Nội dung

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 16 tháng 7 năm 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1. (3,0 điểm) (Ninh Bình 12-13) 1. Cho biểu thức P = x + 5. Tính giá trị biểu thức P khi x = 1. 2.Hàm số y = 2x +1 là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao ? 3. Giải phương trình : x2 + 5x +4 = 0 Câu 2. (2,0 điểm) mx  3 y  5 2 x  my  0 Cho hệ phương trình :  ( m là tham số ) 1.Giải hệ phương trình với m =2. 2.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn y = 2x. Câu 3. (1,5 điểm) (Ninh Bình 12-13) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại đi ngược dòng từ bến B về bến A . Tổng thời gian ca nô đi xuôi dòng và đi ngược dòng là 4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 4km/h. Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. các đường cao AD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Vẽ đường kính BM của đường tròn tâm O. 1. Chứng minh rằng EHDB là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh tứ giác AHCM là hình bình hành. 3. Cho ABC  600 . Chứng minh rằng BH = BO Câu 5. (1,0 điểm) 1. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1 Tính giá trị của biểu thức: A  1 1 1   a  ab  1 b  bc  1 c  ca  1 (THPT NGUYỄN BÌNH-Quảng Ninh (Ngày thi 14/6/2013)) 2. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có ACB  2 BAC và AC = 2BC thì tam giác ABC là tam giác vuông. ------------Hết-----------(Đề này gồm có 01 trang) Họ và tên thí sinh: ……………………………..……Số báo danh: ………………..... B I D E H O A C M HD Câu 4. c) Kéo dài AH cắt (O) tại I . Ta có IAC  IBC mà IAC  HBD suy ra IBC  HBD nên tam giác BHI cân tại B suy ra BH = BI (1) Lại có OB = OI (bk), Góc EBD = góc EHA = 600 suy ra EAH = 300 nên góc BOI = 600 vậy tam giác BIO đều BO = BI (2) Từ (1) và (2) suy ra BH = BO Câu 5. (1,0 điểm) 1. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1. Tính giá trị biểu thức: A 1 1 1   a  ab  1 b  bc  1 c  ca  1 1 a abc   a  ab  1 ba  cba  a c  ca  abc 1 a ab    1 a  ab  1 ba  1  a 1  a  ab 2. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có ACB  2 BAC và AC = 2BC thì tam giác ABC là  tam giác vuông. 1 Kẻ phân giác CD và đường cao DN suy ra góc BCD = góc DCN = BAC = BCA nên tam giác 2 ACD cân tại D suy ra đường cao DN đồng thời là đường trung tuyến  NA= NC = BC = B 1 AC  NCD  BCD(c.g.c ) 2  DBC  DNC  900 D suy ra tam giác ABC vuông tại B A N C UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2013 Câu 1. (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 2 x  3  0. b) Với giá trị nào của x thì biểu thức x  5 xác định? c) Rút gọn biểu thức: A  2  2 . 2  2 . 2 1 2 1 Câu 2. (2,0 điểm) Cho hàm số: y  mx  1 (1), trong đó m là tham số. a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1;4) . Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên ? b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng d: y  m 2 x  m  1. Câu 3. (1,5 điểm) Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B. Câu 4. (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC, trên nửa đường tròn lấy điểm A (khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên cung AC lấy điểm D bất kì (khác A và C), đường thẳng BD cắt AH tại I. Chứng minh rằng: a) IHCD là tứ giác nội tiếp; b) AB2 = BI.BD; c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi D thay đổi trên cung AC. Câu 5. (1,5 điểm) a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn phương trình: x 2  2 y 2  3 xy  2 x  4 y  3  0. b) Cho tứ giác lồi ABCD có BAD và BCD là các góc tù. Chứng minh rằng AC  BD. ------------Hết-----------(Đề này gồm có 01 trang) Họ và tên thí sinh: ……………………………..……Số báo danh: ………………..... UBND TỈNH BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu 1 (2,0 điểm) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán (Dành cho tất cả thí sinh) Lời giải sơ lược a) (0,5 điểm) Ta có 2 x  3 x Điểm 0,25 3 2 0,25 b) (0,5 điểm) x  5 xác định khi x  5  0  x5 0,25 0,25 c) (1,0 điểm) A= 2 (1,0 điểm) 2( 2  1) 2( 2  1) . 2 1 2 1 0,5 = 2. 2  2 a) (1,0 điểm) 0,5 Vì đồ thị hàm số (1) đi qua A(1; 4) nên 4  m  1  m  3 0,5 Vậy m  3 đồ thị hàm số (1) đi qua A(1; 4) . Vì m  3  0 nên hàm số (1) đồng biến trên . 0,5 b) (1,0 điểm) Đồ thị hàm số (1) song song với d khi và chỉ khi  m  1. Vậy m  1 3 (1,5 điểm) m 2  m  m  1  1 0,5 thỏa mãn điều kiện bài toán. Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x km/h, Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 0,5 36 x x 0. 0,25 Vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ B đến A là x+3 Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ B đến A là 36 x3 36 36 36   x x  3 60  x  12 Giải phương trình này ra hai nghiệm    x  15  loai  Ta có phương trình: Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 12 km/h 4 a) (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,5 0,25 (3,0 điểm) D A 0,25 I B O H C Vẽ hình đúng, đủ phần a. 0 AH  BC  IHC  90 . (1) 0,25 BDC  900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay IDC  900. (2) 0,25 0 Từ (1) và (2)  IHC  IDC  180  b) (1,0 điểm) IHCD là tứ giác nội tiếp. Xét ABI và DBA có góc B chung, BAI  ADB (Vì cùng bằng ACB ). Suy ra, hai tam giác ABI , DBA đồng dạng.  AB BD   AB 2  BI .BD . (đpcm) BI BA 0,25 0,75 0,25 c) (1,0 điểm) 0,25 BAI  ADI (chứng minh trên).  AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)  ADI với mọi D thuộc cung AD và A là tiếp điểm. (tính Có AB  AC tại A  AC luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp AID . Gọi M là tâm đường trong ngoại tiếp AID  M luôn nằm trên AC. Mà AC cố định  M thuộc đường thẳng cố định. (đpcm) 5 (1,5 điểm) 0,25 0,25 0,25 a) (1,0 điểm) x 2  2 y 2  3 xy  2 x  4 y  3  0   x  y  x  2 y   2  x  2 y   3   x  2 y  x  y  2   3 Do x, y nguyên nên x  2 y , x  y  2 nguyên Mà 3   1 .3   3 .1 nên ta có bốn trường hợp 0,5  x  2 y  1 x  3 x  2 y  3  x  9 ;     loai    x  y  2  3  y  2  x  y  2  1  y  6  x  2 y  1  x  11  x  2 y  3 x  1    loai  ;     x  y  2  3  y  6 x  y  2  1  y  2 Vậy các giá trị cần tìm là ( x; y )  (1; 2), (3; 2) . b) (0,5 điểm) Vẽ đường tròn đường kính BD. Do các góc A, C tù nên hai điểm A, C nằm trong đường tròn đường kính BD. Suy ra, AC  BD (Do BD là đường kính). Lưu ý: - Thí sinh làm theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm. - Việc chi tiết hoá điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong hội đồng chấm. - Điểm toàn bài không làm tròn số ( ví dụ: 0,25, hoặc 0,75 vẫn giữ nguyên ). 0,5 0,5 UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2013 Câu 1. (1,5 điểm)  x2 x2 1  x 1   a) Rút gọn biểu thức A   với x  0, x  1 . : x x  1 x  x  1 1  x x  x  1    b) Cho x   3  1 . 3 10  6 3 21  4 5  3 2013 , tính giá trị của biểu thức P   x 2  4 x  2  . Câu 2. (2,0 điểm) Cho phương trình: 2 x2  4mx  2m2  1  0 (1), với x là ẩn, m là tham số. a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 , x2 . Tìm m để 2 x12  4mx2  2m2  9  0. Câu 3. (1,5 điểm) a) Cho các số dương x, y thỏa mãn x  y  x 3  y 3 . Chứng minh rằng x 2  y 2  1. 2 x  y 2  1  b) Giải hệ phương trình: 2 y  z 2  1. 2 z  x 2  1  Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính BC  2 R , điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng: a) Năm điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên một đường tròn; b) Ba điểm M, N, H thẳng hàng; c) HA.HF  R 2  OH 2 . Câu 5. (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương  x; y; z  thỏa mãn x  y 2013 là số hữu tỷ, y  z 2013 đồng thời x 2  y 2  z 2 là số nguyên tố. b) Tính diện tích của ngũ giác lồi ABCDE, biết các tam giác ABC, BCD, CDE, DEA, EAB cùng có diện tích bằng 1. ------------Hết------------ (Đề này gồm có 01 trang) Họ và tên thí sinh: ……………………………..……Số báo danh: ………………..... UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Câu Lời giải sơ lược 1 a) (1,0 điểm) (1,5 điểm) x  2  x  x  2  x  x 1 x  x 1 A  ( x  1)( x  x  1) x 1  x 1 ( x  1)( x  x  1)  x  x 1 x 1 Điểm 0,5  1. 0,5 b) (0,5 điểm)  x  3  1 . 3 ( 3  1)3  ( 20  1) 2  3 ( 3  1)( 3  1) 2   5  2. 20  4 2( 5  2) 0,25  x 2  4 x  1  0  P  1 2 (2,0 điểm) 0,25 a) (1,0 điểm)  '  4m 2  2(2m 2  1)  2  0 với mọi m. 0,5 Vậy (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 0,5 b) (1,0 điểm) Theo ĐL Viét ta có x1  x2  2m . Do đó, 2 x12  4mx2  2m 2  9  (2 x12  4mx1  2m2  1)  4m( x1  x2 )  8. 0,5  8m 2  8  8(m  1)(m  1) (do 2 x12  4mx1  2m 2  1  0 ). Yêu cầu bài toán: (m  1)(m  1)  0  1  m  1 . 3 (1,5 điểm) 0,5 a) (0,5 điểm) Do x 3  0, y 3  0 nên x  y  0 . 0,5 x  y  x 3  y 3  x 3  y 3  1  x 2  xy  y 2  x 2  y 2  1. b) (1,0 điểm) Cộng vế với vế các phương trình của hệ ta được: 2 2 2 x 2  2 x  1  y 2  2 y  1  z 2  2 z  1  0   x  1   y  1   z  1  0 (1). 2 2 0,5 2 Do  x  1  0,  y  1  0,  z  1  0 nên VT 1  VP 1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1 . Thử lại, x  y  z  1 là nghiệm của hệ. 4 a) (1,0 điểm) 0,5 (3,0 điểm) A D H N I M 0,25 B O F C Vẽ hình câu a) đúng, đủ. Do các điểm M, N, F cùng nhìn đoạn AO dưới góc 900 nên A, O, M, N, F cùng thuộc đường tròn đường kính AO. b) (1,0 điểm) Ta có AM  AN (Tính chất tiếp tuyến). Từ câu a) suy ra ANM  AFN (1). Mặt khác, vì hai tam giác ADH, AFC đồng dạng; hai tam giác ADN, ANC đồng dạng nên AH AN AH . AF  AD. AC  AN 2   . AN AF 0,25 0,25 Do đó, hai tam giác ANH, AFN đồng dạng (c.g.c)  ANH  AFN (2). 0,25 Từ (1), (2) ta có  ANH  ANM  H  MN  đpcm. c) (1,0 điểm) Từ câu a) ta có HM .HN  HA.HF . Gọi I  OA  MN ta có I là trung điểm của MN. 0,25 HM .HN   IM  IH  IM  IH   IM 2  IH 2 0,25  5 (2,0 điểm) 0,75  0,25  OM 2  OI 2  OH 2  OI 2  R 2  OH 2 0,25 Từ đó suy ra HA.HF  R 2  OH 2 . 0,25 a) (1,0 điểm) x  y 2013 m Ta có   m, n  y  z 2013 n  nx  my  mz  ny  2 *  ,  m, n   1 . nx  my  0 x y m 2013       xz  y 2 . y z n mz  ny  0 2 x 2  y 2  z 2   x  z   2 xz  y 2   x  z   y 2   x  y  z  x  z  y  . x2  y2  z2  x  y  z Vì x  y  z  1 và x 2  y 2  z 2 là số nguyên tố nên  x  y  z  1 Từ đó suy ra x  y  z  1 (thỏa mãn). b) (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 A B E I C 0,25 D Gọi I  EC  BD Ta có S BAE  S DAE nên khoảng cách từ B, D đến AE bằng nhau. Do B, D cùng phía đối với đường thẳng AE nên BD / / AE . Tương tự AB / / CE Do đó, ABIE là hình bình hành  S IBE  S ABE  1 0,25 Đặt S ICD  x  0  x  1  S IBC  S BCD  S ICD  1  x  S ECD  S ICD  S IED  3 5 x  S x 1 x IC S IBC 2   x 2  3x  1  0   Lại có ICD  hay  1 x 1  S IDE IE S IBE 3 5 x  2  3 5 5 1 Kết hợp điều kiện ta có x   S IED  2 2 5 1 5  5 Do đó S ABCDE  S EAB  S EBI  S BCD  S IED  3  .  2 2 Lưu ý: - Thí sinh làm theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm. - Việc chi tiết hóa điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong hội đồng chấm. - Điểm toàn bài không làm tròn số ( ví dụ: 0,25, hoặc 0,75 vẫn giữ nguyên ). 0,25 0,25