Nội dung

1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là trung thực, mới, đã được công bố trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước. Các kết quả này chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một tạp chí nào khác. Các kết quả viết chung với GS. TSKH Đỗ Đức Thái, GS. Pascal J. Thomas, PGS. TS Nguyễn Văn Trào, TS. Ninh Văn Thu và ThS. Chử Văn Tiệp đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Nghiên cứu sinh: Mai Anh Đức 2 LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ dạy tận tình của GS. TSKH Đỗ Đức Thái. Nhân dịp này, tôi xin được kính gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Bộ môn Hình học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Sau Đại học và Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi sớm hoàn thành luận án của mình. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Bộ môn Đại số - Hình học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Lý - Tin, Ban Giám hiệu Trường Đại học Tây Bắc đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi yên tâm học tập và nghiên cứu. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Tin thuộc Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Khoa Toán - Lý Tin thuộc Trường Đại học Tây Bắc; các thành viên seminar Hình học phức thuộc Khoa Toán - Tin và seminar Đại số Giao hoán - Hình học phức Phương pháp giảng dạy thuộc Khoa Toán - Lý - Tin; các đồng nghiệp, anh em, bạn bè đã khích lệ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu, học tập và công tác. Nghiên cứu sinh: Mai Anh Đức. 3 MỤC LỤC Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Danh mục các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 1. Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miền kiểu Hartogs 1.1 18 Không gian hyperbolic modulo và taut modulo một tập con giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Tính hyperbolic modulo S × Cm của miền ΩH (X) . . . . . . . . 23 1.3 Tính taut modulo S × Cm của miền ΩH (X) . . . . . . . . . . . 28 Chương 2. Đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗ )2 37 2.1 Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức . 37 2.2 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong Cn . . . . . . . . . . . 47 2.3 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong (C∗ )2 . . . . . . . . . . 50 Chương 3. Nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân 58 3.1 Ví dụ về trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt thực nhẵn 58 3.2 Không gian vectơ thực của các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình 64 Kết luận và Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Danh mục công trình công bố của tác giả . . . . . . . . . . . . 79 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • N, Z, Q, R, C: tương ứng là tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỷ, tập số thực, tập số phức. • Ω: Một miền trong Cn . • Aut(Ω): Nhóm tự đẳng cấu của miền Ω. • Hol(X, Y ): Không gian các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X vào không gian phức Y được trang bị tôpô compact mở. • cX : Giả khoảng cách Caratheodory trên không gian phức X. • dX : Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. • Dr := {z ∈ C : |z| < r}: Đĩa mở bán kính r trong C, ta kí hiệu D1 bởi D. • ρ(a, b) := log |1−ab|+|a−b| |1−ab|−|a−b| , với mọi a, b ∈ D: Khoảng cách Poincare trên D. • ds2F S : Metric Fubini-Study trên Pn (C). • a . b có nghĩa là tồn tại hằng số C > 0, không phụ thuộc vào các tham số sao cho a ≤ Cb. • a & b có nghĩa là tồn tại hằng số C > 0, không phụ thuộc vào các tham số sao cho a ≥ Cb. • a ≈ b có nghĩa là tồn tại các hằng số C1 > 0, C2 > 0 không phụ thuộc vào các tham số sao cho C1 b ≤ a ≤ C2 b. • ΩH (X): Miền kiểu Hartogs. 5 • Ωϕ (X): Miền Hartogs. • (M, p): Mầm các siêu mặt thực nhẵn lớp C 1 tại p ∈ Cn . • hol0 (M, p): Không gian vectơ thực gồm tất cả các mầm trường vectơ chỉnh hình (H, p) triệt tiêu tại p và tiếp xúc với M. • (X, p): Mầm trường vectơ nhẵn trên M . • (H, p): Mầm trường vectơ chỉnh hình trong Cn . 6 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vào những năm 60 của thế kỷ trước, nhà toán học Nhật Bản Shoshichi Kobayashi đã xây dựng trên mỗi không gian phức một giả khoảng cách bất biến đối với các tự đẳng cấu chỉnh hình. Giả khoảng cách đó ngày nay được gọi là giả khoảng cách Kobayashi. Khi giả khoảng cách Kobayashi trên một không gian phức trở thành khoảng cách thì không gian phức đó được gọi là không gian phức hyperbolic. Tính hyperbolic của không gian phức cho phép chúng ta tiếp cận đến nhiều tính chất hình học của không gian phức. Ta thấy, tính hyperbolic của không gian phức thực chất là kiểm soát tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại hai điểm bất kỳ của không gian đó. Vì thế, một vấn đề tự nhiên được đặt ra là: Ta có thể thu được những tính chất hình học như thế nào trong trường hợp ta không thể kiểm soát được tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại một số cặp điểm? Từ ý tưởng trên, S. Kobayashi đã đề xuất khái niệm không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ông và một vài tác giả sau này đã nghiên cứu vấn đề trên và thu được nhiều kết quả đẹp đẽ. Tuy nhiên, chúng ta biết chưa nhiều ví dụ cụ thể về không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ngoài ra, những kết quả của M. Zaidenberg, J. Noguchi về giả thuyết Mordell trong tình huống compact và không compact cho chúng ta thấy rõ tầm quan trọng của việc nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích. Từ lý do trên, luận án đặt ra vấn đề đầu tiên là nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs. Nói thêm rằng miền Hartogs là trường hợp đặc biệt của miền kiểu 7 Hartogs và là một đối tượng cơ bản, quen thuộc của giải tích phức nhiều biến. Những kết quả của luận án về chủ đề này sẽ góp phần để hiểu rõ hơn những tính chất hình học của miền Hartogs. Một ứng dụng quan trọng của tính hyperbolic đó là, tính hyperbolic cho phép chúng ta kiểm soát hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong một đa tạp phức khi dãy đĩa đó tiến ra "vô cùng" (tức là tiến ra "biên" của đa tạp). Đã có nhiều kết quả đẹp của các nhà toán học trong và ngoài nước về chủ đề này như: L. Zalcman, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Trào.... Hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong đa tạp phức còn cho phép chúng ta tiếp cận đến một số vấn đề của Hệ động lực học phức nhiều biến. Trong việc nghiên cứu chủ đề này, nghiên cứu tính Zalcman của không gian phức là một vấn đề rất quan trọng. Đặc biệt, giả thuyết về tính Zalcman của Cn khi n ≥ 2 cho đến nay vẫn là một câu hỏi mở. Vì thế vấn đề thứ hai được nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗ )2 . Chúng tôi hy vọng rằng cách tiếp cận của chúng tôi về vấn đề này sẽ cho phép chúng ta giải quyết được giả thuyết về tính Zalcman đã nói ở trên. Như chúng ta đã biết, hình học theo quan điểm KLEIN là hình học của các nhóm biến đổi. Vì thế một bài toán cổ điển trong hình học đó là mô tả các tự đẳng cấu của một lớp đa tạp nào đó. Trong phần cuối của luận án, dưới góc độ của hình học phức hyperbolic, chúng tôi giải quyết vấn đề thứ ba của luận án đó là mô tả tường minh các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C2 . Với tất cả những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là: "Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các CR-tự đẳng cấu vi 8 phân". Chúng tôi hy vọng rằng những kết quả đạt được của luận án sẽ góp phần giúp chúng ta hiểu rõ hơn các đặc trưng hình học của các không gian phức. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là: Đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo và tính taut modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs. Đưa ra câu trả lời cho giả thuyết về tính Zalcman của không gian phức Cn . Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của các siêu mặt kiểu vô hạn thông qua không gian vectơ các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án gồm các không gian phức, miền kiểu Hartogs, siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C2 . Phạm vi nghiên cứu của đề tài đó là tính hyperbolic modulo, tính taut modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs; tính Zalcman của không gian phức; trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình của siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C2 . 4. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp và kỹ thuật truyền thống của Giải tích phức, Hình học phức,.... 5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài Luận án đạt được một số kết quả sau: 9 Vấn đề 1: Nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs. Định lý 1.2.4: Giả sử X là không gian phức và S là một tập con giải tích của X. Khi đó ΩH (X) là hyperbolic modulo S × Cm nếu và chỉ nếu X là hyperbolic modulo S và hàm H thỏa mãn điều kiện sau: Nếu {xk }k≥1 ⊂ X \ S với lim xk = x0 ∈ X \ S và {wk }k≥1 ⊂ Cm với lim wk = w0 6= k→∞ k→∞ 0, thì lim sup H(xk , wk ) 6= 0. k→∞ Định lý 1.3.1: Giả sử X là một không gian phức và S là một tập con giải tích trong X. Khi đó i. Nếu ΩH (X) là taut modulo S × Cm thì X là taut modulo S và log H là đa điều hòa dưới, liên tục trên (X \ S) × Cm . ii. Đặc biệt hơn, nếu X là không gian phức liên thông bất khả quy địa phương và S là tập con giải tích (thực sự) thì log H là đa điều hòa dưới trên X × Cm . iii. Ngược lại, nếu X là taut modulo S, H là liên tục trên (X \ S) × Cm và log H là đa điều hòa dưới trên X × Cm thì ΩH (X) là taut modulo S × Cm . Vấn đề 2: Nghiên cứu đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗ )2 . Định lý 2.2.3: Cn (n ≥ 2) không là kiểu E-giới hạn đối với bất kỳ hàm độ dài E trên Cn . Định lý 2.3.1: (C∗ )2 không là kiểu ds2F S -giới hạn, ở đây ds2F S là metric Fubini-Study trên P2 (C). Ngoài ra, luận án còn đưa ra một tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức compact 10 với metric Hermit tùy ý. Định lý 2.1.9: Giả sử Ω là một miền trong C và X là một không gian phức compact với metric Hermit E. Giả sử S là một siêu mặt phức trong X và đặt M = X \ S. Giả sử F ⊂ Hol(Ω, M ). Khi đó họ F là không chuẩn tắc nếu và chỉ nếu tồn tại dãy {pj } ⊂ Ω với pj → p0 ∈ Ω khi j → ∞, {fj } ⊂ F, {ρj } ⊂ R với ρj > 0 và ρj → 0+ khi j → ∞ sao cho gj (ξ) := fj (pj + ρj ξ), ξ ∈ C thỏa mãn một trong hai khẳng định sau: (i) Dãy {gj } phân kỳ compact trên C; (ii) Dãy {gj } hội tụ đều trên các tập con compact của C tới một đường cong E-Brody không hằng g : C → M . Vấn đề 3: Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một lớp các siêu mặt thực trong C2 . Định lý 3.2.4: Giả sử (M, 0) là một mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C 1 tại 0 được xác định bởi phương trình ρ(z) := ρ(z1 , z2 ) = Rez1 + P (z2 ) + Imz1 Q(z2 , Imz1 ) = 0, trong đó P, Q thoả mãn các điều kiện sau: (1) P, Q nhẵn lớp C 1 với P (0) = Q(0, 0) = 0, (2) P (z2 ) > 0 với bất kỳ z2 6= 0 (3) P (z2 ), P 0 (z2 ) phẳng tại z2 = 0. Khi đó dimR hol0 (M, 0) ≤ 1. 6. Cấu trúc luận án Luận án bao gồm ba chương, được viết dựa trên bốn công trình đã được đăng và nhận đăng trên các tạp chí trong và ngoài nước. Cụ thể: