Nội dung

Traàn Thaønh Minh – Phan Löu Bieân - Traàn Quang Nghóa H ÌNH H OÏC 11 Ch öông 2. QUAN HEÄ SONG SONG www.saosangsong.com.vn Chöông 2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . Quan heä song song 2 MUÏC LUÏC §1. ÑAÏI CÖÔNG VEÀ ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG 4 A.Toùm taét giaùo khoa 4 B.Giaûi toaùn Daïng 1 : Xaùc ñònh maët phaúng :duøng 3 ñieàu kieän xaùc ñònh maët phaúng Daïng 2 : Xaùc ñònh giao tuyeán cuûa hai maët phaúng Daïng 3 : Xaùc ñònh giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vôùi maët phaúng Daïng 4 : Chöùng minh ba ñieåm A,B,C thaúng haøng Daïng 5 : Chöùng minh ba ñöôøng thaúng ñoàng qui Daïng 6 : Taäp hôïp caùc giao ñieåm M cuûa 2 ñöôøng thaúng a vaø b di ñoäng. Daïng 7: Thieát dieän ( maët caét) cuûa hình (H) khi caét bôûi mp(P). 5 5 5 7 8 8 9 10 C.Baøi taäp reøn luyeän 10 D.Höôùng daãn giaûi 11 §2. HAI ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG 14 A. Toùm taét giaùo khoa 14 B.Giaûi toaùn 14 C.Baøi taäp reøn luyeän 15 D. Höôùng daãn giaûi 15 §3. ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG VÔÙI MAËT PHAÚNG 16 A.Toùm taét giaùo khoa 16 B. Giaûi toaùn 17 C. Baøi taäp reøn luyeän 18 D. Höôùng daãn giaûi 19 §4 . HAI MAËT PHAÚNG SONG SONG 19 A .Toùm taét giaùo khoa 19 B.Giaûi toaùn 22 C. Baøi taäp reøn luyeän 24 D. Höôùng daãn giaûi 25 www.saosangsong.com.vn Chöông 2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . Quan heä song song §5. PHEÙP CHIEÁU SONG SONG 3 26 A. Toùm taét giaùo khoa 26 B. Giaûi toaùn 27 C. Baøi taäp reøn luyeän 28 D.Höôùng daãn giaûi 28 CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM CUOÁI CHÖÔNG 2 29 Baûng traû lôøi 31 Höôùng daãn giaûi 31 www.saosangsong.com.vn Chöông 2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . Quan heä song song 4 CHÖÔNG II. ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN QUAN HEÄ SONG SONG §1. Ñaïi cöông veà ñöôøng thaúng vaø maët phaúng A.Toùm taét giaùo khoa 2. Môû ñaàu veà hình hoïc khoâng gian Hình hoïc khoâng gian laø moân hoïc nghieân cöùu caùc tính chaát cuûa nhöõng hình coù theå khoâng cuøng naèm trong moät maët phaúng . Ñoái töôïng cô baûn cuûa hình hoïc khoâng gian laø :ñieåm ,ñöôøng thaúng ,maët phaúng a A P Ñieåm A thuoäc mp(P) : A ∈ mp(P) Ñieåm A khoâng thuoäc mp(P) : A ∉ mp(P) 2. Caùc tính chaát thöøa nhaän cuûa hình hoïc khoâng gian Tính chaát thöøa nhaän 1 : Coù moät vaø chæ moät ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm phaân bieät cho tröôùc Tính chaát thöøa nhaän 2 : Coù moät vaø chæ moät maët phaúng ñi qua ba ñieåm khoâng thaúng haøng cho tröôùc Tính chaát thöøa nhaän 3 : Toàn taïi boán ñieåm khoâng cuøng naèm treân moät maët phaúng Tính chaát thöøa nhaän 4 : Neáu hai maët phaúng phaân bieät coù moät ñieåm chung thì chuùng coù moät ñöôøng thaúng chung duy nhaát chöùa taát caû caùc ñieåm chung cuûa hai maët phaúng ñoù,đñường thaúng naøy goïi laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng Tính chaát thöøa nhaän 5 : Treân moãi maët phaúng ,caùc keát quaû ñaõ bieát trong hình hoïc phaúng ñeàu ñuùng Ñònh lí : Neáu moät ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm phaân bieät cuûa moät maët phaúng thì moïi ñieåm cuûa ñöôøng thaúng ñeàu naèm treân maët phaúng ñoù 3. Ñieàu kieän xaùc ñònh maët phaúng a) Moät maët phaúng ñöôïc xaùc ñònh neáu bieát noù ñi qua ba ñieåm khoâng thaúng haøng b) Moät maët phaúng ñöôïc xaùc ñònh neáu bieát noù ñi qua moät ñöôøng thaúng vaø moät ñieåm khoâng thuoäc ñöôøng thaúng ñoù c) Moät maët phaúng ñöôïc xaùc ñònh neáu bieát noù ñi qua hai ñöôøng thaúng caét nhau b A A P O a C B P a P 4. Hình choùp vaø hình töù dieän Hình choùp : Cho ña giaùc phaúng A1A2 . . .An vaø moät ñieåm S khoâng thuoäc maët phaúng ña giaùc. Hình goàm n tam giaùc SA1A2 , . . . , SAnA1 vaø ña giaùc phaúng A1A2 . . An goïi laø hình choùp vaø ñöôïc kí hieäu S.A1A2. . .An • S laø ñænh . Ña giaùc A1A2 . . An laø maët ñaùy. Caùc caïnh cuûa maët ñaùy laø caïnh ñaùy www.saosangsong.com.vn Chöông 2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . Quan heä song song • • 5 Caùc ñoaïn thaúng SA1, SA2 , . . ,SAn laø caïnh beân Caùc tam giaùc SA1A2 , . . . , SAnA1 laø maët beân S S S A5 A A D B A1 C C Hình choùp tam giaùc A4 A2 B Hình choùp töù giaùc A3 Hình choùp nguõ giaùc Hình töù dieän : Cho boán ñieåm A,B,C,D khoâng ñoàng phaúng.Hình goàm boán tam giaùc ABC,ACD,ABD vaø BCD goïi laø hình töù dieän hay töù dieän kí hieäu ABCD. • Töù dieän coù theå coi laø hình choùp tam giaùc baèng boán caùch,maët naøo cuõng coù theå laø maët ñaùy • Töù dieän coù boán maët laø nhöõng tam giaùc ñeàu goïi laø töù dieän ñeàu B.Giaûi toaùn Daïng 1 : Xaùc ñònh maët phaúng :duøng 3 ñieàu kieän xaùc ñònh maët phaúng Ví duï 1: Cho 4 ñieåm A,B,C,D khoâng ñoàng phaúng. Chöùng minh 3 trong 4 ñieàm naøy khoâng thaúng haøng Giaûi Neáu 3 trong 4 ñieåm chaúng haïn A,B,C thaúng haøng thì ñieåm D vaø ñöôøng thaúngABC xaùc ñònh moät maët phaúng ,ñieàu naøy traùi vôùi giaû thieát 4 ñieåm A,B,C vaø D khoâng ñoàng phaúng Ví duï 2 : Cho ba ñuôøng thaúng a,b,c khoâng ñoàng phaúng vaø caét nhau töøng ñoâi moät .Chöùng minh chuùng ñoàng qui. Giaûi Goïi O laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng a vaø b .Ñöôøng thaúng c phaûi qua O vì neáu c khoâng qua O thì c caét a tai A khaùc O vaø caét b taïi B khaùc O do ñoù c naèm trong mp(a,b)vì c coù hai ñieåm A vaø B thuoäc mp(a,b).Ñieàu naøy traùi vôùi giaû thieát a,b,c khoâng ñoàng phaúng. Daïng 2 : Xaùc ñònh giao tuyeán cuûa hai maët phaúng ™ Ta tìm hai ñieåm chung A, B. Giao tuyeán laø ñöôøng thaúng AB. ™ Ñeå tìm ñieåm chung cuûa A cuûa α vaø β , ta choïn moät ñöôøng thaúng a cuûa α vaø moät ñöôøng thaúng b cuûa β sao cho a vaø b caét nhau taïi A. (Ñieàu kieän caàn laø a vaø b cuøng naèm trong moät maët phaúng thöù ba) www.saosangsong.com.vn b a Chöông 2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . Quan heä song song 6 Ví duï 3 : Cho hình choùp S.ABCD trong ñoù ñaùy ABCD laø töù giaùc coù caùc caëp caïnh ñoái khoâng song song Tìm giao tuyeán cuûa : a) Hai maët phaúng (SAC) vaø (SBD) b) Hai maët phaúng (SAB) vaø (SCD) c) Hai maët phaúng (MBC ) vaø (SAN) vôùi M laø trung ñieåm cuûa SA vaø N laø trung ñieåm cuûa BC. Giaûi a) Goïi O laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cheùo AC vaø BD cuûa maët ñaùy ABCD thì : O thuoäc AC neân O thuoäc mp(SAC) O thuoäc BD neân O thuoäc mp(SAD) Do ñoù hai maët phaúng (SAC) vaø (SBD) coù hai ñieåm chung S vaø O Vaäy SO = (SAC) ∩ (SBD) b) Theo giaû thieát hai caïnh ñoái AB vaø CD caét nhau taïi E .Do ñoù hai maët phaúng (SAB) vaø (SCD) coù hai ñieåm chung S vaø E Vaäy SE = (SAB) ∩ (SCD) c) M laø trung ñieåm cuûa SA neân M ∈ mp(SAN) vaø M ∈ mp(MBC) N laø trung ñieåm cuûa BC neân N ∈ mp(MBC) vaø N ∈ mp(SAN) Vaäy MN = (MBC) ∩ (SAN) S A M M B A N N O D C E B D O C E Ví duï 4 : Cho thöù dieän ABCD .Laáy ñieåm M treân caïnh AB vaø ñieåm N treân caïnh caïnh AC sao cho ñöôøng thaúng MN caét ñöôøng thaúng BC tai E.Goïi O laø ñieåm trong tam giaùc BCD. a) Tìm giao tuyeán cuûa hai mp(OMN) vaø mp(BCD) b) Tìm giao tuyeán cuûa hai mp(OMN) vaø mp(ACD) Giaûi a) E ∈ BC neân E ∈ mp(BCD) E ∈ MN neân E ∈ mp(OMN) O laø ñieåm chung thöù hai cuûa hai maët phaúng naøy Vaäy OE = mp(OMN) ∩ mp(BCD) b) Hai maët phaúng (OMN) vaø mp(ACD) coù N chung vì N ∈ AC Ñöôøng thaúng OE caét BD taïi F . Ñöôøng thaúng MF caét AD taïi I vì naèm trong mp(ABD) vaø giaû söû khoâng song song. I ∈ MF neân I ∈ mp(OMN) vaø I ∈ AD neân I ∈ mp(ACD) Vaäy NI = mp(OMN) ∩ mp(ACD) www.saosangsong.com.vn Chöông 2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . Quan heä song song 7 Hoaëc : OE caét CD taïi K thì NK = mp(OMN) ∩ mp(ACD) Daïng 3 : Xaùc ñònh giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vôùi maët phaúng • • a Muoán tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng a vôùi maët phaúng (P) ta tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng a vôùi ñöôøng thaúng b naèm trong mp(P) Ñöôøng thaúng b phaûi tìm thöôøng laø giao tuyeán cuûa (P) vaø maët phaúng (Q) naøo ñoù chöùa a. (P) Q b Ví duï 5 : Cho töù dieän ABCD . Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BC vaø O laø ñieåm trong tam giaùc BCD.Tìm giao ñieåm cuûa : a) CD vaø mp(OMN) b) AD vaø mp(OMN) Giaûi a) NO vaø CD cuøng naèm trong mp(BCD) vaø giaû söû caét nhau tai E . Vaäy CD ∩ mp(OMN) = { E} b) Ta coù mp(OMN) ∩ mp(ACD) = ME Trong mp(ACD) , AD vaø ME caét nhau tai F Vaäy AD ∩ mp(OMN) = { F } A S M M F E D I C D B O O N A N B C Ví duï 6 : Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình bình haønh.Goïi M laø trung ñieåm cuûa SC , a) Tìm giao ñieåm I cuûa AM vôùi mp(SBD) vaø tính IA IM b) Goïi N laø trung ñieåm cuûa AB .Tìm giao ñieåm E cuûa MN vôùi mp(SBD). Chöùng minh EM = EN c) Tìm giao ñieåm cuûa SD vôùi mp(ABM) Giaûi a) Goïi O laø taâm hình bình haønh ABCD.Trong tam giaùc SAC hai trung tuyeán AM vaø SO giao nhau taïi I . Maø I ∈ SO vaø SO naèm trong maët phaúng SBD neân I ∈ mp(SBD) Vaäy AM ∩ mp(SBD) = { I } I laø troïng taâm tam giaùc SBD neân IA =2 IM b) Ta thaáy BI = mp(SBD) ∩ mp(ABM) .Do ñoù BI caét MN taïi F Vaäy MN ∩ mp(SBD) = { E} www.saosangsong.com.vn Chöông 2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . Quan heä song song 8 Xeùt tam giaùc AMN ta coù IA = 2 IM (chöùng minh treân) Do ñoù goïi F laø trung ñieåm cuûa AI thì NF song song vôùi BI (ñöôøng trung cuûa tam giaùc ABI.Trong tam giaùc MNI ta coù EI song song vôùi NF vaø I laø trung ñieåm cuûa MF neân E laø trung ñieåm cuûa MN c) Trong tam giaùc SBD ñöôøng thaúng BI caét SD taïi H thì H ∈ mp(ABM) Vaäy SD ∩ mp(ABM) taïi H Daïng 4 : Chöùng minh ba ñieåm A,B,C thaúng haøng Ta chöùng minh chuùng laø ba ñieåm chung cuûa hai maët phaúng phaân bieät caét nhau Ví duï 7 : Cho töù dieän ABCD.Laàn löôït laáy treân caùc caïnh AB,AC,AD caùc ñieåm M,N,P sao cho ñöôøng thaúng MN caét ñöôøng thaúng BC taïi A’, ñöôøng thaúng NP caét ñöôøng thaúng CD taïi B’ vaø ñöôøng thaúng MP caét ñöôøng thaúng BD taïi C’ Chöùng minh ba ñieåm A’,B’,C’ thaúng haøng Giaûi Ta coù A’ ∈ MN neân A’ ∈ mp(MNP) vaø A’ ∈ BC neân A’ ∈ mp(BCD) Töông töï B’ vaø C’ laø ñieåm chung cuûa hai mp(MNP) vaø mp(BCD) Vaäy ba ñieåm A’,B’,C’ thaúng haøng treân giao tuyeán cuûa hai maët phaúng MNP vaø BCD A A M P D B C' Gb G D N B C Ga A' M B' C Daïng 5 : Chöùng minh ba ñöôøng thaúng ñoàng qui Coù 2 caùch : • • chöùng minh 3 ñöôøng thaúng naøy khoâng ñoàng phaúng vaø caét nhau töøng ñoâi moät chöùng minh 2 trong 3 ñöôøng thaúng naøy caét nhau vaø giao ñieåm cuûa chuùng ôû treân ñöøông thaúng thöù ba Ví duï 8: Cho töù dieän ABCD . Goïi Ga , Gb , Gc laàn löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc BCD, ACD, ABC. Chöùng minh AGa vaø BGb caét nhau .Suy ra ba ñöôøng thaúng AGa , BGb vaø CGc ñoàng qui Giaûi Goïi M laø trung ñieåm cuûa CD . BM laø trung tuyeán cuûa tam giaùc BCD neân troïng taâm Ga ∈ BM . AM cuõng laø trung tuyeán cuûa tam giaùc ACD neân troïng taâm Gb ∈ AM .Trong tam giaùc ABM hai ñoaïn AGa vaø BGb caét nhau taïi G Chöùng minh töông töï ba ñöôøng thaúng AGa , BGb vaø CGc khoâng ñoàng phaúng vaø caét nhau töøng ñoâi moät ,vaäy chuùng ñoàng qui taïi G www.saosangsong.com.vn Chöông 2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . Quan heä song song 9 Ví duï 9 : Cho hình choùp S.ABCD .Moät maët phaúng (P) laàn löôït caét SA, SB, SC, SD taïi A’, B’ ,C’, D’. Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD .Chöùng minh ba ñöôøng thaúng A’C’, B’D’ vaø SO ñoàng qui. Giaûi Trong maët phaúng (P) hai ñöôøng cheùo A’C’ vaø B’D’ caét nhau taïi O’ Ta coù : (SAC) ∩ (SBD) = SO Maø O’ ∈ A’C’ vaø A’C’ naèm trong mp(SAC) neân O’ ∈ mp(SAC) vaø O’ ∈ B’D’ vaø B’D’ naèm trong mp(SBD) neân O’ ∈ mp(SBD) Vaäy O’ ∈ SO giao tuyeán cuûa hai maët phaúng naøy Suy ra A’C’ , B’D’ vaø So ñoàng qui M a b Daïng 6 : Taäp hôïp caùc giao ñieåm M cuûa 2 ñöôøng thaúng a vaø b di ñoäng. • Tìm maët phaúng (P) coá ñònh chöùa a vaø maët phaúng (Q) coá ñònh chöùa b. M di ñoäng treân giao tuyeán d cuûa (P) v aø (Q). Xeùt giôùi haïn. neáu coù. • • Ví duï 10: Trong maët phaúng (P) cho hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 caét nhau taïi O.Ñieåm M di ñoäng treân ñöôøng thaúng d khoâng naèm trong maët phaúng (P) vaø khoâng quaO .Taäp hôïp caùc ñöôøng thaúng OM laømaët phaúng coá ñònh naøo? Giaûi Ñieåm O coá ñònh vaø ñöôøng thaúng d coá ñònh khoâng qua O xaùc ñònh maët phaúng (O,d) .Ñieåm M ∈ d neân OM naèm trong maët phaúng coá ñònh (O,d) A MM d E D O P N O D B I F M C Ví duï 11 : Cho töù dieän ABCD . Goïi E vaø F laàn löôït laø hai ñieåm coá ñònh treân caùc caïnh AB vaø AC sao cho EF khoâng song song vôùi BC.Ñieåm M di ñoäng treân caïnh CD a) Xaùc ñònh giao ñieåm N cuûa mp(MEF) vôùi BD b) Tìm taäp hôïp giao ñieåm I cuûa EM vaø FN Giaûi a) EF khoâng song song vôùi BC neân caét BC taïi K.Trong tam giaùc BCD ñöôøng thaúng KM caét BD taïi N.Vaäy N laø giao ñieåm cuûa mp(MEF) vôùi BD b) Ta coù I ∈ EM vaø EM naèm trong mp(ECD) coá ñònh neân I ∈ mp(ECD) I ∈ FN vaø FN naèm trong mp(FBD) coá ñònh neân I ∈ mp(FBD) Vaäy I ∈ giao tuyeán cuûa hai mp(ECD) vaø (FBD) Goïi G laø giao ñieåm cuûa BF vaø CE thì I ∈ DK giao tuyeán cuûa hai mp(ECD) vaømp(FBD) Giôùi haïn : khi M di ñoäng treân ñoaïn CD thì I di ñoäng treân ñoaïn DG Phaàn ñaûo : Goïi I laø ñieåm tuøy yù treân ñoaïn DG .EI caét CD taïi M vaø FI caét BD taïi N .Vaäy I laø giao www.saosangsong.com.vn Chöông 2. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . Quan heä song song 10 ñieåm cuûa EM vaø FN P Daïng 7: Thieát dieän ( maët caét) cuûa hình (H) khi caét bôûi mp(P). • Thieát dieän laø phaàn chung cuûa mp(P) vaø hình (H) • Xaùc ñònh thieát dieän laø xaùc ñònh giao tuyeán cuûa mp(P) vôùi caùc maët cuûa hình (H). Thöôøng ta xaùc ñònh giao tuyeán ñaàu tieân cuûa (P) vaø moät maët naøo ñoù ( tìm 2 ñieåm chung). Sau ñoù keùo daøi giao tuyeán naøy ta tìm ñöôïc caùc ñieåm chung khaùc vôùi caùc maët khaùc. Töø ñoù tìm ñöôïc caùc giao tuyeán tieáp theo. Ña giaùc giôùi haïn bôûi caùc ñoaïn giao tuyeán naøy kheùp kìm thaønh thieát dieän caàn tìm.. L M N Trong hình beân, tam giaùc MNL laø thieát dieän cuûa maët phaúng (P) vaø hình choùp. Ví duï 12 : Cho hình choùp S.ABCD. Laáy ñieåm A’ treân caïnh SA Xaùc ñònh thieát dieän cuûa mp(A’CD) vôùi hình choùp Giaûi Goïi O laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cheùo AC vaø BD cuûa maët ñaùy .Trong tam giaùc SAC, SO caét A’C taïi O’.Trong tam giaùc SBD , DO’ caét SB taïi B’. Vaäy thieát dieän cuûa hình choùp vôùi mp(A’CD) laø töù giaùc A’B’CD S A' B' C.Baøi taäp reøn luyeän D I A 2.1 Hình choùp coù ñaùy laø luïc giaùc thì coù bao nhieâu maët beân vaø bao nhieâu caïnh 2.2 Cho töù dieän ABCD.Laàn löôït laáy treân caùc caïnh AB,AC vaø BD caùc ñieåm M.N,P sao cho MN caét BC taïi E vaø AD caét MP taïi F a) Xaùc ñònh giao tuyeán cuûa hai mp(MNP) vaø mp(BCD) Xaùc ñònh giao tuyeán cuûa hai mp(MNP) vaø mp(ACD) b) Chöùng minh CD, EP vaø NF ñoàng qui O B C 2.3 Cho hình choùp S.ABCD ,giaû söû AD vaø BC caét nhau taïi E .Goïi I vaø J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA vaø SB , ñieåm M löu ñoäng treân caïnh SD a) Tìm giao tuyeán cuûa hai mp(SAD) vaø mp(SBC) Tìm giao tuyeán cuûa hai mp(SAC) vaø (SBD) b) Tìm giao ñieåm N cuûa SC vôùi mp(MIJ) c) Tìm taäp hôïp giao ñieåm H cuûa IN vaø JM 2.4 Cho töù dieän ABCD .Laáy ñieåm M treân caïnh AB vaø N treân caïnh AD sao cho MN vaø BD khoâng song song .Goïi O laø ñieåm trong tam giaùc BCD.Tìm giao tuyeán cuûa mp(OMN) vôùi caùc mp(BCD), mp(ABC) vaø mp(ACD) 2.5 Cho töù dieän ABCD .Laáy ñieåm P treân ñöôøng thaúng BD khoâng thuoäc ñoaïn BD. Trong mp(ABD) ñöôøng thaúng qua P caét hai caïnh AB vaø AD laàn löôït taïi E vaø F .Trong mp(BCD) ñöôøng thaúng qua P caét hai caïnh BC vaø CD laàn löôït taïi M vaø N . a) Boán ñieåm E,F,M,N coù thuoäc maët phaúng khoâng? www.saosangsong.com.vn