Nội dung

Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 MÔĐUN MORPHIC MORPHIC MODULE SVTH: Hà Thị Thu Sương Lớp 07CTT1, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm GVHD: ThS. Trương Công Quỳnh Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm TÓM TẮT Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của vành morphic và môđun. Hơn nữa một trường hợp tổng quát của vành này được xét đến đó là lớp vành  -morphic. Ngoài ra chúng tôi đưa ra khái niệm  -morphic môđun và đưa ra một số đặc trưng của lớp môđun. ABSTRACT In this topic, we study some properties of morphic ring and module. Moreover, a generlization of this class ring is considered that is  -morphic. On the other, we consider the definition “  -morphic” module and give some charactorzation of this class module. 1. Mở đầu Hiện nay có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu lý thuyết vành và môđun. Lý thuyết này làm phong phú thêm cho các cấu trúc cơ bản của Đại số. Một môđun trên một trường R là một R- không gian véctơ. Vì vậy người ta nghiên cứu R không phải là trường và không nhất thiết là giao hoán thì cấu trúc của R- môđun của nó như thế nào?. Một trong những năm vừa qua có nhiều đóng góp của lý thuyết vành và môđun. Chẳng hạn như kết quả của Osofsky chứng tỏ một vành là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi môđun xyclic là nội xạ. Mặt khác một vành được xem như là một môđun hai phía. Vì vậy khi người ta đưa ra khái niệm về môđun nào đó thì chúng ta cũng có khái niệm vành tương ứng. Tuy nhiên có nhiều khái niệm của vành không thể chuyển qua thành khái niệm của môđun. Như chúng ta được biết một kết quả của Erlich đã chỉ ra được một phần tử s  S=End(M) là chính quy đơn vị (một tự đẳng cấu  : M  M được gọi là chính quy đơn vị nếu    với  là tự đẳng cấu của M) nếu nó là chính quy (vành R được gọi là chính qui nếu mọi phần tử a của R thì tồn tại phần tử x ∈ R thỏa mãn axa = a) và M/(M)s  ker(s). Xuất phát từ định lý này mà Nicholson và Sanchez Campos đã nghiên cứu lớp các môđun thỏa điều kiện M/(M)s  ker(s) cho mỗi s  S=End(M). Lớp các môđun thỏa điều kiện này được gọi là Morphic. Cho R là một vành, phần tử a trong R được gọi là mophic nếu R/Ra  l(a). Vành này được gọi là morphic trái nếu mỗi phần tử là morphic. Và khái niệm morphic trái được mở rộng ra  - morphic trái. Để khắc phục vấn đề nhiều khái niệm của vành không thể chuyển qua thành khái niệm của môđun chúng tôi đưa ra một môđun M, phần tử s  End(M) được gọi là  - morphic nếu tồn tại n  N * sao cho M/ (M)sn  ker(sn). Môđun M được gọi là  - morphic nếu mỗi phần tử là  - morphic. Môđun này thỏa các tính chất của vành morphic và  - morphic. 459 Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 Trong nội dung đề tài này trước hết chúng ta làm rõ các tính chất của lớp môđun này và đồng thời đưa ra một trường hợp tổng quát của lớp môđun này. Cụ thể được trình bày trong nội dung đề tài: Nội dung đề tài gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Về môđun Morphic Chương 3: Về môđun và vành   Morphic 1.1. Chương 1. Kiến thức chẩn bị 1.1.1. Một số khái niệm về Môđun a. Định nghĩa môđun Trong toàn bộ đề tài này, chúng tôi kí hiệu RM để chỉ M là R-môđun trái. Tương tự MR là R-môđun phải. b. Đồng cấu môđun b.1. Định nghĩa. Cho A và B là hai R- môđun trái. Đồng cấu  từ A vào B đó là ánh xạ  : A  B thỏa : a1 , a2  A, r1 , r2  R : (r1a1  r2 a2 )   r1 (a1 )  r2 (a2 ) . b.2. Hạt nhân, ảnh của đồng cấu môđun Cho f :R LR M , Kerf  x  L /( x) f  0M   (0M ) f 1 là hạt nhân của đồng cấu f. Khi f đơn cấu thì Kerf=0, Imf  ( x) f / x  L  ( L) f là ảnh của đồng cấu f. c. Tích và tổng của môđun 1.1.2. Môđun nội xạ. Tiếp theo chúng tôi giới thiệu một số lớp môđun rất quan trọng trong lý thuyết vành kết hợp, đó là các lớp môđun nội xạ và xạ ảnh. Môđun RU được gọi là nội xạ theo RM (hay  RM và mọi R-đồng cấu f : RN   RU là M-nội xạ) nếu với mọi R-đơn cấu ι : RN   RU sao cho f = g · ι . RU đều tồn tại R-đồng cấu g : RM  Môđun RU được gọi là nội xạ nếu RU là M-nội xạ, với mọiR-môđun trái của M. Môđun xạ ảnh được định nghĩa một cách đối ngẫu. Một iđêan A của vành R được gọi là lũy linh phải nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho An = 0. A được gọi là nil nếu với mỗi a  A , tồn tại số nguyên dương n sao cho an = 0. 1.1.3. Các lớp vành khác. Phần tử a của vành R được gọi là chính quy nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương sau đây: i. Tồn tại phần tử x ∈ R thỏa mãn axa = a. ii. RR = aR  T với T là iđêan phải của R. iii. RR = Ra  L với L là iđêan trái của R. Vành R được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của R đều chính quy. Cho vành R và môđun RM, tập A  M, linh hóa tử trái của A trong R được kí hiệu 460 Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 lR(A) hay viết gọn là l(A) và được xác định như sau : l(a) = {r∈ R/ ra = 0, (  a∈ A)} Cho R-môđun M và L là lớp các môđun con nào đó của M. Ta nói L thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC: ascending chain condition) nếu mọi dãy tăng A1 ≤ A2 ≤ · · · ≤ An ≤ . . .các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại số nguyên dương n sao cho An = An+i với mọi i∈N. Định lý Erlich (xem [3]). Cho  là một tự đồng cấu của M. Khi đó  là chính quy đơn vị khi và chỉ khi  là chính quy và morphic. RR là đều nghĩa là mỗi iđêan trái của vành R cốt yếu trong RR. 1.2. Chương 2. Về môđun Morphic Bổ đề 2.1 (xem [3]). Những điều kiện sau là tương đương cho một tự đồng cấu  của môđun M : 1.  là morphic . 2. Tồn tại   end(M) sao cho (M)  = ker(  ) và ker(  ) = (M)  . 3. Tồn tại   end(M) sao cho (M)   ker(  ) và ker(  ) = (M)  . Định lý 2.2 (xem [3]). Những mệnh đề sau là tương đương cho một môđun M: 1. M là morphic. 2. Nếu M/K  N với K và N là môđun con của M thì M/N  K. Hệ quả 2.3 (xem [3]). Cho M là morphic và K  M. Nếu M  K thì K = M; nếu M  M/K thì K = 0. Bổ đề 2.4 (xem [5]): Những mệnh đề sau là tương đương cho một phần tử a  R : 1. a là morphic. 2. Tồn tại b  R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rb. 3. Tồn tại b  R sao cho Ra = l(b) và l(a)  Rb. Bổ đề 2.5 (xem [4]).Những mệnh đề sau là tương đương: 1. R là morphic trái. 2. Nếu L  R là tiêu chuẩn trái và R/L  Ra, a  R thì R/Ra  L . Mệnh đề 2.6 (xem [5]). Cho a  R là morphic. Khi đó những mệnh đề sau tương đương: 1. l(a) = 0 2. Ra = R 3. a  U. Bổ đề 2.9: Nếu M = K  N là morphic và X  K thì K/X  N  K  X  N. Bổ đề 2.10 (xem [3]). Nếu R M và R N là môđun morphic mà hom R (M,N) = 0 = hom R (N,M) thì M  N là morphic. Bổ đề 2.11 (xem [3]). Cho   End(M) 1.Theo Azumaya (1960),  là chính quy nếu và chỉ nếu cả M  và ker(  ) là tổng trực tiếp của M. 461 Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 2.Theo Erlich (1976),  là chính quy đơn vị nếu và chỉ nếu nó vừa là chính quy vừa là morphic. 1.3. Chương 3. Về môđun và vành  Morphic 1.3.1. Về vành  -Morphic. Bổ đề 3.1.1 (xem [3]). Cho R là một vành. Một phần tử a  R là  - morphic nếu và chỉ nếu tồn tại n  N * và b  R sao cho l( an )=Rb và l(b)=R an . Mệnh đề 3.1.2 (xem [1]). Cho R là một vành, và a  R là  - morphic. Khi đó những điều kiện sau là tương đương: 1. l(a) = 0. 2. Ra = R. 3. a  U(R). Bổ đề 3.1.4 (xem [1]). Cho R là một vành chính quy. Khi đó R là  - morphic nếu và chỉ nếu nó là  - chính quy đơn vị . Bổ đề 3.1.5 (xem[1]). Cho R là  - chính quy đơn vị. Khi đó S = R/I là  - chính quy đơn vị với mọi iđêan I của R. Bổ đề 3.1.6 (xem [1]). Cho R là  - morphic (hay G-morphic) thì R là  - P- nội xạ phải (GP-nội xạ phải). Định lý 3.1.8 (xem [1]). Cho R là  - morphic. Khi đó nó thỏa mãn những điều kiện sau: 1. Nếu r(a) = 0 thì a  U(R). 2. Z( R R)  J(R) và Z(RR)  J(R). 3. Nếu R R là đều thì R là địa phương và J(R)= Z( R R)={ a  R/a  U(R)} 4. Nếu RR là đều thì R là địa phương và J(R) =Z(RR)={ a  R/a  U(R)}. 1.3.2. Về môđun  -Morphic Định nghĩa 3.2.1. Cho M là một môđun. Phần tử s  End(M) được gọi là  - morphic nếu tồn tại n  N * sao cho M/(M)sn  ker(sn). Môđun M được gọi là  - morphic nếu mỗi phần tử của s  End(M) là  - morphic. Bổ đề 3.2.2. Cho M là một môđun, một phần tử s  End(M) là  - morphic nếu và chỉ nếu tồn tại n  N * và g  End(M) sao cho ker(sn) = (M)g và ker(g) = (M)sn. Mệnh đề 3.2.3. Cho M là một môđun, và s  End(M) là  - morphic trái. Những điều kiện sau là tương đương: 1. ker(s) = 0 2. (M)s = M 3. s  U(S), với s  End(M). Bổ đề 3.2.4. Cho S = End(M) là vành chính quy. Khi đó M là  - morphic nếu và chỉ nếu S là  - chính quy đơn vị. Ta có khái niệm sau: M được gọi là GQP-nội xạ nếu với mỗi s  S , tồn tại số nguyên dương n sao cho s n  0 và rS ( Kers n )  s n S . 462 Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 Mệnh đề 3.2.5. Cho S =End(M) là G-morphic phải thì M là GQP-nội xạ. 2. Kết luận Đề tài bao gồm 3 phần là mở đầu, nội dung và kết luận. Phần nội dung của đề tài được trình bày trong 3 chương. Trong chương1: trình bày những nội dung được sử dụng trong hai chương sau. Kết quả của đề tài nằm ở hai chương sau.Trong chương 2 và 3 chúng tôi nghiên cứu môđun M là một Morphic. Các tính chất về môđun morphic được chúng tôi trình bày lại (ở trong đề tài), trong phần này chúng tôi chứng minh tường minh hơn.Trong chương 3, phần đầu của chương chúng tôi nghiên cứu các tính chất về vành  - morphic (đã được trình bày trong tài liệu), phần thứ hai của chương này chúng tôi đưa ra khái niệm về môđun  -morphic, và đưa ra một số tính chất thỏa vành  - morphic. Hơn nữa qua nội dung đề tài chúng ta chứng thực được rằng vẫn có thể chuyển những khái niệm của vành qua môđun. Tuy nhiên trong đề tài này chỉ đưa ra được một vài trường hợp môđun  - morphic thỏa tính chất của vành  - morphic, còn nhiều tính chất khác em chưa làm được. Do khả năng còn hạn chế nên không thể thể hiện rõ hết nội dung được đề cập trong đề tài và những sai sót mong quý thầy cô đọc và bổ sung để đề tài được hoàn chỉnh. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Huang Q., Chen J.,  -Morphic, Kyungpook Math. J., 47, p. 363-372, 2007. [2] Lê Văn Thuyết. Bài giảng Lý thuyết vành và Môđun, Đại học Huế 2004. [3] Nicholson W. K., Campos E.Sánchez. Morphic Module, Comm. Algebra, 33(8), p. 2629-2647, 2005. [4] Nicholson W. K., Campos E.Sánchez. Principal rings with the dual of the isomorphism theorem, Glasgow Math. J., 46, p. 181-191, 2004. [5] Nicholson W. K., Campos E.Sánchez. Principal rings with the dual of the isomorphism theorem, J. Algebra, 271, p. 391-406, 2004. 463