Nội dung

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa H ÌNH H ỌC 10 Ch ư ơng 2. Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng http://www.saosangsong.com.vn/ Save Your Time and Money Sharpen Your Self-Study Skill Suit Your Pace 2 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng §1.Tích vô hướng của hai vectơ A .Tóm tắt giáo khoa : 1 . Góc giữa hai vectơ : a) Góc hình học : Góc hình học là hình tạo bởi hai tia có chung gốc .Số đo a ( tính bằng độ ) của một góc hình học thỏa : 0o ≤ a ≤ 180o • Nếu 0o ≤ a ≤ 90o và a không phải là góc đặc biệt (0o ;30o ; 45o ;60o ;90o ) càc giá trị lượng giác của a được tính bằng máy tính bỏ túi y G • Nếu 90o < a ≤ 180o , ta dùng góc bù để tính giá a trị lượng giác của a : G sin a = sin(180o − a ) b cos a = − cos(180o − a ) tan a = − tan(180o − a ) O x G G G b) Góc giữa hai vectơ : Cho 2 vectơ a ; b ( ≠ 0 ) ; JJJG G JJJG G G G Vẽ các vectơ OA = a ; OB = b Góc AOB được gọi là góc giữa 2 vectơ a ; b G JJG Ký hiệu : (a, b) 2 . Tích vô hướng của hai vectơ : GG G G a ) Định nghĩa : Tích vô hướng của hai vectơ a , b ký hiệu là a.b là một số xác định bởi : JGG G G G G a.b = a b cos(a, b) cot a = − cot(180o − a ) b) Tính chất : GG GG a.b = b.a G G G JGG G G a.(b + c) = a.b + ac G G G G G JJG (k a )b = k (a.b) = a.(kb) D C Ta cũng có các kết qủa sau : G2 G 2 GG G G a = a ; a.b = 0 ⇔ a ⊥ b A F E B Chú ý : Sử dụng các tính chất ta sẽ có các hệ thức : JJG G G2 G G G2 (a + b) 2 = a + 2a.b + b G G G G G2 G2 (a + b)(a − b) = a − b JJJG JJJG c) Công thức hình chiếu : Cho hai vectơ bất kỳ , AB ; CD . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C , D xuống đường thẳng AB . Ta có công thức : JJJG JJJG JJJG JJJG AB.CD = AB.EF d) Công thức về tọa độ : G G Cho các vectơ : a = ( a1 , a2 ) ; b = (b1 , b2 ) . Ta có các công thức : 2 www.saosangsong.com.vn/ 3 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng G 2 2 a = a1 + a2 GG a.b = a1b1 + a2b2 G G a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 = 0 G G a1b1 + a2b2 cos(a, b) = 2 2 2 2 a1 + a2 . b1 + b2 3 . Áp dụng : JJJG JJJG Bài toán 1 : Tìm tập hợp điểm M thỏa : MA.MB = k (1) ( A , B cố định ; k là hằng số ) Gọi I là trung điểm của AB , ta có : JJJG JJG JJJG JJG (1) ⇔ ( MI + IA)( MI + IB ) = k ⇔ MI 2 − IA2 = k ⇔ IM 2 = k + IA2 • k + IA2 > 0: Tập hợp các điểm M là đường tròn ( I , k + IA2 ) • k + IA2 = 0: Tập hợp các điểm M là : { I } • k + IA2 < 0 : Tập hợp các điểm M là tập rỗng Bài toán 2 : Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . Cho đường tròn tâm I JJJ , bán kính R và một điểm M . Một đường thẳng bất kỳ qua M cắt đường G JJJG tròn taị A và B . Biểu thức MA.MB được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (I) . Ta có : JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJG JJJG JJJG Ρ M /( I ) = MA.MB = MB.MB ' = ( MI + IB).( MI + IB ') JJJG JJG T = MI 2 − IB 2 (do IB ' = − IB) A = MI 2 − R 2 Chú ý : Do biểu thức trên , ta cũng có : Ρ M /( I ) = MT 2 ( MT là tiếp tuyến vẽ từ M đến đường tròn (I) ) M B I B' B . Giải toán : Dạng toán 1 : Sử dụng máy tính fx-500MS để tính giá trị lượng giác của một góc Ví dụ 1 : Tính các giá trị sau a) sin 65o 43'36"; b) tan(62o 25'16"); c) cot(42o12 ') Giải : Ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ Deg Rad Gra 1 2 Ấn phím 1 để chọn đơn vị đo góc là độ a) Ấn liên tíêp các phím : sin 6 5 o’” 4 3 o’” 3 6 o’” = 0,9115 b) Ấn liên tiếp các phím :tan 6 2 o’” 2 5 o’” 1 6 o’” = 1,9145 c) Ấn liên tiếp các phím : 1 ÷ tan 4 2 o’” 1 2 o’” = 1,1028 Vậy sin 65o 43'36" = 0,9115; tan(62o 25'16") = 1,9145;cot(42o12 ') = 1,1028 Ví dụ 2 : Tính x biết : a) sinx = 0,3502 b) tanx = 2 c) cotx = 2,619 Giải : 3 www.saosangsong.com.vn/ 4 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng a) Ấn liên tiếp các phím : shift sin 0 . 3 5 0 2 = o’” màn hình hiện lên 20o 29 '58" Vậy : x = 20o 29 '58" b) Ấn liên tíêp các phím : shift tan 2 = o’” màn hình hiện lên Vậy : x = 63o 26 '5" 63o 26 '5" c) Án liên tiếp các phím :shift tan ( 1 ÷ 2 . 6 1 9 ) = o’” màn hình hiện lên Vậy : x = 20o 53'53" 20o 53'53" Dạng toán 2 : Tính giá trị lượng giác của góc giữa 2 vectơ Ví dụ 1 :JJJ Cho hình JG JJJ G vuông JJJG ABCD JJJJJG ; tính giá trị lượng giác của góc giữa các cặp vectơ sau : ( AC ; BC ) . (CA ; DC ) Giải : Ta cóJJJ : G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG : BC = AD ⇒ ( AC , BC ) = ( AC , AD ) = DAC = 45o JJJG JJJG 2 Do đó : sin( AC , BC ) = sin 45o = 2 JJJG JJJG 2 cos( AC , BC ) = cos 45o = 2 JJJG JJJG JJJG JJJG o tan( AC , BC ) = tan 45 = 1 = cot( AC , BC ) JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Tương tự , vẽ CE = DC ; α = (CA, DC ) = (CA, CE ) = 135o và ta có : 2 − 2 ;cos α = cos135o = − cos 45o = ; 2 2 tan α = tan135o = − tan 45o = −1; cot α = −1 sin α = sin135o = sin 45o = B A D E C (vì 135o ; 45o bù nhau ) Ví dụ 2 : Cho JJJG hình JJJG chữ nhật JJJG ABCD JJJG có AB = 4cm ; AD =3cm . Tính các góc : a = ( AC , AD ) ; b = (CA, BC ) Giải : Ta có : a = góc CAD Suy ra : CD 4 = = 1,333 ⇒ a = 53o 7 ' tan a = AD 3G JJJG JJJG JJJG JJJ JJJG JJJG b = (CA, BC ) = (CA, CE ) ; (CE = BC ) Suy ra b = gócACE .Mà gócACE và góc CAD bù nhau Nên b = 180o − 53o 7 ' = 126o53 ' C D Dạng toán 3 : Tinh tích vô hướng Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 3a . M , N là hai điểm thuộc cạnh AC sao cho AM = MN = NC Tính những JJJ tích vôG hướng G JJJ JJJG Jsau JJG : JJJJG JJJG AB. AC ; AC.CB ; BM .BN Giải : Ta có JJJG JJJG 1 9a 2 o AB. AC = AB. AC cos 60 = 3a.3a. = 2 2 B A E A M N B C 4 www.saosangsong.com.vn/ E 5 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng JJJG JJJG JJJJGJJJJG JJJJGJJJG Vẽ CE = AC ; ( AC , CB ) = (CE ,CB ) = BCE = 120o JJJG JJJG −1 −9a 2 o AC.CB = AC.CB cos120 = 3a.3a.( ) = 2 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG BM .BN = ( AM − AB )( AN − AB ) JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG 2 = AM . AN − AB. AM − AB. AN + AB = AM . AN cos 0o − AB. AM cos 60o − AB. AN cos 60o + AB 2 1 1 = a.2a.1 − 3a.a ( ) − 3a.2a ( ) + 3a.3a 2 2 13 2 = a 2 Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , trọng tâm G ; JJJG M là m ểmJG trJJJ ênGđường thẳng (d) qua G và JJJộGt điJJJ vuông góc với cạnh BC . Chứng minh rằng ( MA + MB + MC ).BC = 0 Giải : JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG Ta có : MA + MB + MC = 3MG ⇒ ( MA + MB + MC ).BC = 3MG.BC = 0 vì MG ⊥ BC Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD cJJJ ạnh bằng ; GJJJG M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD . G JJJJ G aJJJJ Tính các tích vô hướng sau : AB. AM ; AM AN Giải : Ta có : JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG 2 JJJG JJJJG AB. AM = AB( AB + BM ) = AB + AB.BM JJJG JJJJG JJJG JJJJG = a 2 + 0 = a 2 ( AB ⊥ BM ⇒ AB.BM = 0) JJJJGJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG AM AN = ( AB + BM )( AD + DN ) JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG = AB. AD + AB.DN + BM . AD + BM .DN = 0 + AB.DN cos 0o + BM . AD cos 0o + 0 B A M D C a a N = a. .1 + .a.1 = a 2 ( AB ⊥ AD; BM ⊥ DN ) 2 2 Dạng toán 4 : Sử dụng định lý chiếu JJJG JJJG JJJG JJJG Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A và AB.CB = 4 ; AC.BC = 9 . Tính ba cạnh của tam giác Giải : Ta có JJJ:G C JJJGhình JJJG chiếu2 xuống đường thẳng AB lần lượt là A , B .Do đó : JJJ,G B có 4 = AB.CB = AB. AB = AB ⇒ AB = 2 . Tương tự : C JJJG JJJG JJJG JJJG 2 9 = AC.BC = AC. AC = AC ⇒ AC = 3 BC = AB 2 + AC 2 = 4 + 9 = 13 Ví dụ 2 : Cho ABC JJJG tam JJJgiác JG JJJ G . Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức: BC.(2 AM − BC ) = 0 (1) Giải : JJJJG JJJG JJJG 2 (1) ⇔ 2 AM .BC = BC JJJJG JJJG BC 2 ⇔ AM .BC = 2 B Gọi A’ , M’ lần lượt là hình chiếu của A , M xuống đường AA A' M M' B C 5 www.saosangsong.com.vn/ 6 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng JJJJG JJJG JJJJJJG JJJG JJJJJJG JJJG BC 2 thẳng BC , theo định lý hình chiếu , ta có : AM .BC = A ' M '.BC Do đó : A ' M '.BC = >0 2 JJJJJJG JJJG Suy ra 2 vectơ A ' M ' , BC cùng hướng JJJJJJG JJJG BC 2 BC 2 BC ⇔ A ' M '.BC = ⇔ A'M '= Do đó ; A ' M '.BC = 2 2 2 Vậy điểm M’ cố định ( vì A’ cố định và BC khôngđổi ) Do đó : Tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) vuông góc với BC tại M’ Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có ba đường caoJJJJJ là :GAA’ GọiG JJJ MG, N , P lần lượt là JJJG , BB’ JJJJJG,CC’. JJJG JJJJ trung điểm của BC , CA , AB . Chứng minh : A ' M .BC + B ' N .CA + C ' P. AB = 0 Giải : Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp và H là trực tâm của tam giác , ta có : A’ , B’ , C’ lần lượt là hìmh chiếu của H xuống BC , CA , AB . M , N , PJJJJJ lần lưGợt làJJJhìmh G JJJ G JJJGchiếu của O xuông BC , CA , AB Do đó : A ' M .BC = HO.BC (theo định lý hình chiếu ) N Tương tự JJJJJ : G JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG B' B ' N .CA = HO.CA : C ' P. AB = HO. AB JJJJJG JJJG JJJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JG Do đó : A ' M .BC + B ' N .CA + C ' P. AB = HO.( BC + CA + AB ) = HO.O = 0 Dạng toán 5 : Chứng minh một hệ thức giữa các độ dài A JJJG 2 Ta thường sử dụng các tính chất của tích vô hướng và tính chất AB = AB 2 C A' M O C' P B Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có góc BAC = 120o ; AB =3 ; AC = 6 Tính cạnh BC Giải : Ta có JJJG 2 JJJG JJJG JJJG 2 JJJGJJJG JJJG 2 BC 2 = BC = ( AC − AB) 2 = AC − 2 AC AB + AB = 36 − 2.6.3cos120o + 9 = 36 + 18 + 9 = 63 ⇒ BC = 63 = 3 7 Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC trọng tâm G ; BC = a ; CA = b ; AB = c JJJG JJJG AB 2 + AC 2 − BC 2 a) Chứng minh rằng AB. AC = 2 b) Tính AG theo ba cạnh a , b , c Giải : JJJG JJJG AB 2 + AC 2 − BC 2 JJJG 2 JJJG JJJG JJJGJJJG Ta có : BC 2 = BC = ( AC − AB ) 2 = AC 2 + AB 2 − 2 AC AB ⇔ AB. AC = 2 Gọi M là trung điểm của BC , ta có : JJJG 2 JJJJG 2 1 JJJG JJJG AG = AM = . ( AB + AC ) 3 3 2 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 2 1 1 AG 2 = AG = ( AB + AC ) 2 = ( AB 2 + AC 2 + 2 AB. AC ) 9 9 1 1 = (b 2 + c 2 + b 2 + c 2 − a 2 ) = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 9 9 1 Vậy : AG = 2b 2 + 2c 2 − a 2 3 6 www.saosangsong.com.vn/ 7 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD tâm là O , cạnh bằng a .Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có : MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4 MO 2 + 2a 2 Giải : Ta có : JJJG 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG MA2 = MA = ( MO + OA) 2 = MO 2 + OA2 + 2MO.OA JJJG 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG MB 2 = MB = ( MO + OB) 2 = MO 2 + OB 2 + 2 MO.OB JJJJG 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG MC 2 = MC = ( MO + OC ) 2 = MO 2 + OC 2 + 2 MO.OC JJJJG 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG MD 2 = MD = ( MO + OD)2 = MO 2 + OD 2 + 2MO.OD JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4MO 2 + 4OA2 + 2MO(OA + OB + OC + OD) = 4 MO 2 + 4( a 2 2 ) +0 2 = 4MO 2 + 2a 2 JJJG JJJG JJJG JJJG JG a 2 (OA + OB + OC + OD = O ; OA = OB = OC = OD = ) 2 Dạng toán 6 : Chứng minh 2 vectơ vuông góc (hay 2 đường thẳng vuông góc) G G JGJJG 1 G G G JJJG Ví dụ 1 : Cho a = 6 ; b = 4 ; cos(a,b) = Chứng minh rằng hai vectơ ( a + b) ; (a − 2b) 6 vuông góc Giải : Ta có G G G G G2 G G G G G2 GG (a + b).(a − 2b) = a − 2ab + b.a − 2b = 36 − a.b − 2.16 G G 1 1 = 36 − a b . − 32 = 36 − 6.4. − 32 = 0 6 6 G G G G ⇒ (a + b) ⊥ (a − 2b) Ví dụ 2 : Cho hình thang vuông ABCD có 2 đáy là AD = 2a ; BC = 4a ; đường cao AB = 2a 2 . Chứng minh rằng hai đừơng chéo AC và BD thì vuông góc với nhau Giải : Ta có JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AC.BD = ( AB + BC )( BA + AD) = AB.BA + AB. AD + BC.BA + BC. AD = AB.BA cos180o + 0 + 0 + BC. AD cos 0o = 2a 2.2a 2(−1) + 4a.2a.1 = −8a 2 + 8a 2 = 0 JJJG JJJG ⇒ AC ⊥ BD Vậy hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau A D C B Dạng toán 7 : Sử dụng công thức về tọa độ Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vớí A( 10 , 5 ) ; B( 3 , 2 ) ; C( 6 , -5 ) .Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B . Giải : JJJG JJJG Ta có : AB = (3 − 10, 2 − 5) = (−7, −3) ; BC = (6 − 3, −5 − 2) = (−3, −7) 7 www.saosangsong.com.vn/ Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng JJJG JJJG JJJG JJJG Suy ra : AB.BC = ( −7).(3) + (−3).( −7) = 0 ⇒ AB ⊥ BC . Vậy tam giác ABC vuông tại B 8 Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có A( 3 , 1 ) ; B( -1 , -1 ) ; C( 6 , 0 ) a) Tính góc A của tam giác ABC . *b) Tính tọa độ giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính OC Giải : JJJG JJJG Ta có : AB = ( −4, −2) ; AC = (3, −1) JJJG JJJG −4.3 + (−2).(−1) −10 −1 = cos A = cos( AB, AC ) = = 16 + 4. 9 + 1 10 2 2 o Vậy góc A bằng 135 *b) Gọi MJJJ làGgiao điểm của đường AB kính OC , ta có : M JJJG tròn đường kínhJJJ JJJđường JG và đường tròn JG ( x , y ) ; MA = (3 − x,1 − y ); MB = (−1 − x, −1 − y ); MC = (6 − x, − y ); MO = (− x, − y ) và JJJG JJJG ⎧⎪ MA ⊥ MB ⎧⎪ MA.MB = 0 ⎧(3 − x)(−1 − x) + (1 − y )(−1 − y ) = 0 ⇔ ⎨ JJJJG JJJJG ⇔⎨ ⎨ (6 − x)(− x) + (− y )(− y ) = 0 ⎩ ⎪⎩ MC ⊥ MO ⎩⎪ MC.MO = 0 ⎧ x 2 + y 2 − 2 x − 4 = 0 (1) ⎧4 x − 4 = 0 [ (1) − (2)] ⇔⎨ 2 ⇔⎨ 2 2 2 (2) ⎩ x + y − 6x = 0 ⎩x + y − 6x = 0 x =1 ⎧ ⎪⎧ x = 1 ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ⎩1 + y − 6 = 0 ⎩⎪ y = ± 5 Vậy có hai giao điểm M : M 1 (1, − 5) ; M 2 (1, 5) Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có A( 5 , 3 ) ; B( 2 , - 1 ) ; C( -1 , 5 ) a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A Giải : tâm JJJJa) JJJtọa G Gọi H( x , y ) là G độ trực JJJ G , ta có : JJJG AH = ( x − 5, y − 3); BC = (−3, 6); BH = ( x − 2, y + 1); AC = (−6, 2) JJJJG JJJG ⎧( x − 5)(−3) + ( y − 3)(6) = 0 ⎪⎧ AH ⊥ BC ⎪⎧ AH .BC = 0 ⇔ ⎨ JJJG JJJG ⇔⎨ ⎨ ⎩( x − 2)(−6) + ( y + 1)(2) = 0 ⎪⎩ BH ⊥ AC ⎩⎪ BH . AC = 0 ⎧ x − 2 y = −1 ⎧ x = 3 ⇔⎨ ⇔⎨ 3 7 x y − = ⎩y = 2 ⎩ Vậy tọa độ trực tâm H là : H( 3 , 2 ) b) Gọi A’( ) là JJJxJG, y JJJ G tọa độ chân đường cao vẽ từ A , ta có : AA ' ⊥ BC ⇔ x − 2 y = −1 (1) ( tương tự câu a ) JJJG JJJG JJJG BA ' = ( x − 2, y + 1) ; BA ' cùng phương BC = ( −3, 6) . Suy ra : 6( x – 2 ) + 3( y + 1 ) = 0 (2) .Giải (1) và (2) ta có : x = y = 1 Vậy tọa độ chân đường cao A’ vẽ từ A là : A’( 1 , 1 ) Dạng toán 8 : Tìm tập hợp điểm JJJG JJJG JJJJG JJJG a ) ( MA + MB ).( MC − MB ) = 0 (1) Ví dụ 1 :Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJG b) MA2 + MA.MB = 0 (2) 8 www.saosangsong.com.vn/ 9 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng Giải : JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG a) Ta có : MA + MB = 2 MI ; MC − MB = BC ( I là trung điểm của AB ) JJJG JJJG ( 1 ) ⇔ 2MI .BC = 0 ⇔ MI ⊥ BC : Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) qua I và vuông góc với BC JJJG 2 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG (2) ⇔ MA + MA.MB = 0 ⇔ MA.( MA + MB ) = 0 b) JJJG JJJG ⇔ 2MA.MI = 0 ⇔ MA ⊥ MI Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI ( I là trung điểm của AB ) *Ví dụ 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJJG a2 a) MA.MC = − 4 JJJG JJJJG JJJG JJJJG b) MA.MC + MB.MD = a 2 JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG c)( MA + MB + MC ).( MA + MC ) = a 2 Giải : Gọi O là tâm hình vuông ( cũng là trung điểm AC ) . Ta có : JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG a2 a2 MA.MC = − ⇔ ( MO + OA).( MO + OC ) = − 4 4 2 JJJG JJJG a ⇔ MO 2 − OA2 = − (do OC = −OA) 4 2 2a 2 a 2 a 2 a a 2 2 ⇔ OM = OA − = − = ⇔ OM = 4 4 4 4 2 a Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng 2 TJJJ ươ ta Gcó JJJJGtự ,JJJ JJJ:JG G ng MA.MC + MB.MD = a 2 ⇔ MO 2 − OA2 + MO 2 − OB 2 = a 2 ⇔ MO 2 = a 2 ⇔ OM = a (do OA = OB = a 2 ) 2 Vậy tậpJJJhợp cácG điểm tâm , bán JJJJG M làJJJđường G JJJ JG JJJGtrònJJJ JG OJJJ JG kính bằng a Ta có MA + MB + MC = 3MG ; MA + MC = 2 MO ( G là trọng tâm tam giác ABC ) . Do đó : JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG a 2 ( MA + MB + MC ).( MA + MC ) = a 2 ⇔ MG.MO = 6 2 2 2 a a 1 a 1 a 2 2 26a 2 ) = ⇔ MJ 2 − JO 2 = ⇔ JM 2 = + ( GO) 2 = +( . 6 6 2 6 6 2 144 a 26 ⇔ JM = 12 1 1 1 a 2 ( J là trung điểm của OG ; JO = GO ; GO = BO = . ) 2 3 3 2 a 26 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng 12 Dạng toán 9 : Tính phương tích . Tính đoạn tiếp tuyến . Ví dụ 1 : Cho 4 điểm A( - 2 , 1 ) ; B( 4 , 7 ) ; M( 0 , 2) ; N(- 3 , - 5 ) Tính phương tích của điểm M , N đối với đường tròn đường kính AB 9 www.saosangsong.com.vn/ 10 Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng Giải : Ta có : tọa độ tâm I của đường tròn ( cũng là trung điểm của AB ) : −2 + 4 1 + 7 I( , ) ⇒ I( 1 , 4 ) 2 2 Ta cũng có : JJG IA = (−2 − 1,1 − 4) = (−3, −3) ⇒ R 2 = IA2 = 9 + 9 = 18 JJJG IM = (0 − 1, 2 − 4) = (−1, −2) ⇒ Ρ M /( I ) = IM 2 − R 2 = (1 + 4) − 18 = −13 JJG IN = (−3 − 1, −5 − 4) = (−4, −9) ⇒ Ρ N /( I ) = IN 2 − R 2 = (16 + 81) − 18 = 79 Ví dụ 2 : Cho 4 điểm A( - 2 , - 1 ) ; B( - 1 , 4 ) ; C( 4 , 3 ) ; M( 5 ,- 2 ). Chứng minh rằng điểm M ở ngoài đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và tính đoạn tiếp tuyến MT vẽ từ M đến đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC ( T là tiếp điểm ) Giải : Gọi I ( x , y ) là tâm đường tròn (ABC) ,ta có : JJG JJG JJG IA = ( x + 2, y + 1) ; IB = ( x + 1, y − 4) ; IC = ( x − 4, y − 3) 2 2 ⎧ ( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 = ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 ⎪⎧ IA = IB ⇔ ⎨ 2 ⎨ 2 2 2 2 2 ⎩( x + 2) + ( y + 1) = ( x − 4) + ( y − 3) ` ⎩⎪ IA = IC ⎧ x + 5y = 6 ⎧x =1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩3x + 2 y = 5 ⎩ y = 1 Suy ra : I( 1 , 1 ) ; MI 2 = (5 − 1) 2 + (−2 − 1) 2 = 16 + 9 = 25 ; R 2 = IA2 = 9 + 4 = 13 Do đó : Ρ M /( ABC ) = MI 2 − R 2 = 25 − 13 = 12 ⇒ MI > R Vậy điểm M ở ngoài đường tròn (ABC) Ta cũng có : MT 2 = Ρ M /( ABC ) = 12 ⇔ MT = 12 = 2 3 . C . Bài tập rèn luyện : 2 .1 Cho tam đều bằng a . Tinh các tích vô huớng JJJG JJJ JJJG JJJ JJJG JJJcạnh G giác JG ABC G JJJ G sau : AB.GB ; AB.CM ; AB ( AB − 2 AC ) ( G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của BC ) 2 . 2 .Cho vuông tại A : AB = 3 ; AC = 4. TJJJ ínGhJJJ cá óc Gcg JJJ JGJJJG JJJGtam JJJGgiác ABC JJJG JJJ G ( AB, BC ) ; ( AC , BC ) và các tích vô hướng sau : AB.BC ; AC .BC 2. 3 .Cho tam giác ABC vuông tại A ; AB = G3 ,JAC = 4 . Trên tia AB lấy điểm D sao cho JJJJG JJJ JJG JJG BD = 4 Tính các tích vô hướng sau : BC .BD ; AC.BI ( I là trung điểm của CD ) 2 .4 . Cho tam giác ABC đềuJJJ , cGạJnh ng làGtrọn JJG bằ JJJ G JaJJG, GJJJJ JJJG g tâm tam giác ; M là một điểm bất kỳ . Chứng minh rằng T = ( MA.GB + MB.GC + MC.GA ) có giá trị không đổi . Tính giá trị này . 2 .5 . Cho hình vuông ABCD , cạnh bằng a . Dùng định lý hình chiếu tính các tích vô hướng sJJJ au : G JJJJG JJJG JJJG JJJG G JJJ JJJG JJJG JJJG JJJG AB.BD ; ( AB + AD ).( BD − BC ) ; (OA + OB + OC ). AB ( O là tâm hình vuông ) * 2 .6 . Cho tam giác ABC đều , cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJG JJJJG 3a 2 (CA + 2 BC ).CM = 4 2 . 7 .Cho tam giác ABC có trọng tâm là G .Chứng minh rằng : 10 www.saosangsong.com.vn/