Nội dung

PHẨN THỨ H A I HÌNH ĐA D I Ệ N . HÌNH L ồ i . BIÊN HÌNH. DỰNG HÌNH Các nội dung chủ yêu của hình học sơ cấp được t r ì n h bày ở phần này nhằm giúp học viên cao học có cơ sở nghiên cứu sâu sắc hơn các v ấ n đề tương ứng được xét trong giáo t r ì n h toán học ở trường phô thông. Ngoài mửc đích nói t r ê n vấn đề h ì n h đa diện, h ì n h lồi, biến hình, dựng hình n ê u trong phần thử hai này còn là những vấn để cơ sở soi sáng các giáo trình tự chọn cho học sinh ờ trường phô thông trung học p h â n ban thuộc khoa học tự nhiên. K h i t r ì n h bày các nội dung nói t r ê n c h ú n g tôi đã chú trọng phướng p h á p định hướng tìm tòi lời giải các bài toán, chú trọng khắc phửc những khó k h ă n về mặt phương p h á p giải các bài t o á n dựng hình, các bài toán giải được bằng phương p h á p biên h ì n h và t r ì n h bày các tính chất của các phép biên hình nhờ sử dửng công cử véctơ, tạo môi liên k ế t trong giữa các chương mửc k h á c nhau của giáo t r ì n h toán học ở trường phổ thông. CHƯƠNG H I HÌNH ĐA D I Ệ N VÀ HÌNH L ồ i §1. Góc n h ị d i ê n và góc tam d i ệ n 1. Đinh nghĩa góc nhị diên và góc tam d i ệ n Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phảng cắt nhau theo giao tuyến a. Dường thẳng a phân chia mỗi mặt phang (P), (Q) thành hai nửa mặt phang. Kí hiệu a và (3 là hai nửa mặt phang tương ứng thuộc (P) và (Q) (H. 25 ). Hình tạo bởi hai nửa mặt phang a và p được gọi 81 là góc nhị diện; các nửa mặt phang a, p gọi là mặt của góc nhị diện; đường thẳng a gọi là cạnh của góc nhị diện. Một mặt phang (R) vuông góc vối a cắt a và p theo các nửa đường thắng p, q tạo t h à n h góc phang nhị diện. ọ p Vì các góc có cạnh tương ứng song song và cùng chiều thì bằng nhau nên t ấ t cả các góc phang của a \L góc nhị diện bằng nhau. Số đo của (H.25) góc phang nhị diện ọ gọi là số đo của góc nhị diện. Vì vởy, cp nhởn giá trị n h ư sô đo góc giữa hai tia trong mặt phang, nghĩa là: ũ < ọ < 7T . C h ú ý: Cần p h â n biệt góc giữa hai m ặ t phang (P ), (Q) và góc nhị diện tạo bởi hai nửa m ặ t phang a và p . Hai m ặ t phang (P), (Q) cắt nhau tạo t h à n h bốn góc nhị diện có số đo (pi thoa m ã n : 0 < (Pi < 71. Vì tổng bốn góc bằng 2 71 n ê n ắ t phải có một góc c h ă n g hạn: 0 < (pj < —. Lúc đó, (p, là số đo góc giữa (P) và (Q). , „ „. .. TI Vây: (p = (p, n ê u 0 < (p < — ọ + ọ, = n n ê u — < (p Giả sử a, b, c là ba nửa đường t h ắ n g k h ô n g cùng n ằ m trong một mặt phang, xuất p h á t từ một điểm s. Các nửa đường thang a, b, c tạo t h à n h ba góc (a,b); (b,c); (c,a) ( h ì n h 26). Hình tạo bơi ba góc (a,b); (b,c); (c,a) được gọi ìầgóc tam diện, các nửa đường thẳng a, b, c gọi là các cạnh của góc tam diện, các 82 góc phang (a,b); (b,c) ; (c,a) gọi là mặt (góc phang) của góc tam diện. Các m ặ t phảng của các góc (a,b) và (a,c) cắt nhau theo đường thang chứa a. Các nửa m ặ t phang của hai m ặ t phang trên tương ứng chứa b và c tạo t h à n h một góc nhị diện. Góc nhị diện này được gọi là góc nhị diện của góc tam diện, có canh a (g"óc nhị diện đôi diện với góc phang (b.c)). a \ \ A. 2. Đ ị n h lý h à m s ô c ô s i n v à đ i n h lý h à m s ô s i n đ ô i với g ó c t a m d i ê n c a bi c \ (H.26) Đ ị n h l ý 1: Nếu ạ, p, ỵ là các góc phang của một góc tam diện và c là góc nhị diện đôi diện với góc phang a thi: cosa = cos/ỉ COSỴ+ sin/3 sinỵcosC. Chứng minh: Không l à m m ấ t tổng q u á t đ ặ t a = (a,b); p = (b,c) ; y = (c,a) „ , 71 (hình 26). G i ả sử 0 < a, p, Y < y . Trong trường hợp p = y = ÍT 2 định lí được k i Ỵ m tra trực t i ế p . Nêu một trong hai góc p , y tù, chẳng h ạ n Ỵ > — t h ì xét tia đôi a' của a qua s và xét góc tam diện tạo bởi ả, b, c. Mặt phang (R) vuông góc với c t ạ i c cắt a, b tương ứng t ạ i các điỴm A,R. Giả sử se = Ì , khi đó: 83 BC = tgp; AC = toy: SB = , SA=—— cosP cosy Áp dụng định lý h à m sốcôsin đối với các tam giác ABC và SAB ta có: 2 A B = t ^ p + tg*y - 2tg ptgycosC Ì Ì AB = — — + —— Và: (1) 2 cosa (2) cospcosy Từ c á c đẳng thức (1) và (2) suy ra: COS'P COS ý Ì Ì 2 „ n ^ 2cosa ——• - tg p + —4- - tg Y + 2tgptgycosC = ' cos p o COS y Ì + tgptgycosC = cospcosy cosa cos|3cosv <=> cosPcosy + sin Ị3sinycosC = cosa Đ ị n h lý 2: (Định lý h à m sô sin). Nếu a, p, y là các góc phang của góc tam diện; A, B, c tương ứng là các góc nhị diện đôi diện với chúng thỉ: since sinp siny sinA sinB sinC Chứng minh: Đặt t r ê n cạnh c của góc tam diện điểm M sao cho SM = 1. Gọi H là hình chiếu vuông gáo của M trên mặt phang chứa các canh a, b. Dựng HA Ì a và H B Ì b (H.27). K h i đó, Ả = MAU; ố = MBH . Từ tam giác vuông MSB suy ra: M B = sina. Từ tam giác vuông M B H nh n được M H = MB.smB = sina.sinB. 84 M ặ t k h á c , t ừ các tam giác vuông MSA và M H A , suy ra M H = sinp sin A. So s á n h các đẳng thức t r ê n ta có: sincc.smB = sinp.sinA since sinp —— = — sinA sinB s L hay Tương tự ta chứng minh được: sinP siny sinB sinC Vậy: sina sinp siny sinA sinB sinC 3. Góc tam d i ê n đôi cực: Giả sử a, b, c là các cạnh của góc tam diện đỉnh s. M ặ t phang của góc (b, c) p h â n chia không gian t h à n h hai nửa k h ô n g gian. Vẽ qua s nửa đường t h ắ n g a' vuông góc với mặt phang (b, c) và thu c nửa không gian k h ô n g chứa nửa đường thang a. Tương tự, dựng các nửa đương thang b', c' v u ô n g góc vối các mặt phang chứa các góc (a,c); (a,b) tương ứng. c ã (H.28) Góc tam diện có các cạnh ai, b', c' được gọi là góc tam đôi cực của góc tam diện (a. b, c) (hình 28). diện Dễ d à n g k i ể m tra tính đôi cực của góc tam diện là đối xứng, nghĩa là nêu góc tam diện (à", b', c') là đối cực của góc tam diện (a, b, c) thì góc tam diện (a, b, c) là góc tam diện đối cực của góc tam diện (a', b', c'). Từ các tính chất của đương thẳng và mặt phang vuông góc suy ra: các góc phang và góc tam diện đôi cực tường ứng bù với các góc nhử diện cùa góc tam diện đã cho. Ví dụ: góc phang (ly, é") bù với nhử diện cạnh a của góc tam diện (a, b, c). Đ ị n h lý 3: Nếu A, B, c là các góc nhị diện của góc tam ỵ là góc phăng đôi diện với góc nhi diện c cosC = - cosAcosB + diện, thì: sinAsinBcosỵ. Đửnh lý này là hệ quả của đửnh lý 2, và sử dụng tính chất của góc tam diện đôi cực. 4. Các bất đ ắ n g thức đôi với g ó c tam d i ê n Đ ị n h lý 4: Trong một góc tam diện, tông của hai góc phang khác. mỗi góc phang bé hơn Chứng minh: Giả sử oe, p, 7 là các góc phang của góc tam diện. Theo đửnh lý 2 ta có: cosy = cos a.cosp + sina.sinp.cosC. Vì cosC > - Ì và sin p, sin a > 0 nên cosy > cosa.cosp sina.sinp, hay cosy > cos(a + p). Do h à m số côsin nghửch biến trong khoảng (0, 7c) suy ra Y < a + p . Định lý 5: Tông các góc phang trong một góc tam diện bé hơn 2ĩT. (Để nghử bạn đọc tự chứng minh). 86 Đ ị n h lý 6: Tống lì ơn các góc nhị diện của một góc tam diện lớn JT. Chứng minh: G i ả sử oe, p , 7 t ư ơ n g ứ n g là độ l ớ n c á c góc n h ị d i ệ n c ạ n h a, b, c của góc t a m d i ệ n Sabc. T ổ n g độ l ố n c á c góc p h a n g của góc tam d i ệ n đ ố i cực Sa'b'c' của góc t a m d i ệ n Sa be t h ỏ a m ã n : b'Sc' + c'Sa' + a'Sb' < 271 ( đ ị n h lý 5). Theo t í n h c h ấ t góc tam d i ệ n đôi cực ta có: (71 - a ) + (ri - p, 4 (71 - y) < 271 h a y 7t < a + p + y. N g ư ờ i ta x á c đ ị n h đ ộ l ớ n của góc t a m d i ệ n S A B C đ ỉ n h s là: ọ + Ố + C - TI. T r o n g đó, A . B . C SB, t ư ơ n g ứ n g là độ l ớ n góc n h ị d i ệ n c ạ n h SA, SC. Đ i n h lý 7: Độ lớn của một góc tam mặt phang tông diện được đi qua một một phân cạnh góc tam chia thành diện là sô dương hai băng băng Theo đ ị n h lý 6, t ô n g c á c góc n h ị d i ệ n của m ộ t góc t a m diện diện được phẫn diện diện đã cho độ lớn của hai góc tam thi độ lớn góc tam góc tam nếu và chia. Chứng minh: l ớ n h ơ n TI, suy ra: A + B+ c -71 > 0. G i ả sử m ặ t p h a n g ( S A M ) c h i a góc t a m d i ệ n S A B C t h à n h góc t a m của d i ệ n S A M B v à S A M C . G ọ i t ô n g đ ộ lớn các góc n h ị góc t h ứ n h ấ t l à à + (3 + ý', của hai diện góc t h ứ h a i là a" + y + 7 ", t r o n g đó a", a" c h u n g c ạ n h SA; ý', y" c h u n g c ạ n h S M . K h i đó, độ l ố n của góc t a m d i ệ n t ư ơ n g ứ n g l à : a'+p+y'-7t v à n ( h ì n h 29). G i ả sử A ] , A , , ... , A„ l à giao của m ặ t p h a n g (a) v ớ i c á c c ạ n h của góc đ a d i ệ n s. Do góc đ a d i ệ n s l ồ i suy r a đ a giác p v ớ i c á c đ ỉ n h A , , A , 2 A lồi. n X é t góc đ a d i ệ n s v à c á c góc t a m d i ệ n v ớ i c á c đ ỉ n h A j , Ao, .... A . T ỗ n g t ấ t c ả c á c góc p h a n g t ạ o t h à n h t ừ c á c góc c ủ a đ a g i á c p n là roi - 2n. T ỗ n g c á c góc c ủ a c á c t a m g i á c A Ị A Ọ S , A A S , . . . , A A j S 2 3 n bằng n i . Từ đó tỗng t ấ t cả các góc phang bằng 2n7i - 271. T r o n g m ỗ i góc t a m d i ệ n đ ỉ n h A , góc p h a n g t h u ộ c đ a g i á c p k b é h ơ n t ô n g c ủ a h a i góc k h á c . Vì t h ê t ô n g t ấ t cả c á c góc p h a n g t ì m được ở t r ê n l ố n h ơ n ( n u - 2n ).2 + d ( d l à t ỗ n g c á c góc p h a n g ở đ ỉ n h s ) , n g h ĩ a l à ( me - 271 ).2 + d < 2n7t - 271. T ừ đ ó d < 2%. N g ư ờ i t a g ọ i độ lớn c ủ a m ộ t góc đ a d i ệ n S A i A . . . A „ l à h i ệ u 2 c ủ a t ô n g đ ộ l ớ n t ấ t cả c á c góc n h ị d i ệ n c ủ a n ó v à t ô n g đ ộ lớn t ấ t cả c á c góc t r o n g c ủ a đ a g i á c A j A 2 ...An n h ậ n được t ừ giao đ i ể m c ủ a m ộ t m ặ t p h a n g (oe) v ớ i t ấ t cả các c ạ n h c ủ a góc đ a d i ệ n . Đinh một điểm l ý 2: Độ lớn của một góc đa diện góc đa diện chung đa diện thành là hợp hai góc đa diện trong thỉ độ lớn của nó băng luôn chung tổng dương và nêu mặt và không có độ lớn của các góc phần. C h ứ n g minh: Tính cộng được c ủ a độ l ớ n góc đ a d i ệ n m i n h , chỉ c ầ n chia góc đ a diện t h à n h dễ dàng chứng c á c góc t a m d i ệ n (xem 89 định lý 7, §.1). Từ sự p h â n chia t h à n h các góc tam d i ệ n suy ra độ lớn bất kì góc đa diện n à o cũng dương. Đ i n h lý 3: Tong độ lớn các góc đa diện có đỉnh chung, không có điểm chung trong và hợp của chúng là toàn bộ không gian bằng ẩn. Chứng minh: Dễ d à n g kiêm tra, độ lớn của một góc tam diện vuông (ba góc phang đều vuông bằng — . Ba mặt phang đôi một vuông góc p h â n hoạch k h ô n g gian t h à n h t á m góc tam diện vuông. Tổng độ lớn của c h ú n g bằng 8— = 471. Từ trên và t í n h cộng dược suy ra tổng độ lớn của góc đa diện bất kì bằng 47t. §3. H ì n h đ a d i ệ n 1. T h ể h ì n h h ọ c Giả sồ G là một h ì n h t r ê n mặt phang. Điểm X của hình G được gọi là điểm trong n ê u t ồ n t ạ i s > 0 sao cho t ấ t cả các điểm M thuộc mặt phang mà khoảng cách d(X, M) < 8 , đều thuộc G. H ì n h G dược gọi là miền nếu mỗi đ i ể m của nó đều là điểm trong và có t h ê nối hai điểm bất kì của nó bằng một đường gấp k h ú c cũng thuộc hình G. Ví dụ: Hình tròn k h ô n g kể đường tròn biên là một miền. Giả sồ G là một miền trên mặt phang. Điểm X thuộc mặt phàng được gọi là điếm biên đôi với miền G, nêu V e > 0 tìm được 90