Nội dung

i ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN VŨ THỊ PHƯƠNG DUNG BÙI KIM TÙNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. PHẠM SỸ NAM TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 6 NĂM 2016 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của chúng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác. TP.Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng 5 năm 2016 TÁC GIẢ LUẬN VĂN Vũ Thị Phương Dung Bùi Kim Tùng iii LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, chúng tôi đã cố gắng nỗ lực hết sức mình. Để hoàn thành tốt khóa luận này, chúng tôi đã nhận được sự động viên, giúp đỡ tận tình của Quý thầy, cô, gia đình và bạn bè. Nhân đây chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất. Đầu tiên, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý thầy, cô trong Khoa Toán – Ứng dụng trường Đại học Sài Gòn đã tận tình giảng dạy suốt bốn năm học để chúng tôi có được nền tảng tri thức cũng như kinh nghiệm cuộc sống quý báu làm hành trng cho chúng tôi sau này. Đặc biệt, chúng tôi xin chân thành cảm ơn TS. Phạm Sỹ Nam. Thầy là người đã giảng dạy những kiến thức nền tảng, tận tình giúp chúng tôi hoàn thành khóa luận một cách tốt nhất. Tiếp xúc với thầy chúng tôi học hỏi được cách thức làm việc khoa học, sự nhiệt tình, tính cẩn thận trong nghiên cứu và những bài học bổ ích trong cuộc sống. Chúng tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm động viên, khích lệ tinh thần chúng tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận. Cuối cùng, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý thầy, cô trong hội đồng chấm khóa luận đã dành thời gian quý báu để xem xét và góp ý cho những điểm còn thiếu sót giúp chúng tôi rút được kinh nghiệm cho khóa luận cũng như quá trình nghiên cứu sau này. Rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của Quý thầy, cô cũng như sự góp ý chân thành của các bạn. Xin chân thành cảm ơn. TP. Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng 5 năm 2016 Tác giả khóa luận Vũ Thị Phương Dung – Bùi Kim Tùng 1 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ................................................................................................................. i Lời cam đoan ................................................................................................................. ii Lời cảm ơn .................................................................................................................... iii Mục lục ........................................................................................................................... 1 Danh mục các cụm từ viết tắt....................................................................................... 3 MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................ 4 II. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................................ 5 III. Nhiệm vụ nghiên cứu.............................................................................................. 5 IV. Đóng góp của luận văn ........................................................................................... 5 Chương I KIẾN THỨC CHUNG 1. Định nghĩa, vai trò và ý nghĩa của đạo hàm ........................................................... 6 1.1. Định nghĩa ....................................................................................................... 6 1.2. Ý nghĩa ............................................................................................................ 7 1.3. Vai trò của đạo hàm trong chƣơng trình Toán phổ thông ............................... 9 1.4. Vai trò của đạo hàm trong cuộc sống .............................................................. 9 2. Các khái niệm và phân loại cấp độ nhận thức ..................................................... 10 2.1. Khái niệm năng lực ....................................................................................... 10 2.2. Các cấp độ nhận thức .................................................................................... 11 3. Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT 3.1. Về việc học của học sinh ............................................................................... 12 3.2. Về giảng dạy của giáo viên ........................................................................... 13 3.3. Biện pháp ....................................................................................................... 13 2 Chương II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HỌC SINH. 1. Bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm ............................................................ 14 2. Bài tập ứng dụng đạo hàm ..................................................................................... 23 2.1. Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số ........................................... 23 2.2. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị .................................................................. 32 2.3. Ứng dụng đạo hàm chứng minh phƣơng trình có nghiệm ............................ 39 2.4. Ứng dụng đạo hàm giải phƣơng trình ........................................................... 43 2.5. Ứng dụng đạo hàm giải bất phƣơng trình ..................................................... 49 2.6. Ứng dụng đạo hàm giải hệ phƣơng trình....................................................... 54 2.7. Ứng dụng đạo hàm tìm tham số để phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình có nghiệm ................................................................................ 62 2.8. Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức ............................................. 80 2.9. Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ............ 99 2.10. Ứng dụng đạo hàm để giải bài tập có liên quan đến thực tiễn .................. 113 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 118 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 119 3 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT  : Với tất cả.  : Tƣơng đƣơng.  : Thuộc.  : Tồn tại ít nhất.  : Suy ra.  : Vô cùng.  ;  : Khoảng.  ; , ;  : Nửa khoảng.  ;  : Đoạn. VT: Vế trái. VP: Vế phải. PT: Phƣơng trình. THPT: Trung học phổ thông. GV: Giáo viên. HS: Học sinh. SGK: Sách giáo khoa. HD: Hƣớng dẫn. PPDH: Phƣơng pháp dạy học. 4 MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Môn Toán là môn học tạo nhiều cơ hội giúp học sinh (HS) phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho HS tƣ duy trừu tƣợng, chính xác, hợp logic, phƣơng pháp khoa học trong suy nghĩ, suy luận, từ đó rèn cho HS trí thông minh, sáng tạo. Trong chƣơng trình Giải tích lớp 12 – THPT, nội dung đạo hàm và ứng dụng giữ vai trò chủ đạo, chiếm một khối lƣợng kiến thức và thời gian của chƣơng trình môn Toán, kiến thức về đạo hàm chiếm tỷ trọng khá lớn trong các đề thi THPT quốc gia và đề thi tuyển sinh vào các trƣờng Đại học, Cao đẳng và Trung cấp chuyên nghiệp. Bởi vậy, việc sử dụng đạo hàm của hàm số để giải toán là một nội dung rất cần thiết và hữu ích đối với các em HS lớp 12. Đạo hàm là nội dung cơ bản trong chƣơng trình toán phổ thông, là một trong hai phép tính cơ bản của giải tích. Đạo hàm là công cụ giúp chúng ta nghiên cứu các tính chất của hàm số nhƣ tính đồng biến, nghịch biến, tính lồi lõm, cực trị, các điểm tới hạn của hàm số. Vận dụng tính chất của đạo hàm còn giúp HS giải đƣợc các bài toán Đại số nhƣ: giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, bất đẳng thức… Ngoài ra, đạo hàm còn ứng dụng trong lĩnh vực khác nhƣ: bài toán tính vận tốc, gia tốc của một chuyển động vật lý, bài toán cực trị trong kinh tế, trong chuyển động… Thực tế dạy học Toán ở trƣờng THPT cho thấy còn nhiều học sinh gặp khó khăn khi sử dụng kiến thức đạo hàm để giải bài tập, một trong những nguyên nhân chính là do các em không hiểu sâu sắc khái niệm và những ứng dụng của kiến thức này. Chính vì những lý do nêu trên chúng tôi đã chọn đề tài để nghiên cứu: “Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho học sinh”. 5 II. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của khóa luận là phân loại các dạng bài tập về đạo hàm và xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với các cấp độ nhận thức nhằm giúp HS phát triển năng lực trong học Toán. III. Nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu và trình bày các nội dung sau: + Hệ thống các kiến thức cơ bản về đạo hàm. + Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho HS. IV. Đóng góp của luận văn Về mặt lý luận, tổng hợp các kiến thức về năng lực, cấp độ nhận thức và phân tích ý nghĩa của kiến thức đạo hàm trong chƣơng trình phổ thông. Về mặt thực tiễn, khóa luận là tài liệu tham khảo cho GV và HS trong giảng dạy và học tập về khái niệm đạo hàm và ứng dụng. 6 Chương I KIẾN THỨC CHUNG 1. Định nghĩa, vai trò và ý nghĩa của đạo hàm. 1.1. Định nghĩa. 1.1.1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm. 1.1.1.1. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng (a, b) và x0  (a, b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim xx0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 thì giới hạn đó đƣợc gọi là đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 , ký hiệu là f '( x0 ) hoặc y '( x0 ) , tức là: f '( x0 )  lim xx0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 1.1.1.2. Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa Cách 1:Tính trực tiếp f '( x0 )  lim xx0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 Cách 2: Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 , ta thực hiện 4 bƣớc: Bƣớc 1: Cho x0 số gia x, tính y  f ( x0  x)  f ( x0 ) Bƣớc 2: Lập tỉ số x y Bƣớc 3: Tính f '( x0 )  lim x  x0 Bƣớc 4: Kết luận. [9] y . x 7 1.1.2. Định nghĩa đạo hàm cấp cao. Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm tại mỗi điểm x   a; b  . Khi đó, hệ thức y '  f '  x  xác định một hàm số mới trên khoảng (a;b). Nếu hàm y '  f '  x  lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y ' là đạo hàm cấp hai của hàm số y  f  x  tại x và kí hiệu là y '' hoặc f ''( x). Chú ý: + Đạo hàm cấp 3 của hàm số y  f  x  đƣợc định nghĩa tƣơng tự và kí hiệu là y ''' hoặc f '''( x) hoặc f 3  x  . + Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp n  1 , kí hiệu là f  n1  x   n  , n  4  . Nếu f  n1  x  có đạo hàm thì đạo hàm của nó đƣợc gọi là đạo hàm cấp n của f ( x) , kí hiệu là y   hoặc f  n  x  . n f n  x    f  n1  x   ' 1.2. Ý nghĩa. 1.2.1. Ý nghĩa hình học. 1.2.1.1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại x0  (a, b). Gọi (C ) là đồ thị của hàm số đó. Đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M 0T của (C ) tại điểm M 0  x0 ; f  x0   . [9]