Nội dung

Hình. 10.2 Tách lại các lực trong Hình 10.1 thành các thành phần trên một phần tử nhỏ tại điểm O. Các quy ƣớc dấu đƣợc thể hiện nhƣ hình nhỏ phía trên. x sin cos sin 0 (10 – 2a) y cos sin cos 0 (10 – 2b) Giải phương trình 10 – 2a và 10 – 2b đồng thời theo x ( x sin 2 y y x cos 2 y x 2 x ) sin cos 2 y 2 y , ta được và (10 – 3) cos2 (10 – 4) sin 2 Nếu lấy bình phương hai vế sau đó cộng hai phương trình này , sẽ được phương trình của một vòng tròn với bán kính ( x y ) / 2 có tâm tại điểm ( x y ) / 2;0 . Khi vẽ hình tròn này lên hệ trục ~ , như trên Hình. 10.3b với phần tử trên Hình.10.3a, nó được gọi là vòng tròn ứng suất Mohr (Mohr, 1887). Vòng tròn này đặc trưng cho trạng thái ứng suất tại một điểm ở lúc cân bằng, và được áp dụng cho nhiều loại vật liệu chứ không chỉ riêng với đất. Chú ý rằng khi vẽ vòng tròn Mohr từ các công thức này thì tỷ lệ của và phải giống nhau. Do trên các mặt thẳng đứng và nằm ngang trong Hình.10.2 và Hình.10.3a không có các thành phần ứng suất cắt tác dụng nên gọi là các mặt phẳng chính. Do đó các ứng suất x và y là các ứng suất chính. Ta đã nghiên cứu trong Sức bền vật liệu, các thành phần ứng suất chính tác 0 . Ứng suất có cường độ lớn nhất được gọi là ứng suất chính dụng trên mặt phẳng ở đó có lớn nhất (the major principal stress), ký hiệu là 1 . Ứng suất chính với cường độ nhỏ nhất được 125 gọi là ứng suất chính nhỏ nhất 2 . Trong Hình 10.3b, 2 3 , và ứng suất theo phương thứ ba là ứng suất chính trung gian, được bỏ qua do đây là bài hai hướng (ứng suất phẳng). Tuy nhiên, ta có thể vẽ thêm hai vòng tròn Mohr ứng với 1 - 3 và 2 - 3 để hoàn thiện biểu đồ Mohr, như trên Hình 10.3c. Bây giờ ta có thể viết Pt. 10 – 3 và 10 – 4 theo các thành phần ứng suất chính: 1 2 1 2 1 3 2 3 2 cos2 (10-5) sin 2 Ở đây ta đã tùy ý giả sử rằng (10-6) x 1 và y 3 . Nên kiểm tra nếu hệ tọa độ ( , ) trên Hình. 10.3b có thể được xác định bằng các Pt. 10-5 và 10-6. Từ các phương trình này, cũng thấy rằng gốc của hệ trục tọa độ của vòng tròn Mohr là 1 3 1 2 / 2;0 , với bán kính / 2. Bây giờ ta có thể tính toán ứng suất pháp và ứng suất cắt trên mặt phẳng nghiêng góc bất kỳ khi đã xác định được các thành phần ứng suất chính. Thực tế, ta dễ dàng có thể suy ra các phương trình cho trường hợp tổng quát, trong đó x và y không phải nằm trên các mặt phẳng chính. Các phương trình này gọi là các phương trình góc kép (double angle equations), thường gặp trong các giáo trình về Sức bền vật liệu. Sử dụng phương pháp giái tích đôi lúc khá phức tạp trong thực tế vì góc kép; do đó phương pháp đồ giải được ưa dùng hơn, nó dựa trên một điểm duy nhất trên vòng tròn Mohr gọi là cực hay gốc của các mặt phẳng. Điểm này có một đặc tính rất hữu ích: bất kỳ đường thẳng nào vẽ qua điểm cực sẽ cắt vòng tròn Mohr tại một điểm mà nó sẽ cho biết trạng thái của ứng suất trên mặt phẳng nghiêng với cùng phương trong không gian như đường thẳng. Khái niệm này có nghĩa là nếu biết trạng thái ứng suất, và trên một số mặt phẳng trong không gian, ta có thể vẽ một đường thẳng song song với mặt phẳng đó trong hệ trục của và trên vòng tròn Mohr. Điểm cực ở đây chính là giao điểm của đường thẳng đó với vòng tròn Mohr. Khi điểm cực đã được xác định, thì có thể tìm được các thành phần ứng suất trên bất cứ mặt phẳng nào, đơn giản bằng cách vẽ một đường thẳng từ điểm cực song song với mặt phẳng; các tọa độ của điểm giao với vòng Mohr chính là các thành phần ứng suất trên mặt phẳng đó. Một số ví sau dụ sẽ minh họa cách thức tiến hành phương pháp cực. 126 Hình 10.3 Vòng tròn Mohr ứng suất: (a) phần tử lúc cân bằng; (b) Vòng tròn Mohr; (c) Vòng tròn Mohr bao gồm cả 2 Ví dụ 10.1 Cho biết: 127 Các thành phần ứng suất trên một phân tố như trên Hình. Ví dụ . 10.1a Yêu cầu: Xác định ứng suất pháp và ứng suất cắt trên mặt phẳng nghiêng góc 350 so với mặt phẳng quy chiếu nằm ngang. Giải: 1. Vẽ vòng tròn Mohr theo tỷ lệ thích hợp (xem Hình. Ví dụ . 10.1b). Tâm của vòng tròn = Bán kính của vòng tròn = 1 2 2 1 3 2 52 12 2 32kPa 52 12 2 20kPa 2. Xác định gốc của các mặt phẳng hay điểm cực. Sẽ dễ dàng hơn nếu dùng mặt phẳng nằm ngang mà 1 tác động trên nó. Trạng thái của ứng suất trên mặt phẳng này được chỉ ra thông qua điểm A trên Hình. Ví dụ . 10.1b. Vẽ một đường thẳng song song với mặt phẳng trên đó ứng suất ( 1 , 0) tác động (mặt phẳng nằm ngang) qua điểm có tọa độ 1 và 0. Theo định nghĩa, điểm cực P là điểm đường này cắt vòng tròn Mohr. [Trùng hợp ngẫu nhiên, nó cắt tại ( 3 , 0 )]. 350 so với mặt phẳng nằm ngang sẽ song song Đường thẳng A đi qua điểm cực nghiêng góc với mặt phẳng trên phân tố trong Hình.Ví dụ .10.1a, đây cũng là mặt phẳng mà trên đó ta cần tính ứng suất pháp và ứng suất cắt. Giao điểm là điểm C trên Hình.Ví dụ .10.1b, ta thấy rằng 39kPa và = 18.6 kpa. Có thể kiểm tra lại các kết quả này bằng cách sử dụng các Pt. 10-5 và 10-6. Chú ý rằng là dương vì điểm C xuất hiện ở phần trên trục hoành. Do đó chiều của trên mặt phẳng nghiêng góc 350 được xác định như trên Hình.Ví dụ .10.1.c và d, nó đại diện cho phần đỉnh và đáy của phân tố đã cho. Với cả hai phần, phương hay chiều của ứng suất cắt là như nhau và ngược nhau (như nó vẫn thế). Tuy nhiên, chúng đều là ứng suất cắt dương theo quy ước dấu (Hình 10.2). 128 Hình Ví dụ .10.1 129 10.3 Quan hệ ứng suất – biến dạng và tiêu chuẩn phá hoại Trước đây, trong phần giới thiệu ở Chương 8, ta đã đề cập ngắn gọn một số quan hệ ứng suất – biến dạng. Phần này, ta sẽ đi sâu hơn cũng như minh họa một số vấn đề ở đã nêu. Trên Hình.10.4a là đường cong ứng suất – biến dạng của thép non (thép ít cacbon). Từ vị trí ban đầu đến giới hạn tỷ lệ (proportional limit) hay điểm chảy (yield point) là đàn hồi tuyến tính. Điều này có nghĩa là khi ứng suất đặt vào vẫn còn nằm dưới điểm chảy, vật liệu sẽ trở lại đúng hình dạng ban đầu khi ứng suất được giải phóng. Tuy nhiên, vẫn có vật liệu với đường cong ứng suất – biến dạng là phi tuyến mà vẫn đàn hồi, như trên Hình.10.4b. Chú ý rằng cả hai trường hợp quan hệ ứng suất – biến dạng này đều không phụ thuộc vào thời gian. Nếu yếu tố thời gian là một biến số thì vật liệu được gọi là đàn - nhớt. Một số loại vật liệu ngoài thực tế như phần lớn đất và polim là đàn – nhớt. Vậy tại sao ta không dùng lý thuyết đàn – nhớt để mô tả ứng xử của đất? vấn đề là đất có ứng xử ứng suất – biến dạng - thời gian với tính phi tuyến cao, và không may là chỉ có lý thuyết tuyến tính toán học đàn dẻo phát triển tốt là có khả năng giải quyết. 130 Hình.10.4 Các ví dụ về quan hệ ứng suât – biến dạng của các vật liệu lý tƣởng và thực: (a) thép non, (b) đàn hồi phi tuyến, (c) đàn hồi lý tƣởng, (d) đàn dẻo, (e) giòn, và (f)tăng bền và giảm bền Chú ý rằng cho đến nay ta vẫn chưa hề đề cập đến sự phá hoại hay chảy dẻo. Thậm trí các vật liệu đàn hồi tuyến tính chảy dẻo, như minh họa trên Hình.10.4a, nếu ứng suất đặt vào đủ lớn. Ở giới hạn tỷ lệ, vật liệu được cho là trở thành dẻo hay thành chảy dẻo. Ứng xử của các vật liệu trong thực tế có thể được lý tưởng hóa bằng một vài quan hệ của ứng suất – biến dạng, như trên Hình.10.4 c, d, và f. Các loại vật liệu dẻo lý tưởng (Hình.10.4c), trong nhiều trường hợp còn gọi là vật liệu – dẻo cứng, có thể được xử lý tương đối dễ dàng bằng toán học, do đó chúng là các đối tượng nghiên cứu phổ biến của các nhà cơ học và toán học. Quan hệ ứng suất - biến dạng có tính thực tiễn cao hơn là đàn – dẻo (Hình.10.4d). Vật liệu là đàn hồi tuyến tính đến điểm chảy (yield 131 point) y ; sau đó nó trở thành dẻo lý tưởng (perfectly plastic). Chú ý cả vật liệu dẻo lý tưởng và đàn dẻo vẫn tiếp tục biến dạng ngay cả khi không tác dụng thêm tải trọng. Đường cong ứng suất biến dạng với thép non có thể coi gần giống như đường cong ứng suất - biến dạng của vật liệu đàn dẻo, lý thuyết này rất hữu ích ví dụ như trong gia công, cán và cắt gọt kim loại. Nhiều trường hợp, các loại vật liệu như gang, bê tông và đá có tính giòn, do đó chúng thể hiện rất ít biến dạng khi ứng suất tăng lên. Vì vậy, tại điểm nào đó, vật liệu sẽ bị phá hoại hay nghiền vụn một cách đột ngột (Hình.10.4e). Phức tạp hơn nhưng cũng rất thường gặp đối với nhiều loại vật liệu là dạng quan hệ ứng suất - biến dạng như trên Hình.10.4f. Các loại vật liệu tăng bền, như chính tên gọi của nó đã chỉ ra, trở nên cứng hơn (độ cứng cao hơn) khi chúng bị biến dạng hay “ chịu tải trọng”. Chỗ lồi nhỏ trên đường cong ứng suất - biến dạng của thép non sau điểm chảy (Hình.10.4a) là một ví dụ của tăng bền. Rất nhiều các loại đất cũng là vật liệu tăng bền, ví dụ như các loại sét chặt và cát xốp. Các vật liệu giảm bền (Hình10.4f) cho thấy sự giảm về ứng suất khi bị biến dạng phía trên điểm có ứng suất lớn nhất. Các loại sét nhạy và cát chặt là những ví dụ của vật liệu giảm bền. Tại điểm nào trên đường cong ứng suất – biến dạng xuất hiện sự phá hoại? ta có thể gọi điểm chảy là điểm „phá hoại‟ nếu muốn. Trong một số điều kiện, nếu vật liệu chịu ứng suất đến điểm chảy, sự biến dạng hay độ uốn lớn đến nỗi mà nó bị phá hoại nếu tiếp tục được sử dụng. Điều này có nghĩa là vật liệu sẽ không đảm bảo nếu chịu thêm tải. Ứng suất tại thời điểm phá hoại thường rất khó đoán biết, đặc biệt là với các loại vật liệu phi tuyến. Tuy nhiên với các loại vật liệu giòn, vấn đề khi nào vật liệu bị phá hoại lại không khó trả lời. Thậm trí với các vật liệu giảm bền (Hình.10.4f), đỉnh của đường cong hay ứng suất lớn nhất thường được định nghĩa chính là vị trí phá hoại. Trong trường hợp khác, với một số loại vật liệu dẻo thì điều này lại không rõ ràng. Xác định vị trí phá hoại ở đâu nếu có đường cong ứng suất – biến dạng - tăng bền (Hình.10.4f)? Với các loại vật liệu như vậy, ta thường định nghĩa điểm phá hoại tại một số phần trăm biến dạng, ví dụ như, 15 hoặc 20%, hay tại một biến dạng hay chuyển vị tại đó chức năng của kết cấu có thể bị suy yếu. Bây giờ chúng ta cũng có thể định nghĩa độ bền của một vật liệu. Nó là ứng suất lớn nhất hoặcứng suất chảy hay ứng suất ở biến dạng nào đó mà ta xác định là ‟phá hoại‟ Như đã đề xuất trong phần trên, có rất nhiều cách định nghĩa sự phá hoại với các vật liệu thực; nói cách khác, có rất nhiều tiêu chuẩn phá hoại. Phần lớn các tiêu chuẩn không áp dụng được cho đất, và thực tế tiêu chuẩn áp dụng mà ta nghiên cứu ở phần sau được sử dụng không phải lúc nào cũng áp dụng được. Tuy vậy, tiêu chuẩn phá hoại được áp dụng phổ biến nhất cho đất là tiêu chuẩn phá hoại Mohr – Coulomb. 10.4 Tiêu chuẩn phá hoại Mohr – Coulomb Mohr hay Otto Mohr được biết đến với sự nổi tiếng của vòng tròn Mohr. Coulomb lại được biết đến với khái niệm về hệ số ma sát Coulomb, lực hút và lực đẩy tĩnh điện, giữa những khái niệm khác. Xung quanh diễn biến của thế kỷ này, Mohr (1900) đã đưa ra một tiêu chuẩn phá hoại cho các vật liệu thực theo đó ông cho rằng vật liệu bị phá hoại khi ứng suất cắt trên mặt phẳng phá hoại đạt đến một hàm duy nhất nào đó của ứng suất pháp trên mặt đó, hay ff f( ff ) (10.7) 132 Trong đó là ứng suất cắt và là ứng suất pháp. Chỉ số f đầu tiên liên quan đến mặt phẳng mà trên đó ứng suất tác dụng lên (trong trường hợp này là mặt phá hoại) và chỉ số f thứ hai nghĩa là “tại lúc phá hoại.” ff được gọi là cường độ chống cắt của vật liệu, và quan hệ này được biểu thị bằng Pt.10- 7 như trên Hình.10.5a. Hình 10.5b cho thấy một phần tử tại thời điểm phá hoại với các ứng suất chính gây ra phá hoại và các ứng suất pháp và tiếp phát sinh trên mặt phẳng phá hoại. Hiện tại, ta sẽ giả thiết rằng có tồn tại một mặt phá hoại, đây không phải là một giả thiết tồi với các loại đất, đá và nhiều loại vật liệu khác. Ngoài ra, lúc này ta không cần quan tâm đến làm thế nào các ứng suất chính tại thời điểm phá hoại được đặt vào phần tử (mẫu thí nghiệm hay phần tử đại diện ngoài hiện trường) hay làm sao xác định được chúng. Dù thế nào đi nữa, nếu ta biết các thành phần ứng suất tại thời điểm phá hoại, ta có thể dựng được (vẽ, phác họa) một vòng tròn Mohr đặc trưng cho trạng thái ứng suất của phần tử này. Tương tự, ta có thể tiến hành một số thí nghiệm đến phá hoại hay đo đạc các ứng suất phá hoại của một số phần tử ở thời điểm phá hoại, và dựng các vòng tròn Mohr tương ứng với mỗi phần tử hay thí nghiệm tại thời điểm phá hoại. Quy trình này được thể hiện trên Hình.10.6. Chú ý rằng chỉ vẽ nửa phía trên của các vòng tròn Mohr, trong cơ học đất để thuận tiện. Do các vòng tròn Mohr được xác định tại thời điểm phá hoại, ta hoàn toàn có thể tìm được giới hạn của đường bao phá hoại của ứng suất cắt. Đường bao này được gọi là đường bao phá hoại Mohr, cho biết mối quan hệ hàm số giữa ứng suất cắt ff và ứng suất pháp ff tại thời điểm phá hoại (Pt.10-7). 133 Hình.10.5 (a) Tiêu chuẩn phá hoại Mohr; (b) phần tử tại thời điểm phá hoại, cho biết các ứng suất chính và các ứng suất trên mặt phá hoại. Chú ý rằng bất cứ vòng tròn Mohn nào nằm phía dưới đường bao phá hoại Mohr (ví dụ đường tròn A trên Hình.10.6) đặc trưng cho điều kiện ổn định. Hiện tượng phá hoại chỉ xuất hiện khi tổ hợp của ứng suất cắt và ứng suất tiếp làm cho vòng tròn Mohr tiếp xúc với đường bao phá hoại. Cũng chú ý rằng không tồn tại những đường tròn nằm phía trên đường bao phá hoại Mohr (như đường tròn B trong Hình.10.6). Vật liệu sẽ bị phá hoại trước khi đạt đến trạng thái ứng suất đó. Nếu với mỗi loại vật liệu xác định, đường bao phá hoại này là duy nhất thì điểm tiếp xúc của đường bao phá hoại cho ta các điều kiện ứng suất trên mặt phá hoại tại thời điểm phá hoại. Do đó nếu dùng phương pháp điểm cực ,ta có thể xác định góc của mặt phá hoại từ điểm tiếp xúc của vòng tròn Mohr và đường bao phá hoại Mohr. 134