Nội dung

HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC THƯỜNG I. Kiến thức cần nhớ: Biết được thế nào là hai tam giác bằng nhau. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c); Cạnh – góc – cạnh (c.g.c); Góc – cạnh – góc (g.c.g). Biết được khái niệm và tính chất cơ bản của một số đường đặc biệt như: Đường trung trực, đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác. Biết được định lí về tổng ba góc của một tam giác, định lí về góc ngoài của tam giác. Công thức tính diện tích tam giác. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, bất đẳng thức tam giác. Hiểu được định nghĩa hai tam giác đồng dạng. Tỉ số của hai đoạn thẳng, các đoạn thẳng tỉ lệ.... II. Hệ thống bài tập: Bài 1. (Luyện tập toán 7 – Nguyễn Bá Hòa – NXB Giáo dục) Cho tam giác ABC có AC > AB. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên đoạn thẳng AD lấy A điểm E. Ta chứng minh được EC – EB < AC – AB như sau: Trong AEC ta có EC < AC + AE (1) Trong ABE ta có EB < AB + AE (2) Trừ (1) và (2) vế theo vế ta có: EC – EB < AC – AB Hãy tìm chỗ sai trong bài chứng minh trên. GIẢI 1 E B D C Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) đúng hay sai, hai bất đẳng thức trên không sai, nếu như lấy bất đẳng thức (1) trừ bất đẳng thức (2) thì đúng hay sai, cái sai của bài chứng minh trên nằm ở chổ ta lấy hai bất đẳng thức trên trừ cho nhau. Nhớ! Không trừ hai bất đẳng thức cùng chiều. Nhận xét: Cần chú ý trong việc biến đổi bất đẳng thức. Bài 2. Chứng minh rằng đường phân giác của một tam giác chia cạnh đối diện thành 2 đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn thẳng ấy. GIẢI GT A ABC , AD là phân giác. AB DB  AC DC KL 1 2 Qua B vẽ đường thẳng song song AC cắt AD tại E.       AC // BE  A2 E1 mà A1  A2 nên A1 E1 B D C 1  ABC cân tại B.  AB = BE (1) E BE DB  Từ EDB và ADC có BE//AC  AC DC Kết hợp với (1) ta có AB DB  . (đpcm) AC DC Bài chứng minh trên ta kẻ đường thẳng qua B song song AC. Vậy nếu như ta cũng kẻ đường thẳng qua B mà song song với AD thì có thể chứng minh được bài toán trên hay không. Cách 2: F Qua B vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC tại F.    1  A BF // AD  F1  A2 , B1  A1 .    1 2  Có A1  A2 nên F1 B1  ABF cân tại A.  AF  AB AF DB AB DB   BFC có BF // AD  do đó . AC DC AC DC 2 1 B D C Cũng với cách vẽ đường phụ với mỗi đường phụ hợp lí ta lại có thêm một cách chứng minh, ta sẽ xét một cách chứng minh khác. A 1 2 Cách 3: Vẽ DE // AC; DF // AB ( E  AB, F  AC )  AFDE là hình bình hành. F E Có AD là phân giác  AFDE là hình thoi. B  AF = DE = DF = AE. ABC có DE // AC  Suy ra D DB EB DB AE   ; DC EA DC CF DB EB AE EB  AE AB     DC AF CF AF  CF AC (đpcm) Bài 3. Cho tam giác ABC biết AB < AC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho BC = BD. Nối C với D. Gọi E là giao điểm của AC với phân giác của góc B. a) Chứng minh rằng CE = DE b) Dựng đường cao AH của tam giác ACD. Chứng minh rằng AH // BE. Hệ thống câu hỏi: 1. Giả thuyết và kết luận của bài toán trên là gì? 2. Dạng của bài toán là dạng gì? (dạng chứng minh) a) Chứng minh rằng CE = DE - Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta thường có những cách nào? - Tại sao hai tam giác BEC và BED bằng nhau? - Từ hai tam giác bằng nhau đó ta suy ra được điều gì? b) Chứng minh rằng AH // BE. - Ta đã có AH  CD vậy muốn chứng minh AH // BE ta cần chứng minh điều gì? 3 C - Muốn chứng minh BI  CD ta phải làm sao?   - Vì sao chúng ta có BIC BID 900 ? D - Vậy ta có được điều phải chứng minh chưa? H GIẢI GT   ABC ; AB EC – EB b) Trên tia AD lấy O sao cho OB = OC. Chứng tỏ rằng nếu F là một điểm bất kì trên tia đối của tia OA thì AC – AB > FB – FC. Hệ thống câu hỏi: 1. Đọc đề, tóm tắt, vẽ hình cho bài toán. 16 a) Chứng minh rằng AC – AB > EC – EB - Em có nhận xét gì về 4 đoạn thẳng trên. - Lấy K trên AC sao cho AB = AK. Vậy bài toán trở thành? - Giờ ta phải chứng minh KC > EC – EB. - Xét trong CEK ta có KC > EC – EK. Vậy kết hợp với điều kiện trên ta cần phải chứng minh EB = EK. - Em có nhận xét gì về hai tam giác AEB và AEK . - Vậy ta có EB = EK. Vậy suy ra điều phải chứng minh chưa? b) Chứng tỏ rằng nếu F thuộc tia đối của tia OA thì AC – AB > FB – FC. - Trước tiên ta thấy FB như thế nào so với FC. - Ta có thể chứng minh tương tự như câu a). GIẢI a) Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AB = AK. A Như vậy: AC – AB = AC – AK = CK. K E Xét hai tam giác AEB và AEK có: AE là cạnh chung; BAE KAE (gt)   B AB = AK (gt) D C  AEB AEK (c.g.c), ta suy ra EB = EK Xét CEK ta có: EC – EK < CK   b) O EC – EB < CK F EC – EB < AC – AB hay AC – AB > EC – EB (đpcm) Có OB = OC  O nằm trên đường trung trực của BC. Mặt khác O  CD nên O là giao điểm của AD và đường trung trực của đoạn BC. Nếu F nằm trên tia đối của tia OA: FB > FC Chứng minh tương tự như câu a) ta được AC – AB > FB – FC. 17 (đpcm) Nhận xét: Sử dụng kết hợp vẽ đường phụ và bất đẳng thức tam giác, khả năng biến đổi bất đẳng thức để có thể giải bài tập. Bài 14. Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, AC = b và a – b = b – c. Gọi M là giao điểm các trung tuyến. P là giao điểm các đường phân giác các góc trong của tam giác. Chứng minh rằng MP // AC. (Đề thi học sinh giỏi toán cấp II, 1977) Hệ thống câu hỏi: 1. Đọc đề, vẽ hình và nêu giả thuyết và kết luận của bài toán.? 2. Hướng đi của bài toán là gì? Làm sao chứng minh được PH = MN. 3. Ta thấy điện tích tam giác ABC bằng tổng điện tích của những tam giác nào? Thay công thức tính điện tích vào ta được đẳng thức nào? 4. Kết hợp với điều kiện a – b = b – c thì đẳng thức trên trở thành? 5. Ta có BE = 3BH, Vậy ta cần phải chứng minh BE = 3MN. 6. Em có nhận xét gì về điện tích của hai tam giác BAD và MAD, từ đó có thể suy ra được BE = 3MN hay chưa. 7. Từ những dữ kiện trên ta có thể suy ra được PH = MN từ đó suy ra được PM // AC hay chưa? B GIẢI GT a – b = b – c; BM = 2 BD 3 I PH = PI = PK KL MP // AC. Gọi diện tích tam giác ABC là S ABC . P K Ta có: S ABC S APB  S BPC  SCPA M (1) E H N D A Dựng BE và BD theo thứ tự là đường cao và đường trung tuyến của ABC . Dựng các đường cao PK, PI, PH của các tam giác APB, BPC, CPA. Từ đẳng 18 C 1 1 1 1 b.BE  c.PK  a.PI  b.PH 2 2 2 2 thức (1) ta có:  b.BE c.PK  a.PI  b.PH (2) Vì P là giao điểm của ba đường phân giác trong nên: PH = PI = PK Vậy đẳng thức (2) trở  b.BE  a  b  c  PH thành (3) Theo giả thuyết a – b = b – c nên a + c = 2b thay vào (3) ta được: b.BE = 3b.PH BE  = 3 PH (4) Dựng MN  AC. Ta có: S BAD 3SMAD (vì BD=3MD, đường cao xuất phát từ đỉnh A chung của hai tam giác trùng nhau). Tương tự: S BDC 3SMDC Ta suy ra: S ABC S BAD  SBDC 3SMAD  3S MDC 3S AMC Từ đây ta suy ra: BE = 3MN (5) Từ (4) và (5) ta được: PH = MN. Mặt khác: PH // MN nên PM // HN hay MP // AC (đpcm) Nhận xét: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác, khả năng vẽ đường phụ, sử dụng tính chất bắc cầu để chứng minh hai đường thẳng song song. Bài 15. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường   cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho MAN BAC . Chứng  minh rằng AM là tia phân giác của góc NMF . Hệ thống câu hỏi:   1. Mục đích ta sẽ chứng minh cái gì? ( AMF  AMN ) 2. Ta có AMF bằng tổng hai góc nào?  19    3. Vậy ta chỉ cần chứng minh AMN  A1  D1 .   4. Ta có thể chứng minh được AMN  AIN hay không?    5. Ta lại có AIN  A2  D2 .   6. Từ đây ta chỉ việc chứng minh D1 D2 là bài toán đã được giải quyết GIẢI A Xét tứ giác BFHD có:  N E 1 2  BFH  HDB 2v nên tứ giác BFHD nội tiếp được  F H  trong đường tròn.  B1 D1 (1)   x I M 1 2 Tương tự tứ giác CDHE nội tiếp  D2 C1 (2) Tứ giác BFEC có F và E cùng nhìn đoạn BC B   D dưới góc vuông nên cũng nội tiếp được.  B1 C1 (3)   Từ (1), (2), (3) ta có  D1 D2 . Gọi I là điểm đối xứng của M qua DA ta có I  DE . Do đó AD là trung trực của MI. MI  AD AC  BC Do:    MI  BC  Từ đó: NIx NDC (4) Xét tứ giác ABDE có E, D cùng nhìn AB dưới góc vuông nên tứ giác   ABDE nội tiếp, nên NDC BAC  (5)  Mà MAN BAC (giả thuyết) (6)   Từ (4), (5), (6) cho ta NIx MAN có nghĩa là tứ giác AMIN nội tiếp.         AMN  AIN  A2  D2  A1  D1 FMA 20 C    Vậy  AMN FMA có nghĩa là AM là tia phân giác của NMF . (đpcm) Nhận xét: Sữ dụng kết hợp nhiều kiến thức liên quan đến tứ giác nội tiếp, tính chất đường trung trực, kết hợp nhiều giả thuyết để chứng minh một bài toán. Bài tập tự rèn: Bài 16: Trong tam giác ABC lấy điểm P, còn trên cạnh AC và BC lấy     các điểm tương ứng M và L sao cho PAC PBC; PLC PMC 900 . a) Chứng minh: AM.PL = BL.PM b) Giả sử D là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh: DM = DL `Bài 17: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H và G lần lược là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh: O, G, H thẳng hàng. Bài 18: Giả sử H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Trên đoạn HB   và HC lấy hai điểm M, N sao cho AMC  ANB 900 . Chứng minh rằng: AN=AM. Bài 19: Từ một đỉnh của một tam giác người ta vẽ các đường vuông góc xuống bốn đường phân giác trong và ngoài của hai đỉnh kia. Chứng minh rằng bốn chân đường vuông góc đó thẳng hàng.  Bài 20: Cho ABC , (AB > AC) có A  , trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Lấy điểm E là trung điểm AD, F là trung điểm BC. Tính BEF .  Tác dụng qua những bài tập: Qua những bài tập trên nhằm giúp cho học sinh bước đầu có được một số kĩ năng cơ bản về các bài toán chứng minh trong tam giác thường. Ngoài ra còn rèn luyện cách trình bài, lập luận chặc chẽ, chính xác khả năng tư duy hợp lôgic, khả năng sáng tạo qua những bài tập nâng cao, 21 Thấy được mối quan hệ giữa các bài toán để có thể áp dụng vào những bài toán khác có dạng tương tự, điển hình như những bài tập tự rèn ở trên. 22