KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2).pdf (đề thi thử đại học 2010)

2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2) I. Dạng lượng giác Imz II. Định nghĩa Môdun của số phức: Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau: Modz   r  a 2  b 2 ký hiệu z M(a; b)  a + bi b r Trục thực vậy môdun của số z bằng khoảng cách  từ điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ . Rez a Ví dụ: Tìm môdun của số phức sau: z = 4 + 3i Giải : Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) = 42  32  5 III. Định nghĩa argument của số phức :  a bi z  a  bi  a2  b2   2 2 2 a  b2  a b   Trong đó    2 2 r  a  b  a  z  r  cos   sin i  là dạng lượng giác cos   a2  b2   b sin   2  a  b2 1 a  cos   2 a  b2  Mọi nghiệm của hệ phương trình  gọi là argument của số phức b sin    a2  b2 z  a  bi  0 . Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần 2 và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá trị argument trùng với véctơ bán kính OM của điểm M Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Góc  được giới hạn trong khoảng 0    2 hoặc      Ví dụ: Tìm argument của số phức z  1  3i Giải : a 1 , b  3 ta tìm góc  a  cos   r   sin   b   r 1   2    vậy Argz = 3 3 3 2 1  2  k2 IV. Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác: z1  z2   r1  r2 V. Phép nhân ở dạng lượng giác: Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại. z1.z 2  r1.r2 cos  1  2   sin  1  2  .i  Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : z  1  i  1  3i  Giải :  z  1  i  1  3i           2  cos  sin .i  2  cos  isin .  4 4   3 3        2 2 cos     isin    4 3 4 3    2 2 cos  sin i 12 12 2 VI. Phép chia ở dạng lượng giác: Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra. Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ z1 r1  cos  1  2   sin  1  2  .i z2 r2  Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : z  2  12i  3 i Giải : 1 3  4   i 2 2  2  12i 2  2 3i  z    3 1   3 i  3 i 2   i  2   2     2  cos  isin 7 7  3 3      2  cos   isin 5 5 6 6   cos  isin 6 6 VII. Dạng mũ số phức 1. Định lý Euler (1707-1783): z  ei  cos  isin  Ví dụ: Tìm dạng mũ của số phức sau. z   3  i Giải :  3 1  z   3  i  2   i  2 2    5 5    2  cos  isin  6 6   i.  2e 5 6 Ví dụ: Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức : z  e2i Giải : 3 z  e 2  i  e 2 e i  e 2  cos   isin   Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. 2. Dạng lũy thừa z  a  bi   z 2  z.z   a  bi  a  bi   a2  b2  2abi 3 z 3   a  bi   a3  3a2bi  3ab2i2  b3i3  ...... n n zn   a  bi    Cknank bk k 0  Cn0anb0  C1nan1b1  ............  C0na1bn1  C1na0bn  A  Bi Ví dụ: Tính z 5 của z  2  i Giải : 5 z  2  i   Ck5 25 k ik k 0 1 5 5 0  C 2 i  C15 24 i1  C25 23 i2  C35 22 i3  C54 21i4  C15 20 i5  32  80i1  80  40i  10  i  38  41i 3. Lũy thừa bậc n của số phức i: ii i5  i4 .i  i i2  1 i6  i4 .i2  1 i3  i2 .i  i i7  i4 .i3  i i4  i2 .i2  1 i8  i4 .i4  1 vậy ta có qui luật sau đây . Giả sử n là số tự nhiên, khi đó in  ir , với r là phần dư của n chia cho 4. 4 Ví dụ: Tính z của z  i403 Giải : Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Ta . 403 = 100.4 +3 z  i403  i100.4 3  i3  1 về bài toán dễ ta có thể làm theo cách này nhưng bài toán phức tạp ta nhờ vào công thức De Moivre . 4. De Moivre : Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó ta có: n r  cos   isin     r n  cosn  isinn  Ví dụ: Sử dụng công thức de Moivre’s, tính: z 25  1  i  25 Giải : 1   1 z  1 i  2   i 2   2     2  cos  isin  4 4  vậy . z 25  1  i  25   2 25 25  25     cos 4  isin 4       = 4096 2  cos  isin  4 4  5. Định nghĩa căn bậc n của số phức: Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z, trong đó n là số tự nhiên z  a  bi  cos   i sin  n 5 z  n r  cos   isin      k2   k2   zk  n r  cos  isin n n   với k  1,2,3,....  n  1 Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. 6. Số nghiệm của một đa thức: Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây . Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. Ví dụ: Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận z1  3i và z 2  5  i Giải : Vì z1  3i và z 2  5  i là hai nghiệm nên z1  3i và z 2  5  i cũng hai nghiệm vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thỏa ycbt. Bài tập 1) Tính trong C a) 9 + 5i +(7-2i) d) 1  2i 2i b) (2+6i)(5  8i) e) c ) 1  5i  2 1  itan  1  i tan  Giải : a) 9 + 5i +(7-2i) = 12 +3i 6 b) (2+6i)(5  8i) = 10  16i  30i  48i2  58  14i 2 c) 1  5i   1  10i  25i2  24  10i Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ d) 1  2i 1  2i  2  i  2  i  4i  2i2 5i    2  i  2  i  2  i  3 3 e) 1  itan  1  itan  1  i tan    1  itan  1  i tan  1  itan   1  2i tan   tan2   cos2   2isin  cos   sin2  1  tan2   cos 2  isin2  2) giải phương trình trong C : a) x 2  2x  2  0 b) x 2  5x  7  0 Giải : a) x 2  2x  2  0    1 x1,2  1  1 phương trình có hai nghiệm phức : x1  1  i , x2  1 i b) x 2  5x  7  0   3 x1,2  x1  7 5  3 phương trình có hai nghiệm phức 2 5 3i  2 2 , x2  5 3i  2 2 3) Tìm nghiệm thực của phương trình : a) x  6i  7  yi Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ b) 1  i  x   2  5i  y  4  17i c) 12   2x  i 1  i    x  y  3  2i    17  6i Giải : x  7 a)   y  6 b) 1  i  x   2  5i  y  4  17i x  xi  2y  5yi  4  17i x  2y   x  5y  i  4  17i  x  2y  4  x  2    x  5y  17 y  3  17  6i  a) 12   2x  i 1  i    x  y  3  2i       12   2x  2xi  i  i 2  3x  2xi  3y  2yi    1  5x  3y   1  2y  i 17   x  1  5x  3y  12    1  2y  6 y    12 1 3 1 4 4) Giải phương trình trong C : a) x2  1  i  x  1  i   0 b) x 2  1  2i  x  i  1  0 8 Giải : a) x2  1  i  x  1  i   0 Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ 2  x  1  i   4 1  i   4  2i 2 gọi  a  bi   4  2i  a2  b 2  2abi  4  2i a 2  b2  4 a 2  b2  4   2 2 a  b  2 5 2ab  2  a  5 2  a  5  2    b   5  2    b2  5  2    ab  1  a   5  2   52  b  2  1  i   Vậy phương trình có nghiệm: x1,2   5  2 i 5 2  2 b) x 2  1  2i  x  i  1  0 2  x  1  2i   4  i  1  4i2  5  1 Vậy phương trình có nghiệm: x1  1  i , x 2  i 5) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z1  3i và z 2  2  i làm nghiệm . Giải : Đa thức cần tìm là . f(z)   z  z1  z  z1  z  z 2  z  z2  9   z  3i  z  3i z  (2  i)  z  (2  i)     z 2  9 z 2  4z  5  Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ 6) Tìm tất cả các nghiệm của P(z)  z4  4z3  14z 2  36z  45 biết z  2  i là một nghiệm . Giải : Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm. P(z) có thể phân tích thành:  z  (2z  i  z  (2  i)  z 2  4z  5 P(z) có thể tách thành: P(z)   z 2  4z  5  z 2  9  Mà z2  9   z  3i  z  3i  vậy phương trình có 4 nghiệm: 2  i , 2  i , 3i ,  3i 7) Giải phương trình sau trong C : z 9  i  0 Giải:    isin 2 2     k2   k2  zk  cos 2  isin 2 9 9 z 9  i  0  z  9 i  9 cos với k  0,1,2,......,8 8) Giải phương trình sau trong C a)z 5  1  i  0 b)z 2  z  1  0 c)z2  2z  1  i  0 Giải : 10 a) Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011

KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2)

Nội dung