Nội dung

GIÁO ÁN TOÁN ĐẠI SỐ 12 CỰC TRỊ HÀM SỐ Tiết 4: Đ2 - Cực trị của Hàm số. (Tiết 1) Ngày dạy: A - Mục tiêu: - Nắm vững khái niệm cực đại, cực tiểu địa phương. Phân biệt được với khái niệm giá trị lớn nhất nhỏ nhất. - Nắm vững các điều kiện đủ để hàm số có cực trị. B - Nội dung và mức độ: - Khái niệm cực đại, cực tiểu. - Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Định lý 1 và quy tắc 1. - Ví dụ 1 C - Chuẩn bị của thầy và trò: - Sách giáo khoa và các biểu bảng. - Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS. D - Tiến trình tổ chức bài học:  Ổn định lớp: - Sỹ số lớp: - Nắm tình hình sách giáo khoa, sự chuẩn bị bài tập của học sinh.  Bài mới: Hoạt động 1: ( kiểm tra bài cũ) Chữa bài tập 3 trang 11: Chứng minh rằng hàm số y = x nghịch biến trên từng khoảng (x 1 2 ; 1) và (1; + ). Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Hàm số xác định trên R và có y’ = 1  x2 2 1  x  2 . Ta có y’ = 0  x =  1 và xác định x  R. Ta có bảng: x y’ - -1 - 0 y 1 + 0 + - 1 2 - Gọi một học sinh lên bảng trình bày bài tập đã chuẩn bị ở nhà. - Cho tính thêm các giá trị của hàm số tại các điểm x =  1. - Dùng bảng minh hoạ đồ thị của hàm số và nêu câu hỏi: Hãy chỉ ra điểm cao nhất, điểm thấp nhất của đồ thị so với các điểm xung quanh ? - Dẫn dắt đến khái niệm điểm cực trị của đồ thị hàm số. 1 2 Kết luận được: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (- ; 1) và (1; + ). Đồ thị của hàm số y = x x2 1 I - KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU Hoạt động 2: Đọc và nghiên cứu định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm số. (SGK - trang 12) Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Đọc và nghiên cứu định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm số. (SGK - trang 12) - Tổ chức cho học sinh đọc. nghiên cứu định nghĩa về cực đại, cực tiểu của hàm số. - Phát biểu ý kiến, biểu đạt nhận thức của bản thân. - Thuyết trình phần chú ý của SGK. II - ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Hoạt động 3:(Dẫn dắt khái niệm) Lấy lại ví dụ trong hoạt động 1, với yêu cầu: Hàm số y = x có cực trị hay không ? Tại sao ? x 1 2 Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Chỉ ra được hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1, giá trị cực tiểu y = đại y = - Gọi học sinh chỉ ra các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số: 1 . Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực 2 y= 1 . 2 x x 1 2 - Phát biểu nhận xét về sự liên hệ giữa đạo hàm và các điểm cực trị của hàm số. Phát biểu định lí 1. - Từ bảng, nhận xét được sự liên hệ giữa đạo hàm và các điểm cực trị của hàm số. Hoạt động 4:(Dẫn dắt khái niệm) Hãy điền vào các bảng sau: x y’ x0 - h x0 - x0 + h + y CT Hoạt động 5: Chứng minh định lí 1 Hoạt động của học sinh - Hoạt động theo nhóm: Đọc, thảo luận phần chứng minh định lí 1 (SGK) - Phát biểu quan điểm của bản thân về cách chứng minh định lí, nhận xét về cách biểu đạt, trình bày của bạn. - Nêu được quy tắc tìm các điểm cực trị. Hoạt động của giáo viên - Tổ chức cho học sinh hoạt động theo nhóm với nhiệm vụ: Đọc, thảo luận phần chứng minh định lí 1 (SGK) - Kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh: Gọi đại diện của nhóm chứng minh định lí - Phát biểu quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số ( Quy tắc 1) - Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh. Hoạt động 6: (Củng cố) Tìm các điểm cực trị của hàm số: y = f(x) = x(x2 - 3) Hoạt động của học sinh - Giải bài tập theo hướng dẫn của giáo viên. - Tham khảo SGK. Hoạt động của giáo viên - Hướng dẫn học sinh tìm cực trị của hàm số đã cho theo từng bước mà quy tắc 1 đã phát biểu. - Gọi học sinh thực hiện. - Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh. Hoạt động 7: (Củng cố) Tìm cực trị ( nếu có) của hàm số y = f(x) = x Hoạt động của học sinh  x ví i x >0 nên hàm  x ví i x <0 - Ta có y = f(x) = x =  số xác định trên tập R và có:  1 ví i x >0 y’ = f’(x) =  (chú ý tại x = 0  1 v í i x < 0  Hoạt động của giáo viên - Hướng dẫn học sinh tìm cực trị của hàm số đã cho theo từng bước mà quy tắc 1 đã phát biểu. - Gọi học sinh thực hiện. - Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh. hàm số không có đạo hàm). - Chú ý cho học sinh thấy được: Hàm số - Ta có bảng: y = f(x) = x không có đạo hàm tại x = x - y’ 0 - + || 0 nhưng vẫn đạt CT tại đó. + 0 y CT Suy ra hàm đạt CT tại x = 0 ( y = 0) Tiết 5: Cực trị của Hàm số. (Tiết 2) Ngày dạy: A - Mục tiêu: - Nắm vững khái niệm cực đại, cực tiểu địa phương. Phân biệt được với khái niệm giá trị lớn nhất nhỏ nhất. - Nắm vững các điều kiện đủ để hàm số có cực trị. - Áp dụng được vào bài tập. B - Nội dung và mức độ: - Định lý 2 và quy tắc 2 - Các ví dụ 2, 3. - Luyện kỹ năng áp dụng các quy tắc 1, 2 để tìm cực trị của hàm số. C - Chuẩn bị của thầy và trò: - Sách giáo khoa và các biểu bảng. - Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS. D - Tiến trình tổ chức bài học:  Ổn định lớp: - Sỹ số lớp: - Nắm tình hình sách giáo khoa, sự chuẩn bị bài tập của học sinh.  Bài mới: Hoạt động 1: ( Kiểm tra bài cũ và Dẫn dắt khái niệm) Gọi học sinh chữa bài tập 1 trang 17: Áp dụng quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10 c) y = x + Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên a) Tập xác định của hàm số là tập R. - Gọi 2 học sinh lên bảng trình bày bài giải đã chuẩn bị ở nhà. y’ = 6x2 + 6x - 36; y’ = 0  x = - 3; x = 2. - Giao cho các học sinh bên dưới: Ta có bảng: x y’ - 1 x -3 2 + + ở câu a) tính thêm y”(- 3); y”(2). + ở câu b) tính thêm y”(- 1); y”(1). y CĐ - 54 71 CT - Phát vấn: Quan hệ giữa dấu của đạo hàm cấp hai với cực trị của hàm số ? + 0 0 + - Giáo viên thuyết trình định lí 2 và Quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số. Suy ra yCĐ = y(- 3) = 71; yCT = y(2) = - 54 b) Tập xác định của hàm số là R \  0 . 1 x2  1 y’ = 1 - 2 = ; y’ = 0  x = - 1; x = 1. x x2 Lập bảng, suy ra: yCĐ= y(-1) = - 2; yCT = y(1) = 2 Hoạt động 2: (Luyện tập. củng cố) Tìm các điểm cực trị của hàm số: y = f(x) = 1 4 x - 2x2 + 6 4 Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Tập xác định của hàm số: R - Gọi 2 học sinh thực hiện bài tập theo 2 cách: Một học sinh dùng quy tắc 1, một học sinh dùng quy tắc 2 và so sánh các kết quả tìm được. f’(x) = x3 - 4x = x(x2 - 4); f’(x) = 0  x =  2; x = 0. Quy tắc 1: Lập bảng xét dấu của f’(x) để suy ra các điểm cực trị. x f’ f - -2 - 0 2 0 + 0 CĐ 2 - 0 2 + + - Chú ý cho học sinh: + Trường hợp y” = 0 không có kết luận gì về điểm cực trị của hàm số. + Khi nào nên dùng quy tắc 1, khi nào nên dùng quy tắc 2 ? - Đối với các hàm số không có đạo hàm cấp 1 (và do đó không có đạo hàm cấp 2) thì không thể dùng quy tắc 2. Suy ra: fCT = f( 2) = 2; fCĐ =f(0) = 6 Quy tắc 2: Tính f”(x) = 3x2 - 4 nên ta có: f”(  2) = 8 > 0  hàm số đạt cực tiểu tại x =  2 và fCT = f( 2) = 2. f”(0) = - 4 < 0  hàm số đạt cực đại tại x = 0 và fCĐ = f(0) = 6. T 6 CT Hoạt động 3: (Luyện tập. củng cố) Tìm các điểm cực trị của hàm số : y = f(x) = sin2x Hoạt động của học sinh f’(x) = sin2x, f’(x) = 0  2x = k   x = k Hoạt động của giáo viên  2 f”(x) = 2cos2x nên suy ra:  2 nÕu k =2l+1   lZ  = 2cos k =   2  2 nÕu k =2l f”  k Suy ra: x =  + l là các điểm cực đại của hàm số. 2 x = l là các điểm cực tiểu của hàm số. - Hướng dẫn học sinh thực hiện giải bài tập theo quy tắc 2. (dễ dàng hơn do không phải xét dấu f’(x) - là hàm lượng giác). - Củng cố định lí 2 và quy tắc 2. Phân biệt các giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. - Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh. Hoạt động 4: (Củng cố) Có thể áp dụng quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số y = f(x) = Hoạt động của học sinh 1   2 x nÕu x >0 y’ = f’(x) =  nên có bảng: 1  nÕu x <0  2  x y’ y - 0 - || được không ? Tại sao ? Hoạt động của giáo viên - Thấy được hàm số đã cho không có đạo hàm cấp 1 tại x = 0, tuy nhiên ta có: x x + + - Hướng dẫn học sinh khá: Hàm số không có đạo hàm cấp 1 tại x = 0 nên không thể dùng quy tắc 2 (vì không có đạo hàm cấp 2 tại x = 0). Với hàm số đã cho, có thể dùng quy tắc 1, không thể dùng quy tắc 2. - Củng cố: Hàm số không có đạo hàm tại x0 nhưng vẫn có thể có cực trị tại x0. 0 CT - Suy ra được fCT = f(0) = 0 ( cũng là GTNN của hàm số đã cho. Bài tập về nhà: Làm các bài tập còn lại ở trang 17 - 18 (SGK). Tiết 6: Cực trị của Hàm số. (Tiết 3) Ngày dạy: A - Mục tiêu: - Có kĩ năng thành thạo tìm cực trị của hàm số. - Giải được loại toán về cực trị của Hàm số có chứa tham số. - Củng cố kiến thức cơ bản. B - Nội dung và mức độ: - Củng cố kiến thức về cực trị của Hàm số. - Chữa bài tập cho ở tiết 4 - 5. - Chú trọng các bài tập có chứa tham số. C - Chuẩn bị của thầy và trò: - Sách giáo khoa, sách bài tập. - Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS. D - Tiến trình tổ chức bài học:  Ổn định lớp: - Sỹ số lớp: - Nắm tình hình sách giáo khoa, sự chuẩn bị bài tập của học sinh.  Bài mới: Hoạt động 1: ( Kiểm tra bài cũ) Chữa bài tập 1 trang 17: Áp dụng quy tắc 1, hãy tìm cực trị của các hàm số sau: d) y = f(x) = x 2  2x  3 x 1 Hoạt động của học sinh d) Tập xác định của hàm số: R \  1 e) y = g(x) = x3(1 - x)2 Hoạt động của giáo viên - Gọi 2 học sinh thực hiện bài tập đã chuẩn bị ở nhà. x 2  2x  1 y’ = f’(x) = ; y’ = 0  2  x  1  x 1  2   x 1  2 - Hướng dẫn học sinh tính cực trị của hàm số phân thức: y = f(x) = Lập bảng xét dấu của f’(x) và suy ra được: fCT = f(1 + 2 ) = 2 2 ; fCĐ = f(1 - 2)=-2 2. yCĐ = fCĐ = g '  x C§  ; h '  x C§  e) Tập xác định của hàm số: R  x 0  3 2 y’ = g’(x) = x (1 - x)(3 - 5x); y’ = 0   x  5   x 1  g(x) . h(x) yCT = fCT = g '  x CT  h '  x CT  - Củng cố quy tắc 1. - Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh. Lập bảng xét dấu của g’(x), suy ra được: 108  3  =  5  3125 gCĐ = g  Hoạt động 2: ( Kiểm tra bài cũ) Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: c) y = f(x) = sin2x + cos2x Hoạt động của học sinh c) Hàm số xác định trên tập R. y’ = f’(x) = 2(cos2x - sin2x).   y’ = 0  tg2x = 1  x =  k . 8 2 y” = f”(x) = - 4(sin2x + cos2x) nên ta có: d) y = g(x) = 10 1  sin 2 x Hoạt động của giáo viên - Gọi 2 học sinh thực hiện bài tập đã chuẩn bị ở nhà. - Củng cố quy tắc 2. - Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh.         k  = - 4  sin   k   cos   k   2 8  4   4 f”   4 2 nÕu k =2m  4 2 nÕu k =2m +1 m Z =     m  = 8  Kết luận được: fCĐ = f   5   m  =  8  fCT = f  m Z 2 2 d) Hàm số xác định trên tập R. y’ = g’(x) =  y” = 10sin 2x 2  1  sin x  2 ; y’ = 0  x = k  20cos 2x  1  sin 2 x   20sin 2 2x 2  1  sin x  3  20cos k 2   g”  k  =    2  2   1  sin  k    2     20  0 nÕu k =2m  5 >0 nÕu k =2m +1 =  Kết luận được: Hàm đạt cực đại tại x = m; yCĐ = 10. Hàm đạt cực tiểu tại x =   m ; yCT = 5 2 Hoạt động 3: ( Kiểm tra bài cũ) Chữa bài tập 4 trang 18:  2 nên suy ra Xác định m để hàm số: y = f(x) = x 2  mx  1 x m đạt cực đại tại x = 2. Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên - Phát vấn: - Hàm số xác định trên R \   m và ta có: Viết điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x = x0 ? x 2  2mx  m 2  1 y’ = f’(x) = 2  x  m - Củng cố: - Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì f’(2) = 0, tức là:  m  1  m  3 m2 + 4m + 3 = 0   x 2  2x x2  x 1 a) Xét m = -1  y = và y’ = 2 .  x  1 x1 Ta có bảng: x y’ y - 0 + 0 1 - 2 - 0 + + CĐ + Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực đại tại điểm x = x0: Có f’(x0) = 0 (không tồn tại f’(x0)) và f’(x) dổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0. + Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực tiểu tại điểm x = x0: Có f’(x0) = 0 (không tồn tại f’(x0)) và f’(x) dổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x0. - Phát vấn: Suy ra hàm số không đạt cực đại tại xCT = 2 nên giá trị m Có thể dùng quy tắc 2 để viết điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) đạt cực đại = - 1 loại. (cực tiểu) tại x0 được không ? x 2  6x  8 x 2  3x  1 b) m = - 3  y = và y’ = 2  x  3 x 3 - Gọi học sinh lên bảng thực hiện bài tập. Ta có bảng: Hoạt động 4: (Củng cố) Chữa bài tập 3 trang 17: Chứng minh rằng hàm số y = - x không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực đại tại điểm đó. Hoạt động của học sinh - Chứng minh được hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = 0. Hoạt động của giáo viên - Gọi học sinh lên bảng thực hiện giải bài tập. - Lập bảng để tìm được yCĐ = y(0) = 0. Hoặc có thể lý luận:  y(x) 0 x   y(0) 0 - HD: Hàm số y = - x không có đạo hàm tại x = 0 vì: lim x 0  yCĐ = y(0) = 0. Bài tập về nhà: Hoàn thiện các bài tập ở trang 17 - 18.  x y(x)  y(0) lim   x 0  x 0  x  1 x  0 =   1 x  0