Nội dung

Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Phương trì nh chứa ẩn ở căn thức Ví dụ : Giải phương trì nh: 1  2 x  x2  x  1  x 3 Giải: ĐK 0  x  1. Để giải phương trì nh này thì rõ ràng ta phải tìm cách loại bỏ căn thức. Có những cách nào để loại bỏ căn thức ? Điều đầu tiên chúng ta nghĩ tới đó là lũy thừa hai vế. Vì hai vế của phương trì nh đã cho luôn không âm nên bì nh phương hai vế ta thu được phương trì nh tương đương. 2 2   (1)  1  x  x2   3    x  1 x  2  1 4 4 x  x 2  (x  x 2 )  1  2 x  x 2 3 9   2(x  x 2 )  x  x 2  0  x  x 2 2 x  x 2  3  0  x  x2  0  x  0; x  1    .  3 2 VN 0   x  x  4 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trì nh: x  0;x  1. Qua lời giải trên ta thấy được thức  x  1 x  2 x  x 2 sẽ biểu diến được qua x  1  x nhờ vào đẳng  1  2 x  x 2 (*) .Cụ thể nếu ta đặt t  x  1  x thì t2  1 xx  và khi đó phương trì nh đã cho trở thành phương trì nh bậc hai với ẩn là 2 t2  1 t: 1   t  t 2  3t  2  0  t  1; t  2 . 3 2 x  x 2  0  x  1 x 1   x  0; x  1 . Vậy ta có:   x  1  x  2  VN 0 (VT  2) 2 Việc thay thế biểu thức x  1  x bằng một ẩn mới là t (mà ta gọi là ẩn phụ) là một suy nghĩ hoàn toàn phù hợp với tự nhiên ( chúng ta nhớ lại là chúng ta đang tì m cách làm mất căn thức !). Cách làm như thế này ta thường gặp trong cuộc sống hằng ngày của chúng ta, chẳng hạn khi chúng ta đi xa không tiện cho việc mang theo tiền mặt ta có thể đổi qua đô la, hay thẻ ATM, séc,…Cũng như việc chuyển đổi tiền ở trên, để làm mất căn thức ta tìm cách đặt một biểu thức chứa căn thức nào đó bằng một biểu thức ẩn mới sao cho phương trì nh ẩn mới có hình thức kết cấu đơn giản hơn phương trì nh ban đầu. Đặt biểu thức chứa căn nào bằng biểu thức ẩn mới như thế nào là vấn đề quan trọng nhất, bước làm này quyết định đến có được lời giải hay không và lời giải đó tốt hay dở. Để chọn được được cách đặt ẩn phụ thích hợp thì ta cần phải tìm được mối quan hệ của các biểu thức tham gia trong phương trì nh như ở cách giải trên ta đã tạo được mối quan hệ đó là đẳng thức (*). Có nhiều cách để tạo ra mối quan hệ giữa các đối tượng tham gia GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 1 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh trong phương trì nh chẳng hạn ở phương trì nh trên ngoài đẳng thức (*) ta còn có mối quan hệ giữa các biểu thức tham gia trong phương trì nh:    x 2  1 x  2  x  1  x  1 (**) mà từ phương trì nh ta rút được một căn thức qua 3 1 x  3 3t  3 . Do đó nếu đặt t  1  x  x  thay vào 2t  3 2 1 x  3 (**) và biến đổi ta thu được phương trì nh t(t  1)(2t 2  4t  3)  0  t  0,t  1 hay x  0,x  1 là nghiệm của phương trì nh. Phương trì nh đã cho chỉ chứa tổng và tích của hai căn thức, đồng thời hai căn thức thỏa mãn (**) do vậy ta có thể đặt a  x , b  1  x thì từ phương trì nh đã cho kết hợp với  2 1  ab  a  b (**) ta có hệ phương trì nh:  3 đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ này ta a 2  b 2  1  được nghiệm của phương trì nh là x=0 và x=1. Bản chất cách giải này chính là cách đặt ẩn phụ t  1  x mà ta đã giải ở trên . Tiếp tục nhận xét thì đẳng thức (**) giúp ta liên tưởng đến đẳng thức nào mà ta biết ? Chắc hẳn các bạn sẽ dễ dàng trả lời được đó là đẳng thức lượng giác: sin 2   cos 2   1 . Điều này dẫn đến cách giải sau:  Đặt x  sin 2 t, t  [0; ] (Điều này hoàn toàn hợp lí vì x  [0;1] ). Khi đó phương trì nh 2 đã cho trở thành: 2 1  sin t.cos t  sin t  cos t  3(1  sin t)  (1  sin t)(1  sin t)(2sin t  3)  0 3 sin t  1  x  1 x  1 x  1    .  2 x  0 3 1  sin t  (3  2sin t) 1  sin t sin t(4sin t  6sin t  8)  0    Qua ví dụ trên ta thấy có nhiều cách để giải phương trì nh và bất phương trì nh vô tỉ. Mọi phương pháp đều chung một tưởng đó là tì m cách loại bỏ căn thức và đưa phương trì nh đã cho về phương trì nh mà ta đã biết cách giải. Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng phương pháp giải cụ thể. căn thức còn lại: x  GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 2 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh I. Phương pháp biến đổi tương đương : Nội dung của phương pháp này là sử dụng các tính chất của lũy thừa và các phép biến đổi tương đương của phương trì nh, bất phương trì nh biến đổi phương trì nh, bất phương trì nh ban đầu về phương trì nh, bất phương trì nh đã biết cách giải. Ta nhơ lại các tính chất của lũy thừa và phép biến đổi tương đổi đối với phương trì nh và bất phương trì nh. 1) ( n a ) n  a ( Nếu n chẵn thì cần thêm điều kiện a  0 ). 2) a  b  a 2n  b 2n với a và b cùng dấu 3) a  b  a 2n 1  b 2n 1 với mọi a,b. 4) a  b  0  a 2n  b 2n (Chú ý nếu a,b<0 thì a  b  a   b khi đó hai vế cùng không âm và lúc đó ta mới lũy thừa bậc chẵn hai vế). 5) a  b  a 2n 1  b 2n 1 a, b   . Ví dụ 1: Giải phương trì nh: 2x  1  3x  1 . Giải: Ta thấy VT luôn không âm, do đó nếu VP âm thì phương trì nh vô nghiệm nên ta 1 chỉ cần giải phương trì nh khi 3x  1  0  x   . Khi đó hai vế đều không âm và bì nh 3 1 phương ta thu được phương trì nh tương đương: 2x  1  (3x  1)2 nếu x 0   là 3 2 nghiệm của phương trì nh này thì 2x 0  1  (3x 0  1)  2x 0  1  0 do vậy ta không cần đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn. Vậy : 1  1  x    3x  1  0 4 x   3 3 Pt      x  0, x   .   2 9 2x  1  (3x  1) 9x 2  4x  0  x  0, x   4   9 Nhận xét: * Phương trì nh trên có dạng tổng quát: f (x)  g(x) , khi gặp dạng này ta biến đổi tương đương như sau: cần đặt đk f (x)  0? . g(x)  0 f (x)  g(x)   . Ở đây vì sao ta không 2 f (x)  g (x) * Ở bài toán trên ta có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ t  2x  1 . Ví dụ 2: Giải phương trì nh: x  4  1  x  1  2 x . 1 Giải: Đk: 4  x  (*) 2 Pt  x  4  1  2x  1  x  x  4  1  2x  2 (1  2x)(1  x)  1  x GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 3 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh 1  2x  1  0 x   2  2x  1  (1  2x)(1  x)    x0 2     (2x 1) (1 2x)(1 x)   2 2x  7x  0 Đối chiếu điều kiện (*) ta thấy x=0 thỏa mãn. Vậy nghiệm của pt đã cho là x=0. Chú ý : Ở phương trì nh trên vì sao chúng ta lại chuyển 1  x qua rồi mới bình phương? Mục đích của việc làm này là tạo ra hai vế của phương trì nh luôn cùng dấu để sau khi bì nh phương ta thu được phương trì nh tương đương. Ví dụ 3: Giải bất phương trì nh: Giải: 2x 2  6x  1  x  2  0 . Bất phương trì nh  2x 2  6x  1  x  2 (1) Vì VT của (1) luôn không âm nên nếu VP(1)  0 thì Bất phương trì nh vô nghiệm, do đó ta chỉ giải Bất phương trì nh khi x  2  0  x  2 . Bì nh phương hai vế ta được Bpt: 2x 2  6x  1  (x  2) 2 . Nếu x 0 bất phương trì nh này thì ta chưa thể khẳng định được 2x 02  6x 0  1  0 do đó ta phải đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn. Vậy bất phương trì nh đã cho tương đương với hệ gồm ba bất phương trì nh sau: x  2 x  2 x  2  0    2 3 7 3 7 3 7 3 7    x   x  Vx Vx 2x  6x  1  0 2 2 2 2  2   2     2x 6x 1 (x 2)   x 2  2x  3  0 1  x  3   3 7   x  3 là nghiệm của bất phương trì nh đã cho. 2 g(x)  0  Nhận xét: Dạng tổng quát của bất phương trì nh trên là: f (x)  g(x)  f (x)  0  2 f (x)  g (x) Giải hệ bất phương trì nh này ta được nghiệm của bất phương trì nh đã cho. Ví dụ 4: Giải bất phương trì nh : Giải: ĐK: x  4 . 2(x 2  16) x 3  x 3  7x (ĐH Khối A – 2004 ). x 3 Bpt  2(x 2  16)  x  3  7  x  2(x 2  16)  10  2x (2) Ta có VT (2)  0 nên nếu VP(2)  0  x  5 thì (2) luôn đúng. Nếu VP(2)  0  x  5 thì bpt (2)  2(x 2  16)  (10  2x) 2 . Nếu x 0 bất phương trì nh này thì ta có GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 4 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh 2(x 02  16)  0 do đó ta không cần đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn Vậy để giải bất phương trì nh (2) ta chia làm hai trường hợp  x  4 (ñk) TH1:   x  5.   10 2x 0  10  2x  0 4  x  5 TH2:  2   10  34  x  5 .  2 2 2(x  16)  (10  2x)  x  20x  66  0 Lấy hợp hai trường hợp ta có nghiệm bất phương trì nh là: x  10  34 . Nhận xét: Dạng tổng quát của bất phương trì nh (2) là: chia làm hai trường hợp: f (x)  0 TH 1:  g(x)  0 f (x)  g(x) . Để giải bpt này ta g(x)  0 TH 2:  2 f (x)  g (x) Ví dụ 5: Giải phương trì nh: 2x  6x 2  1  x  1 . Giải:  x  1  0  x  1 Pt    2 2 2 2 2x  6x  1  (x  1)  6x  1  x  1  x  1  x  1  2   x  0,x  2 .  2 2 4 2 6x  1  (x  1)  x  4x  0 Ví dụ 6: Giải phương trì nh: x  1 Giải: ĐK:  x  2 (*) .   x  0 x(x  1)  x(x  2)  2 x 2 . Phương trì nh  2x 2  x  2 x 2 (x  1)(x  2)  4x 2  2 x 2 (x 2  x  2)  x(2x  1)  4x 2 (x 2  x  2)  x 2 (2x  1) 2 (do đk (*) ). x  0  x (8 x  9)  0   9 cả hai giá trị này đều thỏa mãn (*). x  8  9 Vậy nghiệm của phương trì nh đã cho là: x  0; x  . 4 2 GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 5 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Chú ý : 1) Bài toán trên cò n có cách giải khác như sau * x  0 là một nghiệm của phương trì nh. * x  1  PT  x  1  x  2  2 x  2 x 2  x  2  2x  1 9  4x 2  4x  8  4x 2  4x  1  x  (nhận). 8 * x  2  PT   x(1  x)   x( x  2)  2 ( x)( x) 9  1  x   x  2  2  x  2 x 2  x  2  2x  1  x  (loại). 8 9 Vậy nghiệm của phương trì nh đã cho là: x  0; x  . 4 2) Khi biến đổi như trên chúng ta sai lầm khi cho rằng a.b  a. b ! Nên nhớ đẳng thức này chỉ đúng khi a,b  0 ! Nếu a,b  0 thì ab  a. b . 3 3 3 Ví dụ 7: Giải phương trì nh: x  1  x  2  2x  3 . Giải: Phương trì nh 2x  3  3 3 (x  1)(x  2)( 3 x  1  3 x  2)  2x  3  3 x  1  3 x  2  3 2x  3 (*)  3 (x  1)(x  2)(2x  3)  0  3  x  1;x  2;x  . 2 Chú ý : * Khi giải phương trì nh trên chúng ta thường biến đổi như sau 2x  3  3 3 (x  1)(x  2)( 3 x  1  3 x  2)  2x  3  3 (x  1)(x  2)(2x  3)  0 !? Phép biến đổi này không phải là phép biến đổi tương đương! Vì ở đây chúng ta đã thừa nhận phương trì nh ban đầu có nghiệm !. Do đó để có được phép biến đổi tương đương thì ta phải đưa về hệ như trên. Chẳng hạn ta xét phương trì nh sau 1  x  3 1  x  1  2  3 3 1  x 2 ( 3 1  x  3 1  x )  1  3 1  x 2  1  x  0 . Nhưng thay vào phương trì nh ban đầu ta thấy x=0 không thỏa mãn phương trì nh ! * Với dạng tổng quát 3 a  3 b  3 c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức (a  b)3  a 3  b3  3ab(a  b) ta có phương trì nh tương đương với hệ 3  3 a  3 b  3 c . Giải hệ này ta có được nghiệm của phương trì nh.  3 a  b  3 a.b.c  c GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 6 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Ví dụ 8: Giải phương trì nh: 4  3 10  3x  x  2 (HSG QG 2000). Giải:  x  2  x  2  Phương trì nh    2 2 4  3 10  3x  x  4x  4 4x  x  3 10  3x 2  x  4 2  x  4  4   3 2 3 2  x  8x  16x  27x  90  0 (x  3)(x  5x  x  30)  0 2  x  4   x  3. 2 (x  3)(x  2)(x  7x  15)  0 Ví dụ 9: Giải phương trì nh: Giải: 4x  y 2  y  2  4x 2  y . Phương trì nh  4x  y 2  4x 2  y  y  2  4x  y 2  4x 2  4y  2  2 (y  2)(4x 2  y) 1  x   (2x  1)  (y  2)  2 (y  2)(4x  y)  0   2 .  y  2 Thử lại ta thấy cặp (x;y) này thảo mãn phương trì nh. 1  x  Vậy nghiệm của phương trì nh đã cho là:  2 .  y  2 Ví dụ 9: Giải phương trì nh: x3 1) x 2  x  7  7 . 2) 4x  1  3x  2  . 5 Giải: 1) Phương trì nh x 2  (x  7)  (x  x  7)  0  (x  x  7 )(x  x  7  1)  0 2 2 2  x  7   x (1)   x  7  x  1 (2)  x  0 1  29 x * (1)   2 . 2  x  x  7  0  x  1 * (2)   2  x  2.  x  x  6  0 Vậy phương trì nh đã cho có hai nghiệm x  2;x  1  29 . 2 GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 7 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh 2) Phương trì nh  5( 4x  1  3x  2)  (4x  1)  (3x  2)  5( 4x  1  3x  2)  ( 4x  1  3x  2)( 4x  1  3x  2)  4x  1  3x  2  0   x  2.  4x  1  3x  2  5 Nhận xét: *Với bài 1 ta có thể giải như sau: Đặt y  x  7 ta có hệ phương trì nh  y 2  x  7 trừ vế theo vế hai phương trì nh ta được: (y  x)(y  x  1) . Từ đây giải ra ta  2 x  y  7  tì m được x. * Câu 1 có dạng tổng quát như sau: x 2  x  a  a . * Với bài toán 2 ta còn có cách giải khác như sau x2 Phương trì nh  ( 4x  1  3)  ( 3x  2  2)  5 x  2 4(x  2) 3(x  2) x2      3x  2  4x  1  1 1  (*) 5 4x  1  3 3x  2  2  ( 4x+1  3)( 3x  2  2) 5 2 Vì VT(*)  0 (do x  ) nên (*) vô nghiệm. 3 Ví dụ 10: Giải bất phương trì nh : x2 1) x4 2) (x 2  3x) 2x 2  3x  2  0 . 2 (1  1  x ) Giải: 1) ĐK: x  1 * Với x  0 ta thấy Bpt luôn đúng * Với x  0  1  x  1  0 . Nhận lượng liên hợp ở VT của Bpt ta được x 2 (1  x  1)2  x  4  (1  x  1) 2  x  4  x  1  3  x  8 2 2 (1  x  1) (1  x  1) Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: T  [  1;8) . 2) Ta xét hai trường hợp 1 TH 1: 2x 2  3x  2  0  x  2,x   . Khi đó BPT luôn đúng 2 GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 8 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh 1  2 1 2x  3  2  0  x   V x  2 TH 2: Bpt     x   V x  3. 2 2 2  x  0 V x  3  x  3x  0 1 Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: T  (;  ]  {2}  [3; ) . 2 Chú ý : * Ở bài toán 2 ta thường không chú ý đến trường hợp 1, đây là sai lầm mà chúng ta thường gặp trong giải phương trì nh và bất phương trì nh vô tỉ. * Khi giải bất phương trì nh nếu ta muốn nhân hoặc chia hai vế cảu bất phương trì nh cho một biểu thức thì ta phải xác định được dấu của biểu thức đó. Nếu chưa xác định được dấu của biểu thức mà ta muốn nhân thì ta có thể chia làm hai trường hợp. Ví dụ 11: Giải bất phương trì nh : 2 2 1) (x  3) x  4  x  9 51  2x  x 2 2)  1. 1 x Giải: 1) * Với x  3  bất phương trì nh đúng.  x  3  x  3 * Với x  3  Bpt    2 2  x  3. 2  x  4  x  3  x  4   x  3  x  3  x  3 5    3  x  3  x   . * Với x  3  Bpt   2 6  x  4  x  3  6x  5  0  5 Vậy nghiệm của bất phương trì nh dã cho là: x   V x  3 . 6 2) x  1 x  1   * Nếu 1  x  0  x  1  Bpt  51  2x  x 2  0  1  52  x  1  52   2 2  x  25  51  2x  x  1  x  1  52  x  5 . *Nếu x  1  luôn đúng vì VT  0  1 . Vậy nghiệm bất phương trì nh đã cho là : 1  52  x  5 V x  1 . Ví dụ 12: Tì m m để phương trì nh x 2  2mx  1  m  2 có nghiệm. Giải: * Nếu m  2  phương trì nh vô nghiệm GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 9 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh * Với m  2  Phương trì nh  x 2  2mx  1  m 2  4m  4  x 2  2mx  m 2  4m  3  0 Phương trì nh có nghiệm  '  2m 2  4m  3  0 đúng mọi m Vậy m  2 là những giá trị cần tìm. Ví dụ 13: Tì m m để phương trì nh: 2x 2  mx  3  x  1 có hai nghiệm phân biệt. Giải:  x  1 Phương trì nh   2 .  x  (m  2)x  4  0 (*) Phương trì nh (*) luôn có hai nghiệm : 2  m  m 2  4m  8 2  m  m 2  4m  8 x1   0 ; x2  0 2 2 Phương trì nh đã cho có hai nghiệm  (*) có hai nghiệm phân biệt  1 m  4  x 2  1  4  m  m 2  4m  8    m  2. 2 2     (4 m) m 4m 8  Vậy m  2 là những giá trị cần tìm. 2x 2  mx  x 2  4  0 có nghiệm. Ví dụ 14: Tì m m để phương trì nh Giải:  x 2  4  0 (1) Phương trì nh  2x  mx  x  4   2  x  mx  4  0 (2) (2) có nghiệm    m 2  160  0 | m | 4 (*) . Khi đó (2) có hai nghiệm là: 2 x1,2 2 m  m 2  16  . 2 Nghiệm x1 thỏa mãn (1)  (m  m 2  16)2  16  0  m 2  m m 2  16  16  0  m  4  m  4 2 2 .  m  16( m  16  m)  0    2 m  4  m  16   m Nghiệm x2 thỏa mãn (1)  (m  m 2  16)2  16  0  m 2  m m 2  16  16  0  m  4 m  4 .  m 2  16( m 2  16  m)  0    2 m   4   m  16  m Vậy | m | 4 thì phương trì nh đã cho có nghiệm. GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 10