Nội dung

Chöông 7 TRAÏNG THAÙI ÖÙNG SUAÁT CAÙC ÑIEÅM CUÛA THANH 7.1 CAÙC TIEÂN ÑEÀ CÔ SÔÛ 1- Ñaët vaán ñeà Ñeå ñaùnh giaù khaû naêng laøm vieäc cuûa vaät theå, ta caàn xaùc ñònh caùc öùng suaát lôùn nhaát. Muoán vaäy ta caàn bieát ñöôïc traïng thaùi öùng suaát cuûa moïi ñieåm thuoäc vaät. Nhö ñaõ trình baøy trong phaàn 1 muïc 5.2.1 chöông 5, ñeå bieát ñöôïc TTÖS taïi moãi ñieåm, ta caàn bieát ñöôïc öùng suaát treân 3 maët caét vuoâng goùc nhau ñi qua ñieåm khaûo saùt. Caàn nhaéc laïi moâ hình vaät theå nghieân cöùu trong giaùo trình laø thanh. Töø muïc 5.1.5 chöông 5 ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh caùc thaønh phaàn noäi löïc treân maët caét vuoâng goùc vôùi truïc thanh sau khi bieát toaøn boä heä ngoaïi löïc. Vaán ñeà tieáp theo caàn ñöôïc giaûi quyeát trong chöông naøy laø tìm caùc thaønh phaàn öùng suaát nhö haøm cuûa caùc thaønh phaàn noäi löïc vaø cuûa toïa ñoä. Ñeå giaûi quyeát vaán ñeà naøy ngöôøi ta phaûi keát hôïp khaûo saùt thöïc nghieäm vôùi daãn daét lyù thuyeát. Treân cô sôû caùc keát luaän ruùt ra ñöôïc töø thöïc nghieäm ngöôøi ta ñöa ra caùc tieân ñeà veà quan heä giöõa noäi löïc vaø öùng suaát, giöõa öùng suaát vaø bieán daïng, vaø veà ñaëc ñieåm bieán daïng gaây bôûi caùc thaønh phaàn noäi löïc. 2- Nguyeân lyù coäng taùc duïng Nguyeân lyù coäng taùc duïng, hay coøn coù teân laø nguyeân lyù ñoäc laäp taùc duïng phaùt bieåu ôû daïng toång quaùt nhö sau: "Taùc duïng cuûa moät heä löïc baèng toång taùc duïng cuûa caùc löïc thuoäc heä löïc". Vôùi nguyeân lyù naøy ta suy ra: 1- Bieåu ñoà noäi löïc cuûa moät heä ngoaïi löïc baèng toång bieåu ñoà noäi löïc cuûa töøng ngoaïi löïc. 2- ÖÙng suaát (bieán daïng) baèng toång öùng suaát (bieán daïng) gaây bôûi töøng thaønh phaàn noäi löïc rieâng reõ. Nhôø nhaän ñònh naøy maø vaán ñeà xaùc ñònh öùng suaát (bieán daïng) ñöôïc taùch thaønh caùc baøi toaùn xaùc ñònh chuùng khi maø treân caùc maët caét treân suoát chieàu daøi thanh chæ coù moät loaïi thaønh phaàn noäi löïc. Trong kyõ thuaät ngöôøi ta goïi tröôøng hôïp thanh chòu taùc duïng cuûa heä ngoaïi löïc sao cho treân caùc maët caét chæ coù moät loaïi thaønh phaàn noäi löïc naøo ñoù laø tröôøng hôïp chòu löïc ñôn giaûn. Caùc tröôøng hôïp chòu löïc ñôn giaûn coù caùc teân goïi sau: a) Keùo (neùn) ñuùng taâm, khi treân maët caét chæ toàn taïi thaønh phaàn Nz ≠ 0. Neáu Nz > 0, thì thanh chòu keùo ñuùng taâm, khi Nz < 0 thì thanh chòu neùn ñuùng taâm; b) Uoán thuaàn tuùy, khi treân maët caét chæ toàn taïi thaønh phaàn Mx (hoaëc My) khaùc khoâng; c) Xoaén thuaàn tuùy, khi treân maët caét chæ coù Mz khaùc khoâng; d) Caét, khi treân maët caét, heä noäi löïc töông ñöông vôùi 1 löïc naèm trong maët caét coù ñöôøng taùc duïng ñi qua khoái taâm. Khi treân maët caét heä noäi löïc chöùa töø 2 thaønh phaàn trôû leân thì ta noùi raèng thanh chòu löïc phöùc taïp. Ñeå tính öùng suaát (hay bieán daïng) khi thanh chòu löïc phöùc taïp, ta tính öùng suaát (hay bieán daïng) gaây bôûi töøng thaønh phaàn noäi löïc, roài coäng caùc thaønh phaàn öùng suaát (hay bieán daïng) töông öùng vôùi nhau. Rieâng trong tröôøng hôïp treân maët caét thanh heä noäi löïc cho löïc caét vaø ngaãu löïc moâmen uoán cuøng naèm trong 1 maët quaùn tính chính trung taâm (Qy vaø Mx hay Qx vaø My) thì thöïc nghieäm cho thaáy khoâng theå duøng nguyeân lyù ñoäc laäp taùc duïng. Tröôøng hôïp thanh chòu löïc nhö vöøa neâu treân, goïi laø chòu uoán ngang phaúng, ñöôïc xeùt rieâng. 3- Ñònh luaät Huùc Trong kyõ thuaät ngöôøi ta coâng nhaän giaû thieát cho raèng trong quaù trình laøm vieäc thöïc teá thì ñaëc tính cô hoïc cuûa vaät lieäu tuaân theo ñònh luaät Huùc (muïc 5.4 chöông 5), coù nghóa cho raèng quan heä giöõa öùng suaát vaø bieán daïng laø tuyeán tính vaø khoâng toàn taïi bieán daïng dö sau khi ngoaïi löïc thoâi taùc duïng. Vaät lieäu tuaân theo ñònh luaät Huùc ñöôïc goïi laø vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính. Löu yù caùc keát quaû thöïc nghieäm (trình baøy trong phaàn 1 muïc 6.1 chöông 6) thì giaû thieát naøy chæ coù theå ñöôïc chaáp nhaän trong tröôøng hôïp giaù trò bieán daïng vaø öùng suaát coøn beù. Do vaäy caùc coâng thöùc ñöôïc thieát laäp treân cô sôû ñònh luaät Huùc, bao goàm caùc coâng thöùc thieát laäp ñeå tính öùng suaát ñöa ra trong chöông naøy, chæ ñuùng trong tröôøng hôïp thanh khaûo saùt döôùi taùc duïng cuûa taûi troïng coù bieán daïng beù. 4- Tieân ñeà maët caét ngang phaúng Quy luaät bieán thieân giaù trò (hay goïi laø quy luaät phaân boá) cuûa caùc thaønh phaàn öùng suaát treân maët caét coù theå ñöôïc quy ñònh tröôùc döïa vaø keát quaû quan saùt thöïc nghieäm veà ñaëc ñieåm bieán daïng. Moät trong hai tieân ñeà veà ñaëc ñieåm bieán daïng cuûa thanh ñöôïc trình baøy trong muïc naøy laø tieân ñeà maët caét ngang phaúng nhö sau "Caùc ñieåm naèm treân cuøng moät maët caét vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán truïc thanh tröôùc khi thanh bò bieán daïng thì seõ tieáp tuïc naèm trong cuøng moät maët phaúng vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán truïc thanh sau khi thanh bò bieán daïng". Nhôø tieân ñeà naøy maø khi thöïc hieän thí nghieäm, thay vì phaûi khaûo saùt söï di chuyeån cuûa moïi ñieåm naèm treân tieát dieän thì ta chæ caàn khaûo saùt söï di chuyeån cuûa caùc ñieåm naèm treân chu vi cuûa hình phaúng tieát dieän baèng caùch khaûo saùt ñöôøng keû treân beà maët thanh vuoâng goùc vôùi truïc thanh. Tieân ñeà naøy thöïc ra khoâng phuø hôïp cho tröôøng hôïp thanh ôû traïng thaùi chòu löïc uoán ngang phaúng. 5- Tieân ñeà caùc thôù doïc Ñeå ñöa ra tieân ñeà naøy, ngöôøi ta quan nieäm thanh ñöôïc gheùp laïi bôûi caùc sôïi coù cuøng chieàu daøi, goïi laø caùc thôù doïc. Tieân ñeà ñöôïc phaùt bieåu nhö sau: "Trong quaù trình thanh bò bieán daïng thì caùc thôù doïc khoâng xoâ ñaåy laãn nhau". Nhôø tieân ñeà caùc thôù doïc maø ta cho raèng caùc thaønh phaàn öùng suaát gaây ra caùc bieán daïng naèm trong maët caét baèng khoâng, töùc ta coù ñöôïc: σ x = σ y = τ xy = 0 (7.1) Vaäy khi nghieân cöùu laäp bieåu thöùc öùng suaát cuûa thanh ta chæ quan taâm thieát laäp bieåu thöùc cho caùc thaønh phaàn öùng suaát σ z , τ zx , τ zy (löu yù quy ñònh thieát laäp heä truïc toïa ñoä xyz nhö trong phaàn 1 muïc 5.4 chöông 5). Keát hôïp hai tieân ñeà veà maët caét ngang phaúng vaø caùc thôù doïc cho pheùp chuùng ta nhaän ñònh raèng khi thanh bò bieán daïng thì caùc tieát dieän thanh tröôùc khi thanh bò bieán daïng vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán truïc thanh (hay vuoâng goùc vôùi truïc thanh neáu truïc thanh laø thaúng) seõ chuyeån ñoäng nhö moät hình phaúng raén tuyeät ñoái. Vaán ñeà laø caàn khaúng ñònh tieáp trong caùc tröôøng hôïp chòu löïc khaùc nhau thì caùc tieát dieän thöïc hieän daïng chuyeån ñoäng naøo. Trình töï chung ñeå laäp bieåu thöùc caùc thaønh phaàn öùng suaát coøn laïi cuûa thanh nhö sau: Böôùc 1: Döïa vaøo quan heä giöõa caùc thaønh phaàn öùng suaát vaø thaønh phaàn noäi löïc (coâng thöùc 5.14) tieán haønh thí nghieäm quan saùt quy luaät chuyeån ñoäng, töùc daïng chuyeån ñoäng, cuûa caùc tieát dieän cuûa thanh ôû caùc traïng thaùi chòu löïc maø taïo ra treân maët caét thanh caùc thaønh phaàn öùng suaát töông öùng. Böôùc 2: Thieát laäp bieåu thöùc bieán daïng nhö haøm cuûa chuyeån vò cuûa tieát dieän vaø toïa ñoä ñieåm khaûo saùt. Böôùc 3: Söû duïng ñònh luaät Huùc (coâng thöùc 5.38) laäp bieåu thöùc öùng suaát nhö haøm cuûa chuyeån vò cuûa tieát dieän vaø toïa ñoä cuûa ñieåm. Böôùc 4: Söû duïng quan heä giöõa caùc thaønh phaàn noäi löïc vaø caùc thaønh phaàn öùng suaát (coâng thöùc 5.14) ñeå thieát laäp bieåu thöùc cuûa chuyeån vò tieát dieän nhö haøm cuûa noäi löïc. Böôùc 5: Sau khi coù haøm cuûa chuyeån vò phuï thuoäc vaøo noäi löïc, söû duïng bieåu thöùc thieát laäp ôû böôùc 3 ñeå vieát laïi bieåu thöùc öùng suaát nhö haøm cuûa caùc thaønh phaàn noäi löïc treân tieát dieän vaø toïa ñoä cuûa ñieåm khaûo saùt. Trong muïc 7.2.1. vaø phaàn 1 muïc 7.3.2 tieáp theo, khi thieát laäp bieåu thöùc tính öùng suaát phaùp σz vaø öùng suaát tieáp treân tieát dieän troøn gaây bôûi thaønh phaàn noäi löïc Mz, ta seõ söû duïng trình töï vöøa neâu treân. 7.2 BIEÅU THÖÙC TÍNH ÖÙNG SUAÁT PHAÙP σZ 7.2.1 Laäp bieåu thöùc Böôùc 1: Trong soá caùc coâng thöùc ôû (5.14) thì caùc coâng thöùc sau ñaây cho ta quan heä giöõa σz vôùi caùc thaønh phaàn noäi löïc: ∫ N z = σ z dA A (a) Mx = ∫ yσ dA z A ∫ (b) M y = − xσ z dA A (c) AÙp duïng nguyeân lyù ñoäc laäp taùc duïng ta coù theå tính rieâng cho tröôøng hôïp chæ coù Nz khaùc khoâng, tính rieâng cho tröôøng hôïp chæ coù Mx khaùc khoâng, vaø tính rieâng cho tröôøng hôïp My khaùc khoâng, töùc khaûo saùt caùc tröôøng hôïp chòu löïc ñôn giaûn ñoäc laäp nhau, roài coäng caùc keát quaû σz cuûa ba tröôøng hôïp ñoù laïi vôùi nhau. Caùch thöïc hieän nhö vaäy raát hay gaëp trong caùc giaùo trình Söùc beàn vaät lieäu. Ñeå ngaén goïn, trong giaùo trình naøy ta seõ xeùt tröôøng hôïp toång quaùt khi toàn taïi treân caùc maët caét cuûa thanh caû ba thaønh phaàn noäi löïc Nz , Mx , M y . Tröôøng hôïp thanh chòu löïc nhö vaäy coù teân laø chòu keùo (neùn) leäch taâm. Khaûo saùt chuyeån ñoäng cuûa caùc tieát dieän thanh khi thanh chòu keùo (neùn) leäch taâm, khi bieán daïng thanh coøn beù thì thöïc nghieäm cho pheùp giaû thieát chuyeån ñoäng cuûa chuùng laø hôïp cuûa ba chuyeån ñoäng cô baûn sau: - Chuyeån ñoäng tònh tieán doïc theo truïc thanh (ñeå ñôn giaûn ta cho raèng truïc thanh tröôùc bieán daïng laø thaúng), chuyeån vò trong chuyeån ñoäng naøy kyù hieäu laø dlo (H.7.1). Hình 7.1: Chuyeån vò cuûa tieát dieän thanh chòu keùo leäch taâm - Chuyeån ñoäng quay quanh truïc x, chuyeån vò quay theå hieän bôûi goùc quay dθ x . - Chuyeån ñoäng quay quanh truïc y vôùi chuyeån vò dθ y . Böôùc 2. Thieát laäp bieåu thöùc bieán daïng daøi taïi moät ñieåm H coù toïa ñoä x, y cuûa tieát dieän: chuyeån vò cuûa ñieåm H laø hôïp cuûa uur chuyeån vò cuûa noù khi tieát dieän thöïc hieän ba chuyeån ñoäng. Ta kyù hieäu veùctô chuyeån vò cuûa ñieåm H laø δl H , thì uur uur uur uur δl H = δl H ( dlo ) + δl H ( dθ x ) + δl H ( dθ y ) trong ñoù trò: uur δl H ( dlo ) (d) - chuyeån vò cuûa ñieåm H trong chuyeån ñoäng tònh tieán cuûa tieát dieän, coù phöông theo phöông cuûa truïc z, vaø coù giaù δlH ( dlo ) = dlo uur δl H ( dθ x ) (e) - chuyeån vò cuûa ñieåm H trong chuyeån ñoäng quay cuûa tieát dieän quanh truïc x. Moät caùch gaàn ñuùng ta coù theå cho chuyeån vò naøy theo phöông truïc z, vaø coù giaù trò: δlH ( dθ x ) = y.dθ x uur δl H ( dθ y ) (f) - chuyeån vò cuûa ñieåm H trong chuyeån ñoäng quay cuûa tieát dieän quanh truïc y. Gaàn ñuùng, ta coù theå cho raèng chuyeån vò naøy theo phöông truïc z, löu yù chieàu döông quy ñònh nhö treân hình 7.1 thì giaù trò δlH ( dθ y ) = − x dθ y δlH ( dθ y ) seõ coù daáu aâm (g) Vaäy chuyeån vò cuûa ñieåm H, cho keát quaû cuûa (e) ÷ (g) vaøo bieåu thöùc d), seõ theo phöông z vaø coù giaù trò baèng: δlH = dlo + ydθ x − xdθ y (h) Cho khoaûng caùch giöõa ñieåm H vôùi moät ñieåm laân caän keà noù theo phöông z tröôùc khi bieán daïng laø dz, thì bieán daïng daøi tuyeät ñoái cuûa khoaûng caùch giöõa chuùng khi tieát dieän chöùa ñieåm H chuyeån ñoäng seõ ñöôïc xaùc ñònh bôûi bieåu thöùc h). Vaäy bieán daïng daøi töông ñoái taïi H theo phöông z, töùc ε z , baèng: εz = dθ y dθ δlH dlo = + y x −x dz dz dz dz (7.2) Böôùc 3. Bieåu thò σ z nhö haøm cuûa chuyeån vò cuûa tieát dieän: Töø coâng thöùc 3 trong coâng thöùc (5.38), löu yù caùc coâng thöùc (7.1) vaø (7.2) ta coù: dθ y   dl dθ σz = E  o + y x − x  dz dz   dz (7.3) Böôùc 4. Laäp bieåu thöùc tính caùc chuyeån vò töông ñoái cuûa tieát dieän nhö haøm cuûa caùc thaønh phaàn noäi löïc: cho bieåu thöùc (7.3) vaøo caùc coâng thöùc (a), (b), (c). Löu yù trôû neân: E, dlo dθ x dθ y , , dz dz dz khoâng phuï thuoäc toïa ñoä cuûa ñieåm treân tieát dieän, vaäy caùc coâng thöùc (a) ÷ (c)   dz  A A A  dθ y dlo dθ x  2 Mx = E y dA + E y dA − E xy dA  dz dz dz  A A A  dθ y dl dθ M y = − E o x dA − E x xy dA + E x2 dA   dz dz dz A A A  Nz = E dlo dz ∫ dA + E ∫ dθ x dz ∫ ydA − E ∫ ∫ dθ y ∫ x dA ∫ ∫ ∫ (7.4) Trong heä phöông trình (7.4) caùc bieåu thöùc tích phaân chính laø caùc ñaëc tröng hình hoïc cuûa maët caét. Vôùi caùch xaây döïng heä truïc toïa ñoä theo quy ñònh trong phaàn 1 muïc 5.4 chöông 5 thì heä truïc oxyz laø heä truïc quaùn tính chính trung taâm. Ta coù: ∫ dA = A ; ∫ ydA = ∫ xdA = ∫ xydA = 0; A A A ∫ x dA = J ; ∫ y dA = J 2 2 y A A x A    chuù yù caùc keát quaû (7.5), thì heä (7.4) trôû neân: dlo  .A  dz  dθ x  Mx = E .J x  dz  dθ y  My = E .J y  dz  (7.6) Nz = E dlo dθ x dθ y , , Töø ba phöông trình (7.6) ta tìm ñöôïc 3 aån dz dz dz dlo N z = dz EA (7.7) dθ x Mx = dz EJ x (7.8) dθ y dz = My EJ y (7.9) Trong caùc coâng thöùc (7.7) ÷ (7.9) thì: (7.5) - EA goïi laø ñoä cöùng choáng keùo (neùn) - EJ x , EJ y goïi laø caùc ñoä cöùng choáng uoán Böôùc 5. Vieát bieåu thöùc xaùc ñònh σz nhö haøm cuûa caùc thaønh phaàn noäi löïc: söû duïng caùc bieåu thöùc (7.7) ÷ (7.9) ta vieát laïi coâng thöùc (7.3): σz = My Nz M +y x −x A Jx Jy (7.10) 7.2.2 Khaûo saùt phaân boá giaù trò σz treân tieát dieän Coâng thöùc (7.10) cho thaáy giaù trò σz taïi moãi tieát dieän laø haøm baäc nhaát cuûa toïa ñoä x, y veà vò trí cuûa ñieåm khaûo saùt treân tieát dieän. Chuùng ta seõ khaûo saùt söï bieán thieân giaù trò σz treân tieát dieän gaây bôûi töøng thaønh phaàn noäi löïc Nz , Mx , M y vaø toå hôïp cuûa chuùng. 1- Keùo (neùn) ñuùng taâm Sau ñaây ta seõ xeùt söï phaân boá öùng suaát treân tieát dieän khi chæ coù thaønh phaàn Nz khaùc khoâng. Neáu treân moïi maët caét cuûa thanh chæ coù giaù trò cuûa Nz thì nhö trong phaàn 2 muïc 7.1 ta coù tröôøng hôïp thanh chòu löïc ñôn giaûn coù teân goïi laø chòu keùo (neùn) ñuùng taâm. Khi treân maët caét chæ coù thaønh phaàn Nz σz = Nz A khaùc khoâng, thì bieåu thöùc (7.10) trôû neân: (7.11) Luùc naøy öùng suaát taïi moïi ñieåm treân nhö treân hình 7.2b. Trong thöïc teá, ta gaëp hôïp sau: maët caét nhö nhau, töùc noäi löïc Nz ñöôïc phaân boá ñeàu thanh chòu keùo (neùn) ñuùng taâm trong caùc tröôøng Hình 7.2 Bieåu ñoà phaân boá σ z a) Thanh chòu taûi troïng taùc duïng theo phöông doïc truïc. b) OÁng truï thaønh moûng chòu aùp suaát. Sau ñaây ta seõ thieát laäp bieåu thöùc öùng suaát cho tröôøng hôïp oáng truï thaønh moûng chòu aùp suaát. Seõ coù 2 loaïi oáng chòu aùp suaát: oáng hôû vaø oáng kín. b.1. OÁng truï hôû Ta goïi oáng truï chòu aùp suaát laø hôû khi chieàu daøi b cuûa oáng raát lôùn so vôùi ñöôøng kính 2r cuûa oáng (H.7.3a). Luùc naøy boû qua bieán daïng daøi doïc truïc (töùc cho σ z = 0 ), vaø coi nhö aùp suaát taùc duïng leân thaønh oáng theo phöông höôùng kính (H.7.3b). Neáu ta caét töôûng töôïng oáng truï baèng maët caét chöùa ñöôøng kính (H.7.3c), thì vì tính chaát ñoái xöùng cuûa oáng truï, öùng suaát treân caùc tieát dieän a–a, b–b cuûa maët caét chæ coù theå höôùng theo phöông vuoâng goùc maët caét. Ta kyù hieäu caùc öùng suaát naøy laø σθ vaø goïi laø t 1   ≤  öùng suaát voøng. Khi beà daày oáng truï raát beù so vôùi ñöôøng kính  r 10  ta coù theå coi σθ phaân boá ñeàu treân a–a, b–b. Ñeå tính σθ ta duøng phöông trình caân baèng löïc theo phöông y cuûa nöûa oáng truï: ∑ i π ∫ Fiy = 0 ⇔ −2σθ tb + pbrdθ sin θ = 0 0