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GIÔÙI THIEÄU MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN OÂN THI ÑAÏI HOÏC VEÀ TAM GIAÙC 3 1) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA + cosB + cosC ≤ 2 Giaûi: Ñaët y= cosA+cosB+cosC ta coù: A+ B A− B C π C A− B C y = 2 cos cos + 1 − 2 sin 2 = 2 cos( − ) cos + 1 − 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 C A− B C C A − B C ⇔ y = 2 sin cos + 1 − 2 sin 2 ⇔ 2 sin 2 − 2 cos sin + y − 1 = 0 2 2 2 2 2 2 C Ñeå phöông trình naøy xaùc ñònh sin ta phaûi coù: 2 A− B 2 A− B 2 ∆ ' = (cos ) − 2(y − 1) ≥ 0 ⇔ 2y ≤ 2 + (cos ) ≤ 3 2 2 3 3 ⇔ y≤ ⇔ cosA + cosB + cosC ≤ 2 2 3 Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA + cosB + cosC ≤ 2 1 2) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA.cosB.cosC ≤ 8 Giaûi:* Giaû thieát A tuø ⇒ø B, C nhoïn. Khi ñoù cosA<0 vaø cosB>0, cosC>0 1 ⇒ cosA.cosB.cosC < 0 ⇒ cosA.cosB.cosC ≤ 8 *Giaû thieát A, B, C nhoïn. Khi ñoù cosA>0 vaø cosB>0, cosC>0 cos A + cos B + cos C 3 ≥ cos A. cos B. cos C Theo baát ñaúng thöùc Coâsi daønh cho 3 soá ta coù: 3 ⇔27cosA.cosB.cosC≤(cosA+cosB+cosC)3 (1). 3 Theo keát quaû baøi 1): cosA + cosB + cosC ≤ (2). 2 3 1 Töø (1) vaø (2) ta coù: 27cosA.cosB.cosC≤( )3 ⇒ cosA.cosB.cosC ≤ 2 8 1 Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù: cosA.cosB.cosC ≤ 8 3) Chöùng minh raèng: Neáu cosA.cosB.cosC = 1 thì ∆ABC ñeàu. 8 1 1 ⇔ 8 cos A. [cos(B + C) + cos(B − C)] − 1 = 0 8 2 ⇔ 4 cos A.[cos(π − A ) + cos(B − C)] − 1 = 0 ⇔ 4 cos A.[− cos A + cos(B − C)] − 1 = 0 Giaûi: Ta coù cosA.cosB.cosC = 2 2 2 ⇔ 4 cos A − 4 cos A. cos(B − C) + cos (B − C) + 1 − cos (B − C) = 0 2 2 ⇔ [2 cos A − cos(B − C)] + sin (B − C) = 0 1   A = 60 0  2 cos A − cos(B − C) = 0  2 cos A − cos 0 = 0  cos A = 2 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ B= C  sin(B − C) = 0 B= C B= C  ⇒A=B=C=600 ⇒ ∆ABC ñeàu. 2 2 2 4) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù sin A + sin B + sin C ≤ 2 2 2 Giaûi: Ta coù sin A + sin B + sin C = 1 (cos 2A + cos 2B) − cos 2 C = 2 − cos(A + B) cos(A − B) − cos 2 [π − (A + B)] 2 1 1 = 2 − cos(A + B) cos(A − B) − cos 2 (A + B) = 2 + cos 2 (A − B) − [cos(A + B) + cos(A − B)] 2 4 2 9 2 2 2 ⇒ sin A + sin B + sin C ≤ . 4 9 2 2 2 Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù sin A + sin B + sin C ≤ 4 5) a) Chöùng minh baát ñaúng thöùc: Vôùi 6 soá thöïc a1, a2, a3, b1, b2, b3 ta luoân coù: = 2− a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ≤ Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi a 12 + a 22 + a 32 . b 12 + b 22 + b 23 a1 a 2 a 3 = = ( BÑT Bunhiacoâpxki) b1 b 2 b 3 b) Tam giaùc ABC coù 3 trung tuyeán ma, mb, mc vaø R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc 9R ABC. Chöùng minh raèng: Neáu ma+mb+mc= thì ABC laø moät tam giaùc ñeàu. 2 → Giaûi: a) Xeùt trong heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz xeùt 2 vectô khaùc 0 : a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) vaø b = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) . Theo coâng thöùc ñònh goùc cuûa 2 vectô ta coù → → → → → a.b → cos(a, b) = → → |a|.| b| → → → . Vì | cos(a, b) | ≤ 1 neân → → → | a.b | → → | a|.| b| Theo phöông phaùp toïa ñoä: a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ≤ → → → → ≤ 1 ⇒ | a.b |≤ | a | . | b | a 12 + a 22 + a 32 . b 12 + b 22 + b 23 → → Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi | cos(a, b) | = 1 ⇔ a, b cuøng phöông ⇔ b) Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: |1.ma+1.mb+1.mc| ≤ a1 a 2 a 3 = = . b1 b 2 b 3 12 + 12 + 12 . m 2a + m 2b + m 2c 2 2 2 ⇒ (ma+mb+mc)2 ≤ 3(m a + m b + m c ) (1). Theo ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán trong tam giaùc ABC ta coù: 2 b 2 + 2c 2 − a 2 2a 2 + 2 c 2 − b 2 2a 2 + 2 b 2 − c 2 3 2 m 2a + m 2b + m 2c = + + = (a + b 2 + c 2 ) (2) 4 4 4 4 Theo ñònh lyù sin trong tam giaùc ABC ta coù: baøi 4 a 2 + b 2 + c 2 = 4R 2 sin 2 A + 4R 2 sin 2 B + 4R 2 sin 2 C = 4R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C) ≤ 4 R 2 . ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9R 2 (3). 27R 2 (4) 4 81R 2 9R Töø (1) vaø (4): (ma+mb+mc)2 ≤ ⇔ ma+mb+mc≤ . 4 2 9R ma mb mc = = Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: ma+mb+mc= ⇔ 2 1 1 1 ⇒ Tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu. 2 2 2 Töø (2) vaø (3): m a + m b + m c ≤ 9 4 1 − cos 2A 1 − cos 2B + + 1 − cos 2 C 2 2 9 4