Nội dung

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN SƠN TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP BẰNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. VŨ ĐỖ LONG Hà nội - 2017 Mục lục 1 Một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh phẳng 1.1 Sơ lược nội dung và phương pháp của hình học xạ ảnh . . 1.1.1 Một số dạng hình học cơ bản trong mặt phẳng . . . . . . 1.1.2 Phương pháp nghiên cứu hơnh học xạ ảnh . . . . . . . . 1.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất . . . . . 1.2.1 Tỉ số kép của bốn phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa các hàng điểm và giữa các chứm đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Nghiên cứu ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất bằng tọa độ Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Phép biến đêi xạ ảnh trên một dạng cấp một, bậc nhất . 1.3 Các đường cong bậc hai và lớp bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Một số đành lờ cơ bản liên quan đến đường cong bậc hai, lớp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai, lớp hai . 1.4 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp hai . . . . . . . . . . . 1.4.1 Phép cộng tuyến giữa hai trường điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Tọa độ xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Bổ sung phần tử ả o vào mặt phẳng xạ ả nh thực . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Phép đối x ạ, nguyên tắc đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Cực và đối cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp 4 4 4 5 5 5 6 7 9 10 10 11 15 15 15 17 17 18 19 19 2.1 Một số bài toán chứng minh đồng quy song song, thẳng hàng 2.2 Một số bài toán chứng minhđại lượng không đổi hoặc chứng minh đẳng thức liên quan đến độ dài đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Bài toán chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định. 2.4 Bài toán quỹ tích và hình bao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Một số bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 42 45 51 2.6 Một số tính chất Euclide đặc trưng của phép biến đổi xạ ảnh eliptic trên đường thẳng và đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Một số cách tiếp cận và mở rộng hình học xạ ảnh . . . . . 2.7.1 Dùng hình học afin để nghiên cứu hình học Euclid . . . . 2.8. Dùng hình học afin và hình học Euclide . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Giải một số bài toán của hình học xạ ảnh. . . . . . . . . . . . 2.8.2 Phát hiện sự kiện mới của hình học xạ ảnh. . . . . . . . . . . . . . 2.9 Mở rộng định lý Steiner và định lý Fre'gier. . . . . . . . . . . . . . . Kết luận Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 56 59 59 68 68 70 77 83 84 Mở đầu Hình học xạ ảnh là môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính. Nhiều định lý hình học nổi tiếng cũng như nhiều bài toán hình học hay trở nên đơn giản dưới góc nhìn của hình học xạ ảnh. Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh là công cụ hữu hiệu trong việc nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh năng khiếu về hình học ở trường phổ thông. Mục đích của luận văn này là trình bày một số khái niệm trong mặt phẳng xạ ảnh ảnh của mặt phẳng afin, Euclide và đặc biệt là ứng dụng hình học xạ ảnh để định hướng cho lời giải sơ cấp của các bài toán hình học. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1. Cơ sở lí thuyết hình học xạ ảnh phẳng. Trong chương này, tác giả trình bày tóm lược các kiến thức cơ sở về mặt phẳng xạ ảnh và các khái niệm xạ ảnh nghịch đảo, xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất và bậc hai, ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai. Ngoài ra để khai thác được nhiều ứng dụng của hình học xạ ảnh, tác giả sử dụng mô hình xạ ảnh afin, Euclide có bổ sung các phần tử vô tận. Chương 2. Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp. Đây là chương chính của luận văn trình bày về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và mô hình của mặt phẳng xạ ảnh afin, Euclide vào việc chứng minh một số định lý và giải bài toán hình học sơ cấp thông qua các ví dụ được chọn và phân loại thành những dạng toán khác nhau, mục này cũng đề xuất và chứng minh một tính chất đặc trưng của phép biến đổi xạ ảnh eliptic trên đường thẳng và trên đường tròn. Phần cuối của chương trình bày mở rộng định lí Steiner, Fre'gier . Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo rất tận tình của PGS.TS Vũ Đỗ Long. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy về sự giúp đỡ quý báu này. Nhân đây tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Nguyễn Vũ Lương, Đỗ Thanh Sơn đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình thực hiện luận văn này. Mặc dù bản thân đã có cố gắng nhiều trong quá trình thực hiện nhưng luận văn không thể trách khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự chỉ bảo, góp ý của các quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Xin chân trọng cảm ơn. Hà Nội, tháng 1 năm 2017 Người viết luận văn: Nguyễn Văn Sơn 3 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh phẳng 1.1 Sơ lược nội dung và phương pháp của hình học xạ ảnh Hình học xạ ảnh chuyên nghiên cứu các tính chất xạ ảnh của các hình, tức là các tính chất bất biến qua phép chiếu xuyên tâm (xem mục 1.2.2), chẳng hạn như tương quan đồng quy, thẳng hàng, tính chất chia điều hòa, tính suy biến hay không suy biến của đường bậc hai, ... Các khái niệm được xét trong các định lí của hình học xạ ảnh cũng đều là những khái niệm xạ ảnh, chẳng hạn như điểm, đường thẳng, tam giác, tứ giác toàn phần, đường cong bậc hai, tỉ số kép, ... Trong hình học xạ ảnh, người ta thường nghiên cứu những ánh xạ từ một tập hợp đối tượng (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) này sang một tập hợp đối tượng khác. Các tập hợp đối tượng đó được gọi là những dạng. 1.1.1 Một số dạng hình học cơ bản trong mặt phẳng 1. Các dạng cấp một bậc nhất Định nghĩa 1.1.1. Hàng điểm thẳng là tập hợp tất cả các điểm cùng thuộc một đường thẳng. Đường thẳng này được gọi là giá của hàng điểm. Mỗi giá có thể chứa nhiều hàng điểm khác nhau. Định nghĩa 1.1.2. Chùm đường thẳng là tập hợp tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng và cùng đi qua một điểm. Điểm này được gọi là giá (hay tâm) của chùm. Mỗi giá có thể chứa nhiều chùm đường thẳng khác nhau. 2. Các dạng cấp hai 4 Định nghĩa 1.1.3. Trường điểm là tập hợp tất cả các điểm cùng thuộc một mặt phăng đã cho. Mặt phẳng này được gọi là giá của trường. Một giá có thể chứa nhiều trường điểm khác nhau. Định nghĩa 1.1.4. Trường đường thẳng là tập hợp tất cả các đường thẳng cùng thuộc một mặt phăng đã cho. Mặt phẳng này được gọi là giá của trường. Một giá có thể chứa nhiều trường đường thẳng khác nhau. 1.1.2 Phương pháp nghiên cứu hình học xạ ảnh Để nghiên cứu hình học xạ ảnh, có thể dùng những khái niệm và tính chất không xạ ảnh của những hình học khác (hình học afin, hình học Euclide,...) làm phương tiện hoặc nghiên cứu độc lập. Theo cách thứ nhất, ta xem những tính chất xạ ảnh là một bộ phận lẫn vào trong những tính chất khác của hình học afin và hình học Euclide, sau đó sử dụng kiến thức của những hình học này để nghiên cứu, sau cùng, ta thể hiện các kết quả thu được dưới dạng xạ ảnh để được những kết quả của hình học xạ ảnh. Theo cách thứ hai, ta xây dựng hình học xạ ảnh thành một môn độc lập, hoàn toàn không dùng gì đến các tính chất không xạ ảnh làm phương tiện. Mỗi cách nói trên đều có những ưu điểm riêng, cách thứ nhất thì tự nhiên (phù hợp với lịch sử phát triển của hình học) và gần gũi với toán phổ thông hơn, còn cách thứ hai thì lại khoa học hơn và tiện lợi hơn. Những kiến thức được trình bày trong chương này là theo đường lối thứ nhất. 1.2 1.2.1 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất Tỉ số kép của bốn phần tử Định nghĩa 1.2.1. Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng trên đường thẳng ∆. CA và Trên ∆ ta chọn một đơn vị dài và một hướng dương. Tỉ số giữa hai tỉ số CB DA được gọi là tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D và được ký hiệu DB là (ABCD). Như vậy (ABCD) = CA DA (ABC) : = (ABD) CB DB 5 Nếu tỉ số kép (ABCD) = −1 thì ta nói cặp điểm C, D chia điều hòa cặp điểm A, B. Khi đó ta cũng nói bốn điểm A, B, C, D lập thành một hàng điểm điều hòa, hay cặp điểm A, B và cặp điểm C, D liên hợp điều hòa với nhau. Định nghĩa 1.2.2. Cho bốn đường thẳng a, b, c, d đồng quy tại điểm O. Khi đó một cát tuyến biến thiên, cắt chùm bốn đường thẳng đó tại bốn điểm A, B, C, D có tỉ số kép không đổi. Tỉ số kép không đổi này được gọi là tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng đã cho, ký hiệu là (abcd) hay (OA, OB, OC, OD). Nếu tỉ số kép (abcd) = −1 thì ta nói cặp đường thẳng c, d chia điều hòa cặp đường thẳng a, b. Khi đó ta cũng nói bốn đường thẳng a, b, c, d lập thành một chùm điều hòa, hay cặp đường thẳng a, b và cặp đường thẳng c, d liên hợp điều hòa với nhau. Định lí 1.2.1. Trên mỗi đường chéo của tứ giác toàn phần, hai đỉnh đối diện chia điều hòa hai giao điểm của đường chéo đó với hai đường chéo còn lại. Định lí 1.2.2. Tại mỗi điểm chéo của một hình bốn đỉnh toàn phần, hai cạnh chia điều hòa hai đường thẳng nối điểm chéo đó với hai điểm chéo còn lại. 1.2.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa các hàng điểm và giữa các chùm đường thẳng Định nghĩa 1.2.3. Cho hai đường thẳng d, d0 cắt nhau tại điểm I và một điểm S nằm ngoài hai đường thẳng đó. Với mỗi điểm M thuộc d, ta cho ứng với điểm M 0 thuộc d0 sao cho S, M, M 0 thẳng hàng. Tương ứng đó là một song ánh từ d lên d0 , nó được gọi là phép chiếu xuyên tâm, với tâm S, từ d lên d0 . Định nghĩa 1.2.4. Cho hai chùm đường thẳng tâm O và O0 và một đường thẳng s không đi qua O, O0 . Với mỗi đường thẳng m thuộc chùm (O), ta cho tương ứng với đường thẳng m0 của chùm (O0 ) sao cho s, m, m0 đồng quy. Tương ứng đó là một song ánh từ chùm (O) lên chùm (O0 ), nó được gọi là phép chiếu xuyên trục, với trục s, từ chùm (O) lên chùm (O0 ). Định nghĩa 1.2.5. Một song ánh giữa hai dạng cấp một được gọi là một ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo toàn tỉ số kép. Theo định nghĩa trên thì phép chiếu xuyên tâm và phép chiếu xuyên trục đều là những ánh xạ xạ ảnh. Phép chiếu xuyên tâm và phép chiếu xuyên trục được gọi chung là ánh xạ phối cảnh. Sau đây là một số tính chất cơ bản của ánh xạ xạ ảnh và ánh xạ phối cảnh. Định lí 1.2.3. Mọi ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆0 giữa hai đường thẳng ∆, ∆0 với ∆ 6= ∆0 là tích của hai phép chiếu xuyên tâm. 6 Định lí 1.2.3’. Mọi ánh xạ xạ ảnh f : O −→ O0 giữa hai chùm đường thẳng tâm O, O0 với O 6= O0 là tích của hai phép chiếu xuyên trục. Định lí 1.2.4. Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng phân biệt trở thành một phép chiếu xuyên tâm là giao điểm của hai đường thẳng đó tự ứng. Định lí 1.2.4’. Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng phân biệt trở thành một phép chiếu xuyên trục là đường thẳng đi qua hai tâm của chúng tự ứng. Định lí 1.2.5. Cho ba điểm phân biệt A, B, C bất kỳ trên đường thẳng ∆ và ba điểm phân biệt A0 , B 0 , C 0 bất kỳ trên ∆0 . Tồn tại duy nhất ánh xạ xạ ảnh f biến A, B, C theo thứ tự thành A0 , B 0 , C 0 . Định lí 1.2.5’. Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c bất kỳ thuộc chùm (O) và ba đường thẳng phân biệt a0 , b0 , c0 bất kỳ thuộc chùm (O0 ). Tồn tại duy nhất ánh xạ xạ ảnh f biến a, b, c theo thứ tự thành a0 , b0 , c0 . 1.2.3 Quan hệ ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất bằng tọa độ Descartes Trong hình học xạ ảnh người ta thường dùng một loại tọa độ riêng, đó là tọa độ xạ ảnh. Trong mục này ta sẽ dùng tọa độ Descartes thông thường làm công cụ trung gian để nghiên cứu một số tính chất của ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất. Tuy nhiên ở đây, đường thẳng Euclide đã được bổ sung một điểm xa vô tận mà ta gán cho hoành độ ∞ (−∞ hay +∞ cũng chỉ một điểm xa vô tận của đường thẳng đó). Định lí 1.2.6. Cho hai điểm M, M 0 lần lượt nằm trên hai trục ∆, ∆0 có hoành độ tương ứng là x, x0 . Điều kiện cần và đủ để có một ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆0 là giữa x và x0 có một liên hệ nhất biến: x0 = ax + b , ad − bc 6= 0 cx + d (1.1) Từ (1.1) ta sẽ thiết lập đặc trưng Euclide - đặc trưng hình học về lượng theo nghĩa Euclide của ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng, từ đó ta có thể vận dụng được vào một lớp bài toán hình học sơ cấp. Trước hết ta đưa ra định nghĩa sau về điểm giới hạn. Định nghĩa 1.2.6. Cho ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆0 . Gọi J 0 là điểm của hàng ∆0 , ứng với điểm xa vô tận trên hàng điểm ∆ và gọi I là điểm của hàng ∆, ứng với điểm xa vô tận trên hàng điểm ∆0 . Hai điểm I, J 0 được gọi là hai điểm giới hạn. 7 Hệ thức sau đây thể hiện đặc trưng về lượng của ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng. Định lí 1.2.7. Cho ánh xạ xạ ảnh f : ∆ −→ ∆0 , M 7−→ M 0 . Nếu chọn các điểm giới hạn I, J 0 tương ứng trên ∆, ∆0 làm gốc hoành độ thì ta luôn có IM .J 0 M 0 = const (1.2) Như vậy trong mô hình afin hay mô hình Euclide của mặt phẳng xạ ảnh, bất biến xạ ảnh (tỉ số kép) được diễn tả bằng một bất biến về lượng thông qua độ dài của đoạn thẳng. Từ đây ta có thể áp dụng vào việc phát hiện và chứng minh những hệ thức có dạng AM .A0 M 0 là một hằng số (khi cặp điểm M, M 0 chuyển động trên hai đường thẳng nào đó). Trường hợp đặc biệt khi hai điểm giới hạn I, J 0 đều ở xa vô tận, hàm nhất biến (1.1) trở thành hàm bậc nhất b a x0 = x + d d Do đó nếu hai điểm M1 (x1 ), M2 (x2 ) có ảnh tương ứng là M10 (x01 ), M20 (x02 ) thì ta có M10 M20 a (1.3) = = const. d M1 M2 Định lí 1.2.8. Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng trở thành một ánh xạ đồng dạng là cả hai điểm giới hạn đều ở xa vô tận. Dựa vào định lí này ta có thể đề xuất những bài toán chứng minh một hệ thức không đổi có dạng (1.3). Tuy nhiên muốn đặt ra những bài toán chứng minh một hệ thức không đổi có dạng (1.3) hoặc có dạng (1.2) ta cần có một tiêu chuẩn nhận biết một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm. Định lí 1.2.9. Nếu từ mỗi điểm M của một đường thẳng (hàng điểm) ∆, ta xác định được điểm M 0 trên đường thẳng (hàng điểm) ∆0 bằng những phép dựng hình sao cho i) Giữa M và M 0 có một liên hệ một đối một (kể cả phần tử ảo nếu có), nói cách khác là, ánh xa f : ∆ −→ ∆0 , M 7−→ M 0 là một song ánh. ii) Các đường và mặt dùng trong các phép dựng hình để xác định cặp điểm tương ứng M, M 0 là những đường và mặt đại số. Khi đó ánh xạ f : ∆ −→ ∆0 , M 7−→ M 0 là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng. Các định lí 1.2.6 và 1.2.9 cũng đúng đối với hai chùm đường thẳng (đối ngẫu của hai hàng điểm). 8 Định lí 1.2.10. Cho hai đường thẳng m, m0 lần lượt thuộc chùm tâm O, O0 và có hệ số góc tương ứng là k, k 0 . Điều kiện cần và đủ để có một ánh xạ xạ ảnh f : O −→ O0 là giữa k và k 0 có một liên hệ nhất biến: k0 = 1.2.4 ak + b , ad − bc 6= 0 ck + d Phép biến đổi xạ ảnh trên một dạng cấp một, bậc nhất 1. Phân loại các phép biến đổi xạ ảnh trên một dạng cấp một, bậc nhất Định nghĩa 1.2.7. Một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng cùng giá d (tương ứng, giữa hai chùm cùng tâm (O)) được gọi là một phép biến đổi xạ ảnh (hay biến hình xạ ảnh) của đường thẳng d (tương ứng, của chùm (O)). Vì hai hàng cùng giá hay hai chùm cùng tâm nên có thể xảy ra trường hợp hai phần tử tương ứng trùng nhau. Những phần tử đó được gọi là những phần tử kép (hay phần tử bất động). Định nghĩa 1.2.8. Ta gọi một phép biến đổi xạ ảnh của đường thẳng (hay của một chùm đường thẳng) là thuộc loại hybebolic, parabolic hay eliptic tùy theo nó có hai, một hay không có điểm (hay đường thẳng) bất động thực nào. Trường hợp phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic, tuy không có phần tử bất động nào thực, ta bảo rằng nó có hai điểm (hay đường thẳng) ảo liên hợp. 2. Một số tính chất đặc trưng Định lí 1.2.11. Trong một phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic của đường thẳng, hai điểm bất động cùng với cặp điểm tương ứng tạo thành bốn điểm có tỉ số kép không đổi. Định lí 1.2.11’. Trong một phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic của một chùm đường thẳng, hai đường thẳng bất động cùng với hai đường thẳng tương ứng tạo thành bốn đường thẳng có tỉ số kép không đổi. Định lí 1.2.12. Điều kiện cần và đủ để một phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic trên một đường thẳng trở thành một biến đổi đồng dạng là một trong hai điểm bất động ở vô tận. Định lí 1.2.13. Trong một phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic của đường thẳng ∆ luôn tồn tại hai điểm đối xứng nhau qua ∆ sao cho từ mỗi điểm đó luôn nhìn đoạn thẳng M M 0 nối cặp điểm tương ứng M, M 0 bất kỳ dưới một góc định hướng không đổi. 9