Nội dung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM --- --- HỒ THỊ BÌNH NGHIÊN CỨU KHẢ NĂNG HIỂU CỦA HỌC SINH VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA HÀM SỐ VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN KIÊM MINH Huế, Năm 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả Hồ Thị Bình ii Lời Cám Ơn Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Trần Kiêm Minh, người đã nhiệt tình hướng dẫn tận tình chu đáo và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạmHuế, Phòng đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoaToán, đặc biệt là các thầy cô thuộc chuyên nghành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy và truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai năm học vừa qua. Tôi cũng xin chân thành cám ơn tập thể lớp 12B1 trường THPT Phan Châu Trinh, thành phố Đông Hà,tỉnh Quảng Trị đã tạo điều kiện cho tôi thực nghiệm thực trên thực tế. Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô trong nhà trường, tổ chuyên môn Toán - Tin trường THPT Phan Châu Trinh đã tạo điều kiện cho tôi đi học. Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè của tôi luôn ủng hộ, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này. Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng dẫn và góp ý. Chân thành cám ơn! Huế, tháng 5 năm 2015 Học viên Hồ Thị Bình iiiiii MỤC LỤC Trang phụ bìa ............................................................................................... i Lời cam đoan ............................................................................................... ii lời cám ơn .................................................................................................. iii Mục lục ......................................................................................................... 1 Danh mục bảng ............................................................................................ 3 Danh mục hình ............................................................................................ 4 LỜI GIỚI THIỆU ....................................................................................... 5 Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................... 8 1.1. Sơ lược lịch sử khái niệm đạo hàm .................................................... 8 1.2. Khái niệm đạo hàm trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam. 12 1.3. Tổng quan về các nghiên cứu về dạy học đạo hàm ......................... 19 1.4. Ghi nhận và đặt vấn đề ..................................................................... 20 Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ............................................................. 22 2.1. Hình ảnh khái niệm (concept image) và định nghĩa khái niệm (concept definition) ................................................................................. 22 2.2. Đối ngẫu quy trình/khái niệm và lý thuyết APOS ........................... 22 2.3. Khái niệm ba phạm vi toán học và sự phát triển tư duy toán học của học sinh ............................................................................................ 25 2.4. Tư duy toán học trong ngữ cảnh đạo hàm ....................................... 26 2.5. Hệ thống biểu đạt ký hiệu của Duval ............................................... 29 2.6. Câu hỏi nghiên cứu .......................................................................... 30 Chương 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU ................................................... 31 3.1. Ngữ cảnh và mục tiêu ...................................................................... 31 3.2. Phương pháp nghiên cứu.................................................................. 31 3.3. Phiếu học tập .................................................................................... 31 3.3.1. Nội dung phiếu học tập ............................................................. 31 3.3.2. Phân tích tiên nghiệm ................................................................ 32 3.4. Phỏng vấn ......................................................................................... 41 1 Chương 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU .................................................... 42 4.1. Định hướng phân tích kết quả nghiên cứu ....................................... 42 4.2. Phân tích khả năng hiểu của học sinh về khái niệm đạo hàm trong các hệ thống biểu đạt khác nhau ............................................................. 42 4.3. Phân tích khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm trong các thể thức và hệ thống biểu đạt khác nhau .................. 51 Chương 5. KẾT LUẬN ............................................................................. 69 5.1. Trả lời và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu ............................... 70 5.2. Vận dụng .......................................................................................... 70 5.3. Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài ............... 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 72 PHỤ LỤC ................................................................................................... P1 2 DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1. Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đạo hàm. ........ 18 Bảng 4.1. Kết quả định lượng của bài 3 ...................................................... 44 Bảng 4.2. Kết quả định lượng bài 6 và bài 7............................................... 47 Bảng 4.3. Kết quả định lượng bài 1 ............................................................ 53 Bảng 4.4. Kết quả định lượng bài 10 .......................................................... 53 Bảng 4.5. Kết quả định lượng bài 2 ............................................................ 56 Bảng 4.6. Kết quả định lượng bài 4 ............................................................ 59 3 DANH MỤC HÌNH Hình 2.1. Sơ đồ minh họa lý thuyết APOS ................................................. 24 Hình 2.2. Ba phạm vi biểu đạt toán học (Tall, 2013).................................. 26 Hình 4.1. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 3 ............................... 45 Hình 4.2. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 6 ............................... 47 Hình 4.3. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 7 ............................... 48 Hình 4.4. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 9 ............................... 50 Hình 4.5. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 1 ............................... 54 Hình 4.6. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 10 ............................. 55 Hình 4.7. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 2 ............................... 57 Hình 4.8. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 4 ............................... 60 Hình 4.9. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 5 ............................... 62 Hình 4.10. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 8 ............................. 64 Hình 4.11. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 11 ........................... 65 Hình 4.12. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 12 ........................... 66 Hình 4.13. Hình ảnh học sinh làm bài 1...................................................... 67 Hình 4.14. Hình ảnh học sinh làm bài tập 3 ................................................ 68 4 LỜI GIỚI THIỆU Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất và cũng là công cụ nền tảng của Giải tích toán học. Trong chương trình môn Toán ở bậc THPT, khái niệm đạo hàm cùng với các khái niệm giới hạn và tích phân tạo thành phân môn Giải tích, và thường được giảng dạy ở các lớp cuối cấp và ở bước chuyển thể chế THPT/Đại học. Nắm vững nội dung và ý nghĩa của khái niệm đạo hàm là nền tảng để tiếp thu các nội dung của các môn học như Vật lý, Hóa học, Sinh học… Nghiên cứu về dạy học đạo hàm ở Phổ thông và Đại học đã được rất nhiều tác giả quan tâm từ lâu (Tall and Vinner, 1981,[35]; Vinner and Dreyfus, 1989,[40]; Tall, 1991,[36]; Artigue, 1990,[6]; Aspinwall, Shaw & Presmeg, 1997,[8]; Asiala, Cottrill, Dubinsky & Schwingendorf, 1997; Zandieth, 2000,[41] ; Stahley, 2001,[34]; Habre & Abboud, 2006 ,[22]; Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2009[32]; Ubuz, 2007,[39]; Villegas, Castro & Gutiérrez, 2009 ; Teuscher & Reys, 2012,[31]; Nagle, Moore-Russo,[32]; Viglietti & Martin, 2013; Aydin & Ubuz, 2014). Tuy mỗi nghiên cứu đều tập trung tìm hiểu một khía cạnh liên quan đến dạy học khái niệm đạo hàm, nhưng hầu hết đều thừa nhận rằng khái niệm đạo hàm là một trong những khái niệm khó đối với học sinh. Khó khăn đầu tiên là khả năng hiểu khái niệm đạo hàm trong các ngữ cảnh và phạm vi khác nhau (vật lý, hình học, giải tích) liên quan đến các khái niệm tốc độ thay đổi và độ dốc của tiếp tuyến (Moore-Russo,[32]; Conner & Rugg, 2011; Teuscher & Reys, 2012,[38]; Nagle, Moore-Russo,[24], Viglietti & Martin, 2013). Một khó khăn khác mà nhiều học sinh gặp phải khi học khái niệm đạo hàm là khả năng hiểu khái niệm đạo hàm, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các hệ thống biểu đạt khác nhau (Artigue, 1990,[6]; Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2006; Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2008). Học sinh có thể hiểu nghĩa của khái niệm đạo hàm trong thể thức hình học (độ dốc của tiếp tuyến), đồ thị (hệ số góc của tiếp tuyến), giải tích (biểu thức), ngữ cảnh vật lý (tốc độ thay đổi tức thời) nhưng lại gặp khó khăn khi kết nối các thể thức và hệ thống biểu đạt này. Chẳng hạn, học sinh có thể vẽ đồ thị 5 của một hàm đạo hàm, nhưng lại gặp khó khăn khi liên kết đồ thị này với biểu thức giải tích của hàm số tương ứng (Asiala, Cottrill, Dubinsky & Schwingendorf, 1997). Trong xu hướng này, một số tác giả quan tâm đến nghiên cứu việc hiểu định tính mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó (Aspinwall, Shaw & Presmeg, 1997,[8]; Stahley, 2001,[34]; Habre & Abboud, 2006,[22]; Ubuz, 2007,[39]). Tuy nhiên, các nghiên cứu này chủ yếu tập trung phân tích mối liên hệ định tính giữa hàm số và đạo hàm trong thể thức đồ thị và với đối tượng là sinh viên các năm đầu Đại học. Trong chương trình môn Toán hiện hành ở Việt Nam, học sinh tiếp cận khái niệm đạo hàm bắt đầu từ lớp 11. Nhìn chung, chương trình và SGK chủ yếu tập trung vào khái niệm đạo hàm trong phạm vi giải tích, học sinh chủ yếu làm việc trên các biểu thức giải tích của hàm số và thực hiện các phép tính về đạo hàm. Có khá ít bài toán đề cập đến khái niệm đạo hàm trong các ngữ cảnh khác nhau, và đặc biệt mối liên hệ định tính giữa một hàm số và đạo hàm (cấp 1, cấp 2) của nó ít được đề cập. Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu khả năng hiểu khái niệm đạo hàm của học sinh THPT, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các phạm vi và hệ thống biểu đạt khác nhau như hình học, đồ thị, giải tích, ngôn ngữ, bảng biến thiên… Chúng tôi một mặt tập trung vào nghiên cứu khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm trong cùng một hệ thống biểu đạt, nhưng mặt khác cũng nhấn mạnh khả năng kết nối và chuyển đổi qua lại giữa các phạm vi và hệ thống biểu đạt đó. Theo Duval (2006), những khả năng kết nối và chuyển đổi như vậy là cơ bản để đạt được việc hiểu sâu sắc một đối tượng toán học. Trong nghiên cứu này, chúng tôi hướng đến các mục tiêu là:  Xem xét khả năng hiểu của học sinh bậc THPT (lớp 12) về khái niệm đạo hàm.  Phân tích khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó trong các phạm vi và và hệ thống biểu đạt khác nhau (hình học, đồ thị, giải tích, bảng biến thiên, ngôn ngữ). Luận văn này gồm 5 chương: 6 + Chương 1: Đặt vấn đề. Trong chương này chúng tôi giới thiệu sơ lược lịch sử khái niệm đạo hàm, tổng quan các nghiên cứu về dạy học đạo hàm, khái niệm đạo hàm,ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam. Các phân tích lịch sử, tổng quan nghiên cứu cho phép chúng tôi đặt ra khi nghiên cứu việc hiểu khái niệm đạo hàm của học sinh THPT, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các thể thức và hệ thống biểu đạt khác nhau . + Chương 2: Cơ sở lý thuyết. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khung lý thuyết tham chiếu để làm cơ sở khoa học bao gồm : hình ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm, đối ngẫu quy trình/ khái niệm và lý thuyết APOS, khái niệm ba phạm vi toán học và sự phát triển tư duy học sinh, hệ thống biểu đạt ký hiệu của Duval, xây dựng khung lý thuyết phân tích việc hiểu khái niệm đạo hàm. Chúng tôi mô tả và phân tích làm rõ khung lý thuyết này để đặt ra nghiên cứu việc hiểu khái niệm đạo hàm của học sinh THPT, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các thể thức và hệ thống biểu đạt khác nhau . Dựa trên khung lý thuyết này, chúng tôi đã cụ thể hóa mục tiêu nghiên cứu thành các câu hỏi nghiên cứu. Khung lý thuyết này cũng cho phép chúng tôi phân tích và diễn giải dữ liệu thực nghiệm ở các chương sau. + Chương 3: Thiết kế nghiên cứu. Chương này trình bày về ngữ cảnh, mục tiêu và phương pháp nghiên cứu. Chúng tôi giới thiệu phiếu học tập, nội dung bảng hỏi, các câu hỏi của buổi phỏng vấn. Phân tích tiên nghiệm phiếu học tập và nội dung bảng hỏi. + Chương 4: Kết quả nghiên cứu. Trong chương này, chúng tôi phân tích các kết quả từ phiếu học tập và bảng hỏi. Đối với phiếu học tập, chúng tôi phân tích kết quả theo hai hướng chính đó là việc hiểu khái niệm đạo hàm của học sinh THPT, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các thể thức và hệ thống biểu đạt khác nhau dựa trên khung lý thuyết đã trình bày trong chương 2. + Chương 5. Kết luận. Trong chương này, trước hết chúng tôi phân tích các yếu tố cho phép đưa đến các câu trả lời ban đầu đối với câu hỏi nghiên cứu. Sau đó chúng tôi nêu lên các hạn chế của nghiên cứu này cũng như định vị nghiên cứu của chúng tôi trong các hướng nghiên cứu hiện tại có liên quan đến chủ đề này. 7