Nội dung

Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG TÂM TỶ CỰ 1. Các bài toán mở ñầu. Bài toán 1. Cho hình vuông ABCD. Tìm ñiểm M thoả mãn :
















 MA + 4MB + MC + 4MD = 5. AD . Giải. Cách 1. Gọi G là tâm của


 hình vuông ABCD.













 MA + 4MB + MC + 4MD = 5. AD































 1


 ⇔ MA + MC + 4MB + 4MD = 5. AD ⇔ 2MG + 8MG = 5. AD ⇔ GM = − AD 2











  là ñiểm sao cho GA + 4GB + GC + 4GD = 0 (1) Cách 2.


 Gọi G













 Khi ñó MA + 4MB + MC + 4MD = 5. AD






























 ⇔ GA − GM + 4 GB − GM + GC − GM + 4 GD − GM = 5. AD










 1


 ⇔ −10.GM = 5. AD ⇔ GM = − AD . D





2





  Cần phải xác ñịnh G từ (1): GA + 4GB + GC + 4GD = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) C Với mỗi O ta có: (OA − OG ) + 4 (OB − OG ) + (OC − OG ) + 4 (OD − OG ) = 0























 G 


 1


 2


 1


 2


 OG = OA + OB + OC + OD . 10 5 10 5


 2


 1


 2


 A B M Chọn O ≡ A: AG = AB + AC + AD . 5 10 5











 1


 Mặt khác AB + AD = AC . Suy ra AG = AC . 2 Bình luận: Một lời giải ngắn gọn như cách 1 là


nhờ vào các hệ số ñặc biệt ñể có thể 






 áp dụng ngay tính chất " M trung ñiểm của AB ⇔ OA + OB = 2OM , ∀O ", nhưng rất khó áp dụng cho Bài toán 2 dưới ñây, trong khi cách 2 lại có hiệu quả. Bài toán 2. Cho hình vuông ABCD. Tìm ñiểm M thoả mãn :
















 MA + 2MB + 3MC + 4 MD = 5. AD . Giải.











  GA + 2GB + 3GC + 4GD = 0 (1). Khi ñó: Gọi G là ñiểm thoả mãn:
















 MA + 2MB + 3MC + 4 MD = 5. AD






























 ⇔ GA − GM + 2 GB − GM + 3 GC − GM + 4 GD − GM = 5. AD










 1


 ⇔ −10.GM = 5. AD ⇔ GM = − AD . 2 ( Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự 10/2008 ) ( ) ( 1 ) ( ) Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Với mỗi O, ta có:























  (1) ⇔ ( OA − OG ) + 2 ( OA − OG ) + 3 ( OA − OG ) + 4 ( OA − OG ) = 0


 1


 1


 3


 2


 ⇔ OG = OA + OB + OC + OD . 10 5 10 5 O ≡ A:


 1


 3


 2


 AG = AB + AC + AD 5


10


 5


 Mặt khác AB + AD = AC


 1


 1


 nên AG = AC + AD 2 5 Bình luận: ðiểm G ñược xác ñịnh như thế là tâm tỷ cự của hệ ñiểm A, B, C, D cùng bộ số thực 1, 2, 3, 4. D C G M 2. Tâm tỷ cự là gì ? A Cho hệ ñiểm { Ai }i =1,n cùng với bộ số thực {ki }i =1,n sao cho B n ∑k ≠ 0 , bao giờ i i =1 n cũng tồn tại và duy nhất ñiểm G sao cho


  k GA ∑ i i =0 (1). i =1 Thật vậy, với một ñiểm O tuỳ ý: n n n


 n








 





  ∑ ki GAi = 0 ⇔ ∑ ki OAi − OG = 0 ⇔ ∑ ki OG = ∑ ki OAi ⇔ OG = n i =1 i =1 ( ) i =1


 ∑ k OA i (2). n ∑k i =1 i i =1 i i =1 n Nếu còn có G' sao cho




  k G ∑ i ' Ai = 0 (3), trừ từng vế (1) và (3) ta có i =1 n n n ∑ k ( GA − G ' A ) = 0 ⇔ ∑ k ( GA + AG ') = 0 ⇔ ∑ k GG ' = 0 ⇔ GG ' = 0 ;







 i i i =1  i






 i i  i i =1



 



  i i =1 n



 hoặc là, tương tự G, ta có OG ' =


 k OA ∑i i (4), khi ñó từ (2) và (4) suy ra i =1 n ∑k i i =1






 OG = OG ' . Cả hai cách ñều dẫn ñến G' ≡ G. ðiểm G ñược gọi là tâm tỷ cự của hệ ñiểm { Ai }i =1,n cùng với bộ số thực {ki }i =1,n , viết tắt { Ai ( ki )}i =1,n . Khi k1 = k2 = ... kn ≠ 0 thì G ñược gọi là trọng tâm của hệ ñiểm { Ai }i =1,n . • Sau ñây là một số kết quả ñặc biệt. Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự 10/2008 2 Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình KQUẢ1. Cho hai ñiểm A, B phân biệt và các số thực α , β không ñồng thời bằng


 không.








 Vì α MA + β MB = (α + β ) MA + β AB nên:





  1) Nếu α + β = 0 thì không tồn tại M sao cho α MA + β MB = 0 .





  2) Nếu α + β ≠ 0 thì tồn tại duy nhất M sao cho α MA + β MB = 0 .









 α OA + β OB



 β


 , chẳng hạn AM = AB Khi ñó, với mỗi ñiểm O, ta có: OM = α +β α +β KQUẢ2. Cho tam giác ABC và các số thực α , β , γ không ñồng thời bằng


















 không. Vì α MA + β MB + γ MC = (α + β + γ ) MA + β AB + γ AC nên: 1) Nếu α + β + γ = 0 thì không tồn tại M sao cho









  α MA + β MB + γ MC = 0 . 2) Nếu α + β + γ ≠ 0 thì tồn tại duy nhất M sao cho









  α MA + β MB + γ MC = 0 . Khi ñó, với mỗi ñiểm O, ta có:












 α OA + β OB + γ OC









 β γ OM = , chẳng hạn AM = AB + AC α + β +γ α + β +γ α + β +γ 3. Các ví dụ áp dụng. VD1. Cho


 tam giác ABC . Tìm ñiểm M sao cho






  a) MA + 2MB + 3MC = 0









  b) MA + 2MB − 3MC = 0 HD. a) Theo KQUẢ2. với α = 1, β = 2, γ = 3 , suy ra với mỗi O: B A P N I E M J









 



 1


 1


 1


 MA + 2MB + 3MC = 0 ⇔ OM = OA + MB + OC 6 3 2



 2


 3


 1


 1


 Cách 1: Chọn O ≡ A, ta có AM = AB + AC = AB + AC 6 6 3 2 Khi ñó ñiểm M là dỉnh của hình bình hành APMN, tromg ñó:


 1





 1


 AP = AB, AN = AC 3 2



 1


 2


 1


 1


 Cách 2. Chọn O ≡ C, ta có CM = CA + CB = CA + CB 6 6 6 3



 1


 3


 1


 1


 Cách 3. Chọn O ≡ B, ta có BM = BA + BC = BA + BC 6 6 6 2 Theo KQUẢ1.





  Cách 4. Tồn tại E sao cho EA + 2 EB = 0









 






 






 Khi ñó MA + 2MB + 3MC = 0 ⇔ 3ME + 3MC = 0 ⇔ ME = − MC



  Cách 5. Ttồn tại I sao cho IA + 3IC = 0 Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự 10/2008 3 C Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình









 








 1


 Khi ñó MA + 2MB + 3MC = 0 ⇔ 4MI = −2MB ⇔ MI = − MB 2




  Cách 6. Tồn tại J sao cho 2 JB + 3JC = 0









 








 1


 Khi ñó MA + 2MB + 3MC = 0 ⇔ 5MJ = − MA ⇔ MJ = − MA 2 b) Theo KQUẢ2. với α = 1, β = 2, γ = −3 ⇒ α + β + γ = 0 suy ra không có ñiểm M nào như hế. VD2. Cho tam giác ABC và ñường thẳng d. Tìm ñiểm M trên d sao cho









 A MA + MB + 3.MC nhỏ nhất. HD. Với G là ñiểm sao cho GA + GB + 3.GC = 0 (1).













 Khi ñó: MA + MB + 3.MC = 6.MG = 6MG








  E G C B









 MA + MB + 3.MC nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của G trên d. M d Theo KQUẢ2. với α = 1, β = 1, γ = 3 :


 1


 1


 1





 2


 (1) ⇔ CG = CA + CB = CA + CB = CE (E là trung ñiểm của cạnh AB) 5 5 5 5 ( ) VD3. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những ñiểm M sao cho



















 2 MA + MB + MC = MA + 2.MB + 3.MC HD. Với G là trọng tâm



tam giác ABC,









  3.MG . ta có: MA + MB + MC =





  Gọi I là ñiểm sao cho IA + 2.IB + 3.IC = 0 (I ñược xác ñịnh như M trong VD1.a)













 Khi ñó: 2 MA + MB + MC =2 3.MG = 6MG, A d •G A M A • I B C












 MA + 2.MB + 3.MC = 6.MI = 6MI Từ giả thiết, suy ra: MG = MI ⇔ M thuộc trung trực d của ñoạn GI. VD4. Cho tam giác ABC, hai ñiểm M, N thay ñổi sao cho:













 MN = 4.MA + MB − 2.MC Chứng minh rằng ñường thẳng MN luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh.





  HD. Gọi


I là


 ñiểm sao cho


4.IA + IB − 2.IC = 0 (1)







 

 MN = 4.MA + MB − 2.MC ⇔ IM = −2.IN . Suy ra (MN) ñi qua I là ñiểm cố ñịnh, hoàn toàn ñược xác ñịnh bởi (1). I Thật vậy, Theo KQUẢ2. với α = 4, β = 1, γ = −2 , A 1


 2


 3 3





  Cách 2. Theo Theo KQUẢ1. tồn tại F sao cho 4.FA + FB = 0

 suy ra: AI = AB − AC . E• • B Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự 10/2008 4 •F • • C Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình





 2


 (1) ⇔ −5.FI = 2.IC ⇔ FI = − FC 3 Cách 3. Ta có thể có cách tìm I theo cách sau:





 







  4.IA + IB − 2.IC = 0 ⇔ 2.IA − 2.IC + 2.IA + IB = 0










  ⇔ 2.CA + 3.IE + 2.EA + EB = 0





 

 2


 Chọn E sao cho 2.EA + EB = 0 . Khi ñó EI = CA 3 VD5. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong ñường tròn (O). Tìm ñiểm M thuộc (O) sao cho









 MA + MB − MC nhỏ nhất, lớn nhất. I• A E





  HD. Gọi I là ñiểm sao cho IA + IB − IC = 0 (1)












 Khi ñó MA + MB − MC = IM = IM




 (1) ⇔ IA = BC . • O F B C Tam giác ABC nhọn nên I ở ngoài (O). Như thế IM lớn nhất, nhỏ nhất khi ñường thẳng IM ñi qua tâm (O). Cụ thể là:



















 MA + MB − MC lớn nhất ⇔ M ≡ F, MA + MB − MC nhỏ nhất ⇔ M ≡ E. VD6. Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp những ñiểm M sao cho























 MA + MB + MC + MD = MA + MB − 2MC











  HD. Gọi G là ñiểm sao cho GA + GB + GC + GD = 0 (G là trọng tâm của tứ giác)

































 MA + MB + MC + MD = MA + MB − 2MC ⇔ 4.GM = CA + CB E 1





 ⇔ M thuộc ñường tròn tâm G bán kính R = CA + CB D 4 VD7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Một ñiểm M di ñộng thoả mãn:













 T = 4MA − MB − MC − MD Tìm tập hợp M sao cho T = a.







  M HD. Gọi I là ñiểm sao cho 4 IA − IB − IC − ID = 0 .


 Khi ñó T = - IM ⇒ a = T = IM. Suy ra M thuộc ñường tròn (I, a). Ta chỉ cần xác ñịnh I: Theo Theo KQUẢ2. với α = 4, β = −1, γ = −1, δ = −1
















 suy ra: AI = − ( AB + AC + AD ) = −2 AC = − AE 4. Các bài toán tương tự. 4.1. Cho tam giác ABC. Tìm ñiểm M thoả: Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự 10/2008 5 C A I B Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình












 + 2.MB + 3.MC = 4. AC a) MA












 b) MA − 4.MB + 5.MC = AC









  c) 2.MA − MB + 3.MC = 0 4.2. Cho


 tứ giác ABCD. Tìm ñiểm M thoả:













 − 2.MB + 3.MC − 4MD. = AB a) MA












 b) 2.MA + 3.MB − MD = −2. AC









 4.3. Cho tam giác ABC. Tìm ñiểm M ñể 3.MA + 2.MB − MC ñạt giá trị bé nhất. thực


k ≠ 1 . E, F thay ñổi sao cho: 4.4. Cho tam giác ABC và số








  EF = 2.EA − 3.EB + k .EC . Chứng minh rằng ñường thẳng EF luôn luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. k ≠ −5 . E, F thay ñổi sao cho: 4.5. Cho tam ABC và


số thực








 EF = 2.EA + 3.EB + k .EC . Chứng minh rằng ñường thẳng EF luôn luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. k. Tìm tập hợp các ñiểm M thoả: 4.6. Cho tam ABC và


 số thực






  MA + 2.MB + k .MC = 0 4.7. Cho tứ giác ABCD và số thực k. Tìm tập hợp các ñiểm M thoả:













 MA + 3.MB − MC = k MD Một số bài toán áp dụng tâm tỷ cự 10/2008 6