   2. Từ đó suy ra m  2.  Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  (m  3) x  (2m  1) cos x luôn nghịch biến trên  ? A. 4  m  2 . 3 B. m  2 . m  3 C.  . m  1  D. m  2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D   . Ta có: y '  m  3  (2m  1) sin x Hàm số nghịch biến trên   y '  0, x    (2m  1) sin x  3  m, x   Trường hợp 1: m   1 7 ta có 0  , x   . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên  . 2 2 Trường hợp 2: m   1 3m 3 m ta có sin x  , x     1 2 2m  1 2m  1  3  m  2m  1  m  4 Trường hợp 3: m   sin x  Câu 4: 1 ta có: 2 3 m 3 m 2 2  , x     1  3  m  2m  1  m  . Vậy m   4;  2m  1 2m  1 3 3  Cho hàm số y  x  sin 2 x, x  0;   . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào? 2  7   11  A.  0; ;  .  và   12   12   7 11  B.  ; .  12 12   7 C.  0;  12  7 11 D.  ;  12 12   7 11  ;  và  .   12 12    11   và  12 ;   .    Hướng dẫn giải: Chọn A.   x    k  1 1 12 TXĐ: D   . y '   sin 2 x . Giải y '  0  sin 2 x     ,k  7  2 2 x   k  12 7 11 Vì x   0;   nên có 2 giá trị x  và x  thỏa mãn điều kiện. 12 12 Bảng biến thiên: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 3 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A || 0  7 Hàm số đồng biến  0;  12 Câu 5: Hàm Số Nâng Cao 0 ||   11  ;   và    12  Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  ln 16 x 2  1   m  1 x  m  2 nghịch biến trên khoảng  ;   . A. m   ; 3 . B. m   3;   . C. m   ; 3 . D. m   3;3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: y  ln 16 x 2  1   m  1 x  m  2 y  32 x   m  1 16 x 2  1 Hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi y   0, x    Cách 1: 32 x   m  1  0, x   16 x 2  1 32 x   m  1  0, x    32 x   m  1 16 x 2  1  0, x   16 x 2  1  16  m  1 x 2  32 x   m  1  0, x    m  1 m  1 16  m  1  0      m  5  m  3. 2 2 2   16  16  m  1  0 16m  32m  240  0  m  3  Cách 2:  32 x   m  1  0 16 x 2  1 x   32 x 32 x  m  1, x    m  1  max g ( x), với g ( x)  2  16 x  1 16 x 2  1 Ta có: g ( x )  512 x 2  32 16 x 2  1 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 4 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A g ( x )  0  x   Hàm Số Nâng Cao 1 4 1  1 lim g ( x )  0; g    4; g     4 x  4  4 Bảng biến thiên: x   g x   1 4 0 1 4  0   4 g  x 0 0 4 Dựa vào bảng biến thiên ta có max g ( x)  4  Do đó: m  1  4  m  3. Câu 6: x2  4x đồng biến trên 1;  thì giá trị của m là: xm 1  1   A. m    ; 2  \ 1 . B. m   1;2 \ 1 . C. m   1;  . 2  2   Hàm số y  1  D. m   1;  . 2  Hướng dẫn giải: Chọn D. y x2  4x x 2  2mx  4m . có tập xác định là D   \ m và y '  2 xm  x  m  m  1 Hàm số đã cho đồng biến trên 1;     2  x  2mx  4m  0, x  1;   x 2  2mx  4m  0, x  1;    2m  x  2    x 2 , x  1;   (1) Do x  2 thỏa bất phương trình 2m  x  2    x 2 với mọi m nên ta chỉ cần xét x  2 .  2m  Khi đó 1    2m   Xét hàm số f  x   x2 , x  1; 2  x2 (2) x2 , x   2;   x2  x2 x2  4x trên 1;   \ 2 có f   x   2 x 2  x  2 x  0 f  x  0   x  4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 5 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Bảng biến thiên m  1 1  YCBT  2m  1  1  m  . 2 2m  8  Cách khác x2  4x x 2  2mx  4m có tập xác định là D   \ m và y '  y . 2 xm  x  m  m  1 Hàm số đã cho đồng biến trên 1;     2  x  2mx  4m  0, x  1;    4  m  0  2  m  0  m  4m  0   0    m  4  2  2 x  2mx  4m  0, x  1;       0   m  4m  0    m  1   x1  x2  1   m  m 2  4m  1    1  m  2   1 Kết hợp với đk m  1 ta được 1  m  . 2 Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: 1 1 y  mx 3   m  1 x 2  3  m  2  x  đồng biến trên  2;   3 3 2 A. m  B. m  1 C. m  1 3 Giải: Ta có: y   mx 2  2  m  1 x  3  m  2  D. m  1 Hàm số đồng biến trên  2;   thì y '  0  mx 2  2  m  1 x  3  m  2   0,    2;    m  x 2  2 x  3  2 x  6  0  m  Đặt f  x   6  2x ,   2;   x  2x  3 2 6  2x , x   2;   ta tìm GTLN của hàm: f  x  , x   2;   x  2x  3 2 Ta có: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 6 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A f ' x  2 x 2  12 x  6 x 2  2 x  3 f ' x  0  2 , x   2;   2 x 2  12 x  6 x 2 Hàm Số Nâng Cao  2 x  3 2 x  3 6 0  x  3  6  loai  2 2 6 2 Ta có: f  2   , f 3  6  , lim f  x   m   m. x  3 2 3 Chọn A.  Câu 8:  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số: y   x3  3 x 2  3mx  1 nghịch biến trên khoảng  0;  ? A. m  1 B. m  1 C. m  1 D. m  0 Hướng dẫn giải: Ta có: y   3 x 2  6 x  3m . Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;  thì: y '  0  3x 2  6 x  3m  0, x   0;    x 2  2 x  m, x   0;   Đặt f  x   x 2  2 x, x   0;   Ta đi tìm GTNN của hàm f  x  , x   0;   Ta có: f ' x  2x  2 f '  x   0  2 x  2  0  x  1. Ta có: f  0   0; f 1  1, lim f ( x)   x  Vậy để hàm số nghịch biến trong khoảng  0;  thì: min f  x   m  m  1 .  0;  Chọn B. Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x 3  6 x 2  mx  1 đồng biến trên khoảng  0;  ? A. m  0 . B. m  12 . C. m  0 . D. m  12 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Cách 1:Tập xác định: D   . Ta có y   3 x 2  12 x  m Trường hợp 1: 3  0 (hn) Hàm số đồng biến trên   y   0, x      m  12 36  3m  0 Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên  0;   y  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1  x2  0 (*) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 7 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Trường hợp 2.1: y  0 có nghiệm x  0 suy ra m  0 . Nghiệm còn lại của y  0 là x  4 (không thỏa (*)) Trường hợp 2.2: y  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa  36  3m  0    0   x1  x2  0  S  0  4  0(vl )  không có m .Vậy m  12 P  0 m   0 3 Cách 2:Hàm số đồng biến trên  0;   m  12 x  3x 2  g ( x), x  (0; ) . Lập bảng biến thiên của g ( x ) trên  0;  . x 0 +∞ 2 + g 0 – 12 g 0 –∞ Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x 4  2(m  1) x 2  m  2 đồng biến trên khoảng (1;3) ? A. m   5; 2  . B. m   ; 2 . C. m   2,   . D. m   ; 5  . Hướng dẫn giải: Chọn B. Tập xác định D   . Ta có y '  4 x3  4(m  1) x . Hàm số đồng biến trên (1;3)  y '  0, x  (1;3)  g ( x )  x 2  1  m, x  (1;3) . Lập bảng biến thiên của g ( x ) trên (1;3) . x 1 g g + 3 0 10 2 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m  min g ( x)  m  2 . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 8 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Nâng Cao Câu 11: Tìm tham số m để hàm số y  x 3  3mx 2  3  m  1 x  2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 . A. m  1  21 2 B. m  C. m  1  21 2 D. 1  21 1  21 hoặc m  2 2 1  21 1  21 m 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có D  , y   3x 2  6mx  3  m  1  3  x 2  2mx  m  1 y   0  x 2  2mx  m  1  0 1 . Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4  y  0 trên đoạn có độ dài lớn hơn 4  1 có hai nghiệm x1; x2  x1  x2  thoả mãn x1  x2  4    0   0      4  m 2  m  1  4  x1  x2  4  2   4  m2  m  5  0  m  1  21 1  21 m . 2 2 Vậy hàm số 1 nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 m 1  21 1  21 m 2 2 Chọn B. 1 1 Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x 3  mx 2  2mx  3m  4 3 2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3? A. m  1; m  9 . B. m  1 . C. m  9 . D. m  1; m  9 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Tập xác định: D   . Ta có y   x 2  mx  2m Ta không xét trường hợp y   0, x   vì a  1  0 Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3  y  0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 9