Nội dung

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THẠC DŨNG HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Thạc Dũng - Người thầy đã luôn bên tôi động viên, chỉ dạy và giúp đỡ tận tình để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này. Thật khó có thể nói hết sự quan tâm lớn lao mà thầy đã dành cho tôi trong suốt thời gian qua. Thầy không quản ngại không gian, thời gian cũng như vật chất, dành hết tâm huyết cho công việc, không ngừng mong mỏi học trò của mình lĩnh hội được nhiều kiến thức. Thầy quả là một người thầy mẫu mực, là tấm gương sáng để lớp lớp thế hệ học trò chúng tôi noi theo. Qua đây, tôi cũng xin phép được gửi lời cảm ơn tới tập thể các thầy cô Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi cảm ơn gia đình, cảm ơn bạn bè, cảm ơn tất cả mọi người đã luôn quan tâm, góp ý, giúp đỡ cho tôi. Trong quá trình làm luận văn, mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do thực tế sức khỏe không được tốt, kiến thức còn hạn chế lại thêm hoàn cảnh khá đặc biệt nên luận văn khó tránh khỏi có thiếu sót. Tôi kính mong quý thầy cô cùng các bạn bổ sung, góp ý những ý kiến quý báu để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng, tôi xin kính chúc quý thầy cô cùng các bạn sức khỏe, hạnh phúc và thành đạt! Chúc một năm mới an khang, thịnh vượng! Hà Nội, tháng 12 năm 2015. i Mục lục Phần mở đầu 1 1 Một số kiến thức về giải tích phức nhiều biến 4 1.1 1.2 Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Miền giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp Kähler . . . . . . . . 7 2 Cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn 11 2.1 Ước lượng cận dưới của λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Ước lượng cận trên của λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Giá trị cực đại của λ1 trên một vài miền đặc biệt . . . . . . 30 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 ii Phần mở đầu Cho (M n , g) là một đa tạp Kähler n chiều với metric Kähler g= n X gij dzi ⊗ dz j . i,j=1 Giả sử n X ∂2 ∆g = −4 g ∂zi ∂z j i,j=1 ij là toán tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric g . Ở đây ta dùng ký h it  −1 hiệu g ij = gij . Khi đó, cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami được xác định bởi   n  Z X  ∞ ij ∂f ∂f λ1 (∆g , M ) = inf 4 dVg : f ∈ C0 (M ), kf kL2 = 1 g  M  ∂zi ∂z j i,j=1 trong đó dVg là dạng thể tích trên M tương ứng với metric Kähler g . Bài toán đặt ra là tính giá trị λ1 hoặc cho một đánh giá về λ1 . Tất nhiên việc đánh giá này là phụ thuộc vào đa tạp M và metric Kähler g . Người ta đã chứng minh được rằng khi M là đa tạp compact và ∆g là toán tử elliptic đều thì λ1 (∆g ) là giá trị riêng dương đầu tiên của ∆g với điều kiện biên Dirichlet. Việc nghiên cứu λ1 có nhiều ứng dụng trong các bài toán hình học và vật lý. Chẳng hạn, với các giả thiết về độ cong 1 phù hợp và giả thiết về λ1 có cận dưới phù hợp, Li-Wang-Munteanu-KongZhou đã chỉ ra rằng khi đó đa tạp phải có dạng hình học đặc biệt (xem [6, 10, 11, 12, 17]). Trước hết ta chú ý rằng λ1 (∆g ) có thể không phải là giá trị riêng của ∆g . Ví dụ, nếu M là một không gian hyperbolic phức thì λ1 (∆g ) không phải là giá trị riêng của ∆g . Tuy nhiên, nó là cận dưới của phổ dương của ∆g . Tổng quát hơn khi M là đa tạp Kähler không compact thì λ1 (∆g ) không còn chắc là giá trị riêng của ∆g dù đa tạp đó có thể là đa tạp đầy. Khi M là một đa tạp đầy không compact, đã có nhiều người nghiên cứu bài toán đánh giá cho λ1 (∆g ) mà điển hình là các công trình của Li và Wang ([10]). Với giả thiết độ cong song nhát cắt chỉnh hình của M bị chặn dưới bởi −1, họ đã chứng minh rằng λ1 (∆g ) ≤ n2 . Đánh giá của họ là chặt và đẳng thức đạt được khi M là không gian hyperbolic phức. Sau đó Munteanu ([17]) đã chứng minh được một cách tốt hơn rằng λ1 (∆g ) ≤ n2 chỉ với giả thiết độ cong Ricci của M bị chặn dưới bởi −2(n + 1). Ước lượng của Munteanu là chặt và dấu đẳng thức đạt được đối với không gian hyperbolic phức. Luận văn này trình bày một cách chi tiết các kết quả chính trong bài báo của Song-Ying Li và My-An Tran ([16]). Nội dung chính của luận văn là đưa ra các ví dụ về đa tạp Kähler đầy đủ mà đối với chúng giá trị chính xác của λ1 có thể tính toán được. Nói một cách cụ thể, ta sẽ ước lượng chính xác λ1 (∆u ) trên các miền D là miền giả lồi bị chặn trong Cn với ∂ 2u metric Kähler uij dzi ⊗ dz j , trong đó uij = với u là hàm đa điều ∂zi ∂z j hòa dưới chặt, vét cạn miền D. Trong trường hợp tổng quát, khi D là miền 2 giả lồi bị chặn thì việc tính được chính xác giá trị của λ1 (∆u ) là rất phức tạp. Vì thế, chúng ta cần phải đưa vào những điều kiện phụ khác nhau đối với hàm u vét cạn trên D. Nhờ các điều kiện đó, chúng ta sẽ xấp xỉ cận trên và cận dưới của λ1 bằng cách xây dựng các hàm đặc biệt và tiến hành phân tích trên miền con của D. Luận văn bao gồm hai chương. Trong chương mở đầu, tôi nhắc lại một vài kiến thức cơ bản về hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi và toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp Kähler. Trong chương hai, tôi xét ước lượng cận dưới và cận trên của cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử LaplaceBeltrami. Ước lượng cận dưới được xét trong mục 2.1, ước lượng cận trên được trình bày trong mục 2.2. Đặc biệt, trong mục 2.2 tôi đưa ra một cách chứng minh khác cho Định lý 2.2. Chứng minh này là mới và đơn giản hơn so với chứng minh trong bài báo gốc. Trong mục 2.3, tôi đưa ra các ước lượng của cận dưới nhỏ nhất của phổ trên các miền giả lồi đặc biệt với metric Kähler-Einstein và metric Bergman. 3 Chương 1 Một số kiến thức về giải tích phức nhiều biến 1.1 1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi Hàm đa điều hòa dưới Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω là một miền trong Cn , u : Ω → R là một hàm thuộc lớp C 2 . Khi đó u được gọi là hàm đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu n X ∂ 2u (z)ξi ξ j ≥ 0 ∀z ∈ Cn , ξ = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ Cn . ∂zi ∂z j i,j=1 Do uij = ∂ 2u = 0 sao cho u − |z|2 là một hàm đa điều hòa dưới. Vì vậy, nếu u là một hàm đa điều hòa dưới (chặt) thì ma trận Hessian phức (uij )của nó là một ma trận Hermit và xác định dương (chặt). Chú ý rằng nếu u là một hàm đa điều hòa dưới chặt thì (uij ) khả nghịch và u−1 = (uij )t cũng là một ma trận Hermit và xác định dương chặt. Ví dụ. Xét không gian phức C2 , cho u(z, w) = |z|2 + |w|2 và v(z, w) = |z|2 + |w|2 với (z, w) ∈ C2 . Khi đó, u là hàm đa điều hòa dưới chặt còn v là hàm đa điều hòa dưới. Thật vậy, dễ thấy u, v là các hàm trơn, hơn nữa, ma trận Hessian phức của u và v lần lượt là   1 0   Hu (z, w) =   = I2 ,   0 1   1 0    và Hv (z, w) =  .   0 |w|2 5 Cả hai ma trận trên đều là Hermite. Ma trận Hu là xác định dương chặt và Hv là xác định dương. 1.1.2 Miền giả lồi Cho Ω ⊂ Rn là một tập con mở. Ta nói rằng Ω có biên lớp C k , k ≥ 2 nếu tồn tại một lân cận U của ∂Ω và một hàm r lớp C k xác định trên U sao cho 1. Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0}. 2. dr 6= 0 trên ∂Ω trong đó với mọi z ∈ ∂Ω n X ∂r dr(z) = (z)dxj . ∂x j j=1 Định nghĩa 1.3. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Cn , n ≥ 2 và r là một hàm xác định trên D. D được gọi là miền giả lồi hay miền giả lồi Levi tại p ∈ ∂Ω nếu dạng Levi n X ∂ 2r Lp (r, ξ) = (p)ξi ξ j ≥ 0 ∂z ∂z i j i,j=1 ∀ξ ∈ Tp(1,0) (∂Ω). Ω được gọi là miền giả lồi chặt tại p nếu dạng Levi xác định dương chặt ∀ξ 6= 0. Ω là miền giả lồi chặt nếu Ω là miền giả lồi chặt tại mọi điểm của nó. Ví dụ. Xét không gian phức C2 và hình cầu đơn vị B2 = {(z, w) ∈ C2 : |z|2 + |w|2 < 1}. Khi đó B2 là miền giả lồi chặt. Thật vậy, ta có thể chọn hàm xác định của ∂B2 là hàm r(z, w) = |z|2 + |w|2 − 1. Hàm này là hàm đa điều hòa dưới chặt tại mọi điểm (z, w) ∈ ∂B2 . 6