Nội dung

MÔ PHỎNG MONTE CARLO BA CHIỀU ĐI-ỐT p-i-n BÁN DẪN GaAs CÓ TÍNH ĐẾN TƯƠNG TÁC COULOMB GẦN GIỮA ĐIỆN TỬ VÀ LỖ TRỐNG TRẦN THIỆN LÂN Học viên Cao học, Trường ĐHSP - Đại học Huế ĐINH NHƯ THẢO Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Bài báo này trình bày mô phỏng động lực học ba chiều của các hạt tải trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs có tính đến tương tác Coulomb gần giữa điện tử và lỗ trống. Chúng tôi tiến hành mô phỏng linh kiện ứng với các giá trị điện trường ngoài cao cỡ 70, 100 và 130 kV/cm. Kết quả mô phỏng chỉ ra rằng tương tác này cho đóng góp điện trường cỡ 106 V/m, bằng 1/10 điện trường toàn phần trong linh kiện. Kết quả cũng chỉ ra hiện tượng vượt quá vận tốc và giá trị vận tốc thu được sai khác không nhiều so với trường hợp không tính đến tương tác Coulomb gần. Điều đó chứng tỏ tương tác Coulomb gần có vai trò không đáng kể và có thể bỏ qua trong hầu hết các tính toán thông thường. 1 GIỚI THIỆU Mô phỏng là một trong những phương pháp hiệu quả để nghiên cứu linh kiện bán dẫn nano. Có nhiều phương pháp mô phỏng khác nhau, ví dụ: phương pháp kéo theo khuếch tán, phương pháp các phương trình cân bằng, phương pháp hàm Green. Trong quá trình mô phỏng ta cần tính toán sự phân bố điện thế trong linh kiện, mà biểu thị tương tác Coulomb xa và cũng chính là nghiệm của phương trình Poisson. Mô phỏng ba chiều (3D) đã được thực hiện trong nhiều tính toán khác và cho kết quả phù hợp tốt với thực nghiệm. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, tùy thuộc vào loại bài toán, người ta thường bỏ qua tương tác Coulomb gần giữa điện tử và lỗ trống do tính phức tạp của việc tính toán và do lực tương tác được dự đoán là khá nhỏ (cỡ 10−13 N). Trong trường hợp mật độ hạt tải cao lực tương tác Coulomb gần Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 04(12)/2009: tr. 21-28 22 TRẦN THIỆN LÂN - ĐINH NHƯ THẢO giữa các điện tử và lỗ trống sẽ nhận giá trị lớn. Có nhiều nhóm tác giả đã nghiên cứu mô phỏng một chiều đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs cũng như mô phỏng ba chiều nhưng chưa tính đến tương tác Coulomb gần giữa điện tử và lỗ trống [2, 3, 4, 5]. Bài báo này trình bày việc mô phỏng Monte Carlo ba chiều đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs có tính đến tương tác Coulomb gần. 2 TƯƠNG TÁC COULOMB GẦN GIỮA ĐIỆN TỬ VÀ LỖ TRỐNG Lực tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trống thường được chia thành hai phần, tương tác Coulomb gần và tương tác Coulomb xa [1]. Như đã đề cập ở trên, tương tác Coulomb xa đã được tính thông qua việc giải phương trình Poisson. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày phương pháp để tính phần đóng góp của tương tác Coulomb gần. Giới hạn của tương tác Coulomb gần nằm trong hình cầu có bán kính gần bằng độ dài Debye (λD ), giới hạn này là hệ quả của hiệu ứng chắn Coulomb. Thông thường, để tính tương tác Coulomb gần ta phải thực hiện hai vòng lặp lồng vào nhau, như vậy đối với bài toán gồm N hạt tải thì ta phải thực hiện đến N 2 vòng lặp. Cách làm đó sẽ làm tốn rất nhiều thời gian nếu giá trị của N là lớn. Hình vẽ 1: Điểm lưới chứa hạt đang xét (được đánh dấu bằng hình gạch chéo) và 26 điểm lưới bao quanh gần nhất. Để tránh khó khăn trên chúng tôi đã tiến hành chia linh kiện thành những ô lưới có độ dài cỡ bước sóng Debye. Để tính tương tác Coulomb gần cho một hạt đang cư trú gần một điểm lưới ta chỉ cần xét tương tác của nó với những hạt nằm quanh những điểm lưới lân cận gần nhất. Trong trường hợp ba chiều ta cần khảo sát 27 ô lưới nằm gần nhau tạo thành khối lập phương. Ý tưởng của phương pháp được minh họa trên hình vẽ 1. Giả sử rằng ta cần tính tương tác của một hạt ở trong ô lưới nằm tại trung tâm của hình lập phương (ô có gạch chéo). Ta cần tính tương tác của hạt này với tất cả các hạt khác nằm trong ô MÔ PHỎNG MONTE CARLO BA CHIỀU ĐI-ỐT p-i-n BÁN DẪN GaAs ... 23 lưới đó và trong 26 ô lưới nằm trên các mặt của khối lập phương bao quanh ô lưới đó. Hình vẽ 2: Giản đồ mô phỏng Monte Carlo ba chiều có tính đến tương tác Coulomb gần giữa điện tử và lỗ trống. Để đếm số hạt bao quanh các điểm lưới ta cần chạy một số vòng lặp tương ứng với số hạt. Ngoài ra, khi tính tương tác cho một hạt, ví dụ hạt thứ j, với những hạt lân P cận trong 27 ô lưới, số vòng lặp cần thực hiện sẽ là 27 i=1 nij , với nij là số hạt tại ô lưới thứ i gần hạt j. Vì vậy tổng số vòng lặp cần thực hiện khi tính tương tác cho N hạt là: N X 27 X Nite = N + nij . (1) j=1 i=1 Giả sử hạt phân bố đều trong linh kiện, tức là nij = N/Nx Ny Nz (với Nx Ny Nz là số điểm lưới của linh kiện) thì công thức (1) sẽ trở thành Nite = N + 27N 2 . Nx Ny Nz (2) Từ công thức (2) ta thấy rằng số vòng lặp phụ thuộc vào số hạt tham gia tương tác và cách chia lưới trong linh kiện. Nếu Nx Ny Nz càng lớn thì số vòng lặp càng nhỏ, thực tế là Nite nhỏ hơn nhiều so với N 2 . Vì vậy, phương pháp của chúng tôi tiết kiệm thời gian hơn rất nhiều so với cách tính thông thường. Chương trình mô phỏng Monte Carlo ba chiều có tính đến tương tác Coulomb hoạt động dựa trên sơ 24 TRẦN THIỆN LÂN - ĐINH NHƯ THẢO đồ khối được trình bày ở hình vẽ 2. Thủ tục con Coulomb được gọi sau thủ tục con Poisson để tính tương tác Coulomb gần giữa điện tử và lỗ trống. Thông tin về tương tác này sau đó được truyền đến thủ tục con Emcd để khảo sát các quá trình động lực học của hạt tải. 3 KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN Hình vẽ 3: Mô hình linh kiện đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs. Mô hình đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs có kích thước 440 nm × 100 nm × 100 nm. Chiều dài phần pha tạp loại n, loại p đều bằng 50 nm với mật độ pha tạp lần lượt là 2.5 × 1017 cm−3 và 0.5 × 1017 cm−3 . Linh kiện được chia thành những ô lưới với 89 điểm lưới dọc theo trục x và 21 điểm lưới dọc theo trục y và trục z. Tổng số điểm lưới có trong mô hình linh kiện là 39249. Đi-ốt được phân cực nghịch như hình vẽ 3. Trong tính toán này chúng tôi dùng giản đồ vùng năng lượng gồm các thung lũng Γ, L và X. Chúng tôi tiến hành mô phỏng động lực học ba chiều của hạt tải trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs bằng phương pháp Monte Carlo tập hợp tự hợp ba chiều có tính đến tương tác Coulomb gần giữa điện tử và lỗ trống. Cường độ điện trường áp vào linh kiện lớn hơn 70 kV/cm và mật độ hạt tải được kích thích quang khoảng 2.5 × 1017 cm−3 . Do kích thước của linh kiện là rất nhỏ nên số hạt mô phỏng thực sự chỉ là 580. Trong quá trình mô phỏng chúng tôi có thể thu được nhiều thông tin về hệ hạt tải, như là năng lượng và xung lượng trung bình, hoặc là sự phân bố của hạt tải trong linh kiện ở từng bước thời gian. Tuy nhiên chúng tôi chỉ khảo sát quá trình biến đổi của vận tốc của hạt tải theo thời gian và dựa vào đồ thị vận tốc để đánh giá chương trình mô phỏng. Chúng tôi thực hiện mô phỏng linh kiện ứng với các giá trị điện trường ngoài 70, 100 và 130 kV/cm. Thời gian chạy chương trình vào cỡ 1500 đến 2000 giây. Chương trình mô phỏng có tính đến tương tác Coulomb gần chạy chậm hơn 200 giây so với MÔ PHỎNG MONTE CARLO BA CHIỀU ĐI-ỐT p-i-n BÁN DẪN GaAs ... 7 VËn tèc cña ®iÖn tö [x 10 cm/s] 7 25 Cã tÝnh ®Õn t­¬ng t¸c Coulomb gÇn 6 Kh«ng tÝnh ®Õn t­¬ng t¸c 5 Coulomb gÇn 4 E = 70 [kV/cm] ex 3 2 1 0 0 50 100 150 200 250 Thêi gian [fs] Hình vẽ 4: Vận tốc trôi dạt của điện tử theo thời gian ứng với Eex = 70 kV/cm. 8 VËn tèc cña ®iÖn tö [x 10 7 cm/s] Cã tÝnh ®Õn t­¬ng t¸c 7 Coulomb gÇn 6 Kh«ng tÝnh ®Õn t­¬ng t¸c Coulomb gÇn 5 4 E = 100 [kV/cm] ex 3 2 1 0 0 50 100 150 200 250 Thêi gian [fs] Hình vẽ 5: Vận tốc trôi dạt của điện tử theo thời gian ứng với Eex = 100 kV/cm. chương trình mô phỏng chưa tính đến tương tác. Đây chính là khoảng thời gian máy tính sử dụng để tính tương tác Coulomb gần. Quan sát các hình vẽ 4, 5 và 6, ta thấy rằng đồ thị của vận tốc của điện tử theo thời gian luôn có một đỉnh vượt quá vào cỡ 6.5 × 107 đến 7.3 × 107 cm/s. Các hình vẽ trình bày kết quả trong cả hai trường hợp, có tính đến và không tính đến tương tác Coulomb gần. Đỉnh vượt quá vận tốc và dáng điệu của đồ thị của vận tốc theo 26 TRẦN THIỆN LÂN - ĐINH NHƯ THẢO 8 VËn tèc cña ®iÖn tö [x 10 7 cm/s] Cã tÝnh ®Õn t­¬ng t¸c 7 Coulomb gÇn 6 Kh«ng tÝnh ®Õn t­¬ng t¸c Coulomb gÇn 5 4 E = 130 [kV/cm] ex 3 2 1 0 0 50 100 150 200 250 Thêi gian [fs] Hình vẽ 6: Vận tốc trôi dạt của điện tử theo thời gian ứng với Eex = 130 kV/cm. thời gian gần như trùng nhau. Ngoài ra, vận tốc bão hòa trong cả hai trường hợp đều nhận giá trị cỡ 1 × 107 cm/s. Thêi gian [fs] 0 50 100 150 200 250 8 6 thung lòng L 0.8 VËn tèc tr«i d¹t cña ®iÖn tö 0.6 E = 100 [kV/cm] ex 5 4 3 0.4 2 0.2 1 0 0.0 0 50 100 150 200 [x10 Sù lÊp ®Çy cña ®iÖn tö Sù lÊp ®Çy cña ®iÖn tö ë VËn tèc tr«i d¹t cña ®iÖn tö 7 thung lòng 7 cm/s] Sù lÊp ®Çy cña ®iÖn tö ë 1.0 250 Thêi gian [fs] Hình vẽ 7: Sự lấp đầy các thung lũng Γ và L của điện tử (các đường không liền nét), và vận tốc trôi dạt của điện tử theo thời gian (đường liền nét) ứng với Eex = 100 kV/cm. Để giải thích được hiện tượng vượt quá vận tốc ta hãy quan sát hình vẽ 7. Trong MÔ PHỎNG MONTE CARLO BA CHIỀU ĐI-ỐT p-i-n BÁN DẪN GaAs ... 27 giai đoạn đầu của đồ thị, vận tốc của điện tử tăng do hạt nhận được năng lượng lớn từ điện trường. Trong giai đoạn sau, vận tốc của điện tử giảm do sự dịch chuyển liên thung lũng của điện tử từ thung lũng Γ sang thung lũng L. VËn tèc cña ®iÖn tö [x 10 7 cm/s] 8 E = 130 [kV/cm] E = 100 [kV/cm] E = ex 7 6 ex 5 ex 70 [kV/cm] 4 3 2 1 0 0 50 100 150 200 250 Thêi gian [fs] Hình vẽ 8: Vận tốc trôi dạt của điện tử theo thời gian ứng với Eex = 70 kV/cm, Eex = 100 kV/cm và Eex = 130 kV/cm. Hình vẽ 8 mô tả đồ thị vận tốc theo thời gian ứng với các giá trị điện trường 70, 100 và 130 kV/cm. Ta thấy rằng điện trường càng mạnh thì đỉnh vượt quá càng cao. Nguyên nhân là do điện tử nhận được năng lượng cao hơn khi có sự gia tốc của điện trường mạnh hơn. Trong trường hợp không tính đến tương tác Coulomb gần thì giá trị điện trường cực đại trong linh kiện vào cỡ 3.2 × 107 V/m. Tương tác Coulomb gần cho đóng góp vào giá trị điện trường cỡ 106 V/m. 4 KẾT LUẬN Chúng tôi đã tiến hành mô phỏng các quá trình động lực học ba chiều của hạt tải trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs có tính đến tương tác Coulomb gần giữa điện tử và lỗ trống. Thuật toán mà chúng tôi xây dựng cho phép tính tương tác gần với số vòng lặp nhỏ hơn nhiều so với cách làm thông thường. Kết quả thu được không sai khác nhiều so với những kết quả mô phỏng khi không tính đến tương tác Coulomb gần. Điều này cho thấy kết quả mô phỏng không bị ảnh hưởng nhiều bởi tương tác này. 28 TRẦN THIỆN LÂN - ĐINH NHƯ THẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hockney R. W. and Eastwood J. W. (1988), Computer Simulation Using Particles, Adam Hilger, Bristol and New York. [2] D. N. Thao, S. Katayama, and K. Tomizawa (2004), "Numerical simulation of THz radiation by coherent LO phonons in GaAs p-i-n diodes under high electric fields", Journal of the Physical Society of Japan, 73, pp. 3177-3181. [3] Thao D. N. (2004), Study on Monte Carlo technique for applying to high density carrier system in device structure, The Subtheme Ph.D. thesis, School of Materials Science, Japan Advanced Institute of Science and Technology, Japan. [4] D. N. Thao, S. Katayama, K. Tomizawa, P. P. N. Hoang, D. T. Chuong (2006), "Monte Carlo analysis of THz radiation by coherent LO phonon oscillations in some GaAs devices under high electric fields", Comm. Phys. Suppl., pp. 23-28. [5] Thao D. N. (2008), "Monte Carlo Simulation of THz Radiation from GaAs p-i-n Diodes under High Electric Fields Using an Extended Valley Model", Comm. Phys., 18 ,pp. 95-101. Title: 3D MONTE CARLO SIMULATION OF GaAs p-i-n DIODES TAKING INTO ACCOUNT THE NEAR COULOMB INTERACTION BETWEEN ELECTRONS AND HOLES Abstract: This paper presents 3D simulation of carrier dynamics in GaAs p-i-n diodes taking into account the near Coulomb interaction between electrons and holes. We carry out the device simulation with respect to various electric fields of 70, 100 and 130 kV/cm. The simulation results show that the interaction gives a correction of 106 V/m, equal to 1/10 the total electric field in the device. The results also show that the velocity overshoot and the velocities obtained are not so different from ones in the cases in which the near Coulomb interaction is ignored. This indicates that the near Coulomb interaction has an unimportant role and we can almost ignore it in usual calculations. TS. ĐINH NHƯ THẢO Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế. TRẦN THIỆN LÂN Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế.