Nội dung

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích trong không gian KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ (Phần 2) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;3; 2) và mặt phẳng ( ) : x  2 y  2  0. Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng ( ). Lời giải: Giả sử M ( x0 ; y0 ; z0 ) . Khi đó ta có: ( x0  1) 2  y02  z02  x02  ( y0  1) 2  z02  x02  ( y0  3) 2  ( z0  2) 2   ( x0  1) 2  y02  z02  x02  ( y0  1) 2  z 02    x02  ( y0  1) 2  z02  x02  ( y0  3) 2  ( z 0  2) 2  2 ( x0  1) 2  y02  z02  ( x0  2 y0  2)  5 x0  2 y0  2 5 (1) (2) (3)  y0  x0 Từ (1) và (2) suy ra  .  z0  3  x0  x0  1  M (1; 1; 2)  Thay vào (3) ta có 5(3 x  8 x0  10)  (3 x0  2)    23 23 14  x0  23  M ( ; ;  ).  3 3 3  3 2 0 2 Bài 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5;3;  1), P(2;3;  4) . Tìm tọa độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng ( ) : x  y  z  6  0. Lời giải: Giả sử N ( x0 ; y0 ; z0 ) . Vì N  ( )  x0  y0  z0  6  0 (1)  MN  PN MNPQ là hình vuông  MNP vuông cân tại N      MN .PN  0 ( x0  5)2  ( y0  3)2  ( z0  1)2  ( x0  2)2  ( y0  3)2  ( z0  4)2   2  ( x0  5)( x0  2)  ( y0  3)  ( z0  1)( z0  4)  0   x0  z0  1  0  2  ( x0  5)( x0  2)  ( y0  3)  ( z0  1)( z0  4)  0 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt (2) (3) Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích trong không gian  y0  2 x0  7 Từ (1) và (2) suy ra  .  z0   x0  1  x0  2, y0  3, z0  1  N (2; 3;  1) Thay vào (3) ta được x02  5 x0  6  0   hay  .  N (3; 1;  2)  x0  3, y0  1, z0  2 7 5 Gọi I là tâm hình vuông  I là trung điểm MP và NQ  I ( ;3;  ) . 2 2 Vậy: Nếu N (2;3  1) thì Q(5;3;  4). Nếu N (3;1;  2) thì Q(4;5;  3). Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (6;-2;3); B (2;-1;3); C (4;0;-1). a. Chứng minh rằng: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A. b. Tìm m và n để điểm M (m + 2; 1; 2n + 3) thẳng hàng với A và C. Lời giải:      a. Ta có : AB  (4;1;0); BC  (2;1; 4)   AB, BC   (4; 16; 6)  0  A, B, C không thẳng hàng  A, B, C là 3 đỉnh của tam giác    AB, BC  2 33    AH  d  A, BC   BC 3   b. M  m  2; 1; 2n  3  AM  (m  4;3;2n) cùng phương với AC  2(1; 1; 2)  m  4 3 2n    m  1; n  3 1 1 2 Bài 4. Cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2z 1  0 và các đường thẳng d1 : x 1 y  3 z   , 2 3 2 x 5 y z 5   . Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng 6 4 5 MN cách (P) một khoảng bằng 2. d2 : Lời giải: Gọi M 1  2t;3  3t;2t  , N  5  6t ';4t '; 5  5t ' d  M ;  P   2  2t 1  1  t  0; t  1. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích trong không gian  Trường hợp 1: t  0  M 1;3;0  , MN  6t ' 4;4t ' 3; 5t ' 5      MN  nP  MN.nP  0  t '  0  N 5;0; 5  Trường hợp 2: t  1  M 3;0;2  , N  1; 4;0   x  1  2t  Bài 5. Tìm hình chiếu H của M(2,-2,1) lên đường thẳng (d ) :  y  1  t  z  2t  Lời giải:  x0  1  2t0  Gọi tọa độ của H là ( x0 , y0 , z0 ) , thì  y0  1  t0  z  2t 0  0  Ta có MH  (1  2t0  2; 1  t0  1;2t0 1)  (2t0 1, t0 , 2t0 1)  Véc tơ chỉ phương của (d) là u (2, 1, 2)   MH .u  0  2(2t0 1)  t0  2(2t0 1)  0  9t0  4  0  t0  4 / 9 17 13 8 Vậy H ( , , ) 9 9 9 Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 3 -