Nội dung

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02. CÔNG THỨC LOGARITH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng 3) Các công thức về logarith (tiếp theo)
Công thức 5: log a bm = m.log a b , (5) Chứng minh: ( Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b ) m = a m.loga b Khi đó log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm log 2 27 = log 2 33 = 3log 2 3; log 5 36 = log 5 62 = 2log 5 6 Ví dụ 1: [ĐVH]. 1 log 2 4 32 = log 2 ( 32 ) 4 = 1 5 log 2 32 = 4 4 Ví dụ 2: [ĐVH]. −4 1 62.45 1 Ta có 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 + log 1 45 = log 1 = log 1 81 = log 1   = −4. 2 3 3 3 3 3 3 3 20 3 3 3 1 50 3 Ví dụ 3: [ĐVH]. log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 = log 5 25 = 2. 2 2 3 1 3 Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho biết log a b = ;log a c = Tính giá trị của log a x với 2 4 a 3b 2 c a) x = ............................................................................................................................................................... 4 2 a bc 3 ........................................................................................................................................................................................ b) x = ab3 a 3bc ..................................................................................................................................................... bc3 ........................................................................................................................................................................................
Công thức 6: log a n b = Chứng minh: ( ) Đặt log a n b = y ⇒ a n y 1 log a b , (6) n = b ⇔ a ny = b Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y = hay log a n b = 1 log a b n 1 log a b ⇒ dpcm n 1 log 2 16 = 2.4 = 8. 1 22 2 Ví dụ 1: [ĐVH]. 1 log 5 2 64 = log 1 64 = log 2 64 = 5.6 = 30. 1 25 5 m Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log an b m = log a b n 3 1 9 Ví dụ 2: [ĐVH]. log 3 5 4 125 = log 1 ( 53 ) 4 = 4 log 5 5 = ; log 2 1 4 53 3 log 2 16 = log 1 16 = ( 32 2 ) = log( ) ( 2 ) 11 2 2 3 = 11 log 3 2 2= 11 . 3 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị biểu thức A =
log 3 3 27 = log 3 3 (3 3 )  27 
log 1  5  = log − 1 3 2 3  9 
log 3  33   52 3 Facebook: LyHung95  27  log 3 3 27 + log 1  5  9 3  1 1 log 3 + log 1   81 3 3   4 . Hướng dẫn giải: 2 =2  1 13 13 26 = log 3 3 5 = −2. = − . 1  5 5  − 2 1 = log 1 3−4 = −4.2 log 3 3 = −8  →A= 81 32  27  log 3 3 27 + log 1  5  3  9  1 1 log 3 + log 1   81 3 3  log c b
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log a b = , (7) log c a Chứng minh: ( 4 26 5 = 4. = −8 + 4 5 2− ) Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b = log c b ⇒ dpcm log c a Nhận xét : + Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau log a b = log a c.log c b log b b 1 + Khi cho b = c thì (7) có dạng log a b = = . log b a log b a Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho: a) Cho log 2 14 = a  → A = log 2 49 = ? b) Cho log15 3 = a  → B = log 25 15 = ? Hướng dẫn giải: a) Ta có log 2 14 = a ⇔ a = log 2 ( 2.7 ) = 1 + log 2 7 ⇒ log 2 7 = a − 1. Khi đó A = log 2 49 = 2log 2 7 = 2 ( a − 1) . 1 1− a  log 3 5 = − 1 =  1 1  a a b) Ta có log15 3 = a ⇔ a = =  → a log 3 15 1 + log 3 5 log 3 = 5 1− a  1 1 log 3 15 1 1 B = log 25 15 = = a = a =  →B = . log 3 25 2log 3 5 2 1 − a 2 (1 − a ) 2 (1 − a ) a Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho log a b = 3. Tính a) A = log b a b . a b) B = log ab b . a Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có log a b = 3 ⇒ log b a = a) A = log b a b = log a b a b − log b a 1 a= 3 . 1 1 − =  b  b  log log b   log a    a   a  b 1 b − log a b − log a 1 b − log Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! a a = Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG = Facebook: LyHung95 1 1 1 1 3 −1 3 −1 − = − =  →A= . 1 − 2log b a log a b − 2 1 − 2 3 −2 3−2 3 −2 3 b 2 log a  b log a b − 1 b 3 −1 a Cách khác: Ta có được A = log b = log = = 2   = log b =  b  b a log log a b − 2 a 3−2    a  a2 a a 2  a  a b 1 1 1 1 b) B = log ab − = − . = log ab b − log ab a = a log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log b a b 1 1 1 1 2 3 −1 2 3 −1 − = − =  →B = . 1 1 1 + log a b 1 1 1+ 3 3 + 1 3 + 1 log b a + + 2 2 2 3 2 b2 2 log a 2 b  b  b a = 2log a b − 1 = 2 3 − 1 . Cách khác: Ta có B = log ab = log = log ab = 2   ( ab )  a  a log a ab 1 + log a b a 1+ 3 Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị của các biểu thức sau : 1 log 2 3 + 3 log 5 5  14 − 12 log9 4 log125 8  log 7 2 1+ log 4 5 2 + 25 a)  81 b) 16 +4  .49   1 log 7 9 − log 7 6  − log 4  c) 72  49 2 d) 36log 6 5 + 101− lg 2 − 3log9 36 +5 3    Hướng dẫn giải: 1 1 1 1 1 2 .3log5 2    − log9 4   4 − log 4  2log 23  3  log 4 a)  814 2 + 25log125 8  .49log7 2 = ( 3)  4 2 9  + 5 53  72log7 2 =  31− log3 4 + 5 3  7 7 =  + 4  4 = 19 4         = 1 log2 3+3log5 5 b) 161+log4 5 + 4 2 = 42(1+log4 5) + 2log2 3+6log5 5 = 16.25 + 3.26 = 592  1 log7 9− log7 6 1 − log 4   9 c) 72  49 2 + 5 5  = 72 7 log7 9− 2 log7 6 + 5−2 log5 4 = 72  +  = 18 + 4,5=22,5  36 16    log6 5 log9 36 log6 25 1−lg2 log5 d) 36 +10 −3 = 6 +10 = 25+ 5 = 30 Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính giá trị của các biểu thức sau : 1 a) A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 b) B = 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 2 3 3 3 ( 1 c) C = log 36 2 − log 1 3 2 6 ) d) D = log 1 ( log 3 4.log 2 3) 4 Hướng dẫn giải: 15.18 1 3 a) A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 = log 9 = log 9 33 = log 3 33 = 10 2 2 1  36.45  2 4 b) B = 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1   = log 1 9 = − log 3 3 = −4 2 20  3 3 3 3  3 1 1 1 1 1 c) C = log 36 2 − log 1 3 = log 6 2 + log 6 3 = log 6 2.3 = 2 2 2 2 2 6 1 1 d) D = log 1 ( log 3 4.log 2 3) = − log 4 ( log 2 3.log 3 4 ) = − log 4 ( log 2 4 ) = − log 2 2 = − 2 2 4 Ví dụ 5: [ĐVH]. Hãy tính : 1 1 1 1 a) A = + + + .......... + log 2 x log 3 x log 4 x log 2011 x b) Chứng minh : log a b + log a x + log ax ( bx ) = 1 + log a x ( x = 2011!) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! = Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG + Facebook: LyHung95 k ( k + 1) 1 1 1 + + ......... + = log a x log a2 x log ak x 2 log a x Hướng dẫn giải: a) A = 1 1 1 1 + + + .......... + = log x 2 + log x 3 + ... + log x 2011 = log x 1.2.3...2011 = log x 2011! log 2 x log 3 x log 4 x log 2011 x Nếu x = 2011! Thì A= log 2011! ( 2011!) = 1 log a b + log a x 1 + log a x log a bx log a b + log a x Ta có log ax bx = = ⇒ đpcm. log a ax 1 + log a x b) Chứng minh : log ax ( bx ) = Chứng minh : k ( k + 1) 1 1 1 + + ......... + = log a x log a2 x log ak x 2 log a x VT = log x a + log x a 2 + ...log x a k = (1 + 2 + 3 + ... + k ) log x a = k (1 + k ) 2log a x = VP Ví dụ 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng : a) Nếu : a 2 + b 2 = c 2 ; a > 0, b > 0, c > 0, c ± b ≠ 1 , thì log c + b a + log c −b a = 2 log c + b a.log c −b a b) Nếu 0 3b > 0; a 2 + 9b 2 = 10ab 2 b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 1, ta có : b c +) log 2a = log a2 c b +) log a b.log b c.log c a = 1 c a b +) Trong ba số : log 2a ;log 2b ;log 2c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1 b c a b c a Hướng dẫn giải: a) Từ giả thiết a > 3b > 0; a + 9b = 10ab ⇔ a − 6ab + 9b 2 = 4ab ⇔ ( a − 3b ) = 4ab 2 2 2 Ta lấy log 2 vế : 2log ( a − 3b ) = 2log 2 + log a + log b ⇔ log ( a − 3b ) − log 2 = b) Chứng minh : log 2a 2 1 ( log a + log b ) 2 b c = log a2 . c b Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG −1 b c b  c = log a   = − log a ⇒ log a2 =  − log a c b b c    * log a b.log b c.log c a = 1 ⇔ log a b.log b a = log a a = 1 * Thật vậy : log a Facebook: LyHung95 2 c 2 c  = log a b b 2 c a b  b c a * Từ 2 kết quả trên ta có log log 2b log 2c =  log a .log b log c  = 1 b c c a a c a a b  bc Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1 2 a b Ví dụ 10: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau: a) log 6 3.log 3 36 = ...................................................................... b) log 3 8.log 4 81 = ...................................................................... 1 .log 25 3 2 = ................................................................. 5 Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho log a b = 7. Tính a a) A = log a b . b3 c) log 2 b) B = log b 3 ab 2 . a Ví dụ 12: [ĐVH]. Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho: 49 a) Cho log 25 7 = a; log 2 5 = b  → P = log 3 5 =? 8 b b) Cho log ab a = 2  → Q = log ab =? a
Công thức 8: a logb c = c logb a , (8) Chứng minh: ( Theo công thức (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c Ví dụ 1: [ĐVH]. 49log7 2 = 2log7 49 = 22 = 4; ( 2) log 2 27 = 27 log 2 ) logb a = c logb a ⇒ dpcm 1 2 = 27 2 = 3 3... Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = 36log6 5 + 3 log3 4 − 3log9 36 = .......................................................................................................... 32 − log3 2.4 2 = ............................................................................................................................. 27 log3 4 c) C = 81log3 5 + 27 log9 36 + 34log9 7 = ......................................................................................................... log 3 b) B = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!