Nội dung

KOREAGERMAN International Mathematical Talent Search (IMTS) [Cuéc thi T×m kiÕm Tµi n¨ng To¸n häc Quèc tÕ] Translated from English-progenitor by Hµn Ngäc §øc [KoreaGerman] Chó ý: C¸c chç cã dÊu (?) cã thÓ ch−a chÝnh x¸c! §Ò nghÞ b¹n ®äc kiÓm tra vµ gãp ý víi ng−êi dÞch © Copyright 2004 by KoreaGerman & www. diendantoanhoc.net © diendantoanhoc.net T×m kiÕm Tµi n¨ng To¸n häc Quèc tÕ IMTS vßng 1 Bµi to¸n 1/1. Víi mäi sè nguyªn d−¬ng n, lËp sè n/s(n), ë ®ã s(n) lµ tæng c¸c ch÷ sè cña n trong hÖ thËp ph©n. TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña n/s(n) trong mçi tr−êng hîp sau: (i) 10 ≤ n ≤ 99 (ii) 100 ≤ n ≤ 999 (iii) 1000 ≤ n ≤ 9999 (iv) 10000 ≤ n ≤ 99999 Bµi to¸n 2/1. T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn (n, k), 2 < k < n, sao cho c¸c sè C kn−1 , C kn , C kn+ 1 t¹o thµnh mét d·y sè t¨ng. Bµi to¸n 3/1. Trªn mét b¶ng cì 8 x 8 ng−êi ta ®Æt n qu©n cê §«min«, mçi qu©n chiÕm hai « kÒ nhau, sao cho kh«ng thÓ ®Æt thªm qu©n §«min« nµo vµo c¸c « cßn l¹i. Hái gi¸ trÞ nhá nhÊt cña n lµ bao nhiªu ®Ó tr¹ng th¸i trªn cßn ®óng? Bµi to¸n 4/1. Chøng minh r»ng mét tam gi¸c nhän tuú ý cã thÓ bÞ c¾t ra bëi c¸c ®o¹n th¼ng thµnh ba phÇn theo ba c¸ch kh¸c nhau sao cho mçi phÇn cã mét trôc ®èi xøng. Bµi to¸n 5/1. Chøng minh r»ng cã thÓ chia mét tø diÖn tuú ý thµnh 6 phÇn bëi c¸c mÆt ph¼ng hoÆc phÇn mÆt ph¼ng sao cho mçi mét phÇn cã mét mÆt ph¼ng ®èi xøng. International Mathematical Talent Search -1- handuc@hello.to © diendantoanhoc.net T×m kiÕm Tµi n¨ng To¸n häc Quèc tÕ IMTS vßng 2 Bµi to¸n 1/2. Sè nguyªn nhá nhÊt lµ béi sè cña 9997, kh¸c 9997, chØ chøa mét ch÷ sè lÎ, lµ bao nhiªu? Bµi to¸n 2/2. Chøng minh r»ng mäi tam gi¸c cã thÓ chia thµnh 9 h×nh ngò gi¸c låi kh«ng suy biÕn. Bµi to¸n 3/2. Chøng minh r»ng nÕu x, y vµ z lµ c¸c sè nguyªn d−¬ng ®«i mét nguyªn tè cïng nhau, vµ nÕu 1 1 1 + = th× x + y, x - z vµ y - z lµ c¸c sè chÝnh x y z ph−¬ng. Bµi to¸n 4/2. Cho a, b, c vµ d lµ diÖn tÝch cña c¸c mÆt tam gi¸c cña mét tø diÖn vµ ha, hb, hc, vµ hd lµ c¸c ®−êng cao t−¬ng øng cña tø diÖn. KÝ hiÖu V lµ thÓ tÝch cña tø diÖn, chøng minh r»ng (a + b + c + d)(ha + hb + hc + hd) ≥ 48V. Bµi to¸n 5/2. Chøng minh r»ng cã v« sè sè nguyªn d−¬ng n sao cho h×nh hép cì n × n × n kh«ng thÓ ®−îc ghÐp bëi c¸c khèi lËp ph−¬ng cì 2 × 2 × 2 vµ 3 × 3 × 3. International Mathematical Talent Search -2- handuc@hello.to © diendantoanhoc.net T×m kiÕm Tµi n¨ng To¸n häc Quèc tÕ IMTS vßng 3 Bµi to¸n 1/3. Chó ý r»ng nÕu tÝch cña hai phÇn tö kh¸c nhau cña tËp {1, 16, 27} t¨ng thªm 9 th× kÕt qu¶ lµ mét sè chÝnh ph−¬ng. H·y t×m c¸c sè nguyªn d−¬ng n sao cho n + 9, 16n + 9, vµ 27n + 9 còng lµ c¸c sè chÝnh ph−¬ng. Bµi to¸n 2/3. Chó ý r»ng 1990 cã thÓ "trë thµnh mét sè chÝnh ph−¬ng" (turned into a square) b»ng c¸ch thªm mét ch÷ sè vµo bªn ph¶i nã vµ mét sè ch÷ sè ë bªn tr¸i nã; ch¼ng h¹n 419904 = 6482. Chøng minh r»ng 1991 kh«ng thÓ trë thµnh mét sè chÝnh ph−¬ng b»ng c¸ch trªn; cã nghÜa lµ, kh«ng tån t¹i c¸c ch÷ sè d, x, y, ... sao cho ...yx1991d lµ mét sè chÝnh ph−¬ng. Bµi to¸n 3/3. T×m k nÕu P, Q, R vµ S lµ c¸c ®iÓm trªn c¸c c¹nh cña tø gi¸c ABCD sao cho AP BQ CR DS = = = = k, PB QC RD SA vµ diÖn tÝch cña tø gi¸c PQRS b»ng ®óng 52% diÖn tÝch cña tø gi¸c ABCD. D C R S A Q P B Bµi to¸n 4/3. Cho n ®iÓm víi c¸c to¹ ®é nguyªn trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é xy. Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña n ®Ó ch¾c ch¾n r»ng cã 3 trong c¸c ®iÓm trªn lµ c¸c ®Ønh cña mét tam gi¸c víi diÖn tÝch nguyªn (chÊp nhËn 0), lµ bao nhiªu? Bµi to¸n 5/3. Hai ng−êi, A vµ B ch¬i trß ch¬i víi mét cç bµi 32 l¸. A lµ ng−êi b¾t ®Çu, vµ tiÕp ®ã hai ng−êi ch¬i xen kÏ lu©n phiªn nhau. Mçi ng−êi lÊy hoÆc mét l¸ bµi hoÆc mét sè nguyªn tè l¸ bµi. Cuèi cïng tÊt c¶ c¸c l¸ bµi ®−îc chän, vµ ng−êi kh«ng lÊy l¸ bµi cuèi cïng lµ ng−êi thua. Ai sÏ th¾ng nÕu hä ®Òu ch¬i theo chiÕn l−îc tèi −u? International Mathematical Talent Search -3- handuc@hello.to © diendantoanhoc.net T×m kiÕm Tµi n¨ng To¸n häc Quèc tÕ IMTS vßng 4 Bµi to¸n 1/4. Dïng mçi ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ®óng hai lÇn ®Ó lËp c¸c sè nguyªn tè kh¸c nhau sao mµ tæng cµng nhá cµng tèt. Tæng nµy nhá nhÊt ph¶i b»ng bao nhiªu? (Chó ý: 5 sè nguyªn tè nhá nhÊt lµ 2, 3, 5, 7, vµ 11). Bµi to¸n 2/4. T×m sè nguyªn d−¬ng n nhá nhÊt sao mµ cã thÓ biÓu diÔn thµnh tæng cña c¸c sè nguyªn d−¬ng ph©n biÖt a, b, vµ c sao cho a + b, a + c vµ b + c lµ c¸c sè chÝnh ph−¬ng? Bµi to¸n 3/4. Chøng minh r»ng mét sè nguyªn d−¬ng cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng 3x2 + y2 nÕu vµ chØ nÕu nã còng cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng u2 + uv + v2, ë ®ã x, y, u, vµ v lµ c¸c sè nguyªn d−¬ng. Bµi to¸n 4/4. Cho ∆ABC tuú ý, dùng P, Q vµ R sao cho mçi mét gãc t¹o thµnh lµ 300. Chøng minh r»ng ∆PQR lµ tam gi¸c ®Òu. C P Q A B R Bµi to¸n 5/4. Sè ®o c¸c c¹nh cña ∆ABC lµ 11, 20 vµ 21 ®¬n vÞ. Ta gÊp nã däc theo PQ, QR vµ RP, ë ®ã P, Q, R lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh cña tam gi¸c, cho ®Õn khi A, B, vµ C trïng nhau. Hái thÓ tÝch cña tø diÖn t¹o thµnh lµ bao nhiªu? International Mathematical Talent Search -4- handuc@hello.to © diendantoanhoc.net T×m kiÕm Tµi n¨ng To¸n häc Quèc tÕ IMTS vßng 5 Bµi to¸n 1/5. TËp hîp S gåm 5 sè nguyªn. NÕu mçi cÆp phÇn tö ph©n biÖt cña S ®−îc céng víi nhau th× 10 tæng thu ®−îc lµ 1967, 1972, 1973, 1974, 1975, 1980, 1983, 1984, 1989, 1991. T×m nh÷ng phÇn tö cña S? Bµi to¸n 2/5. Cho c¸c sè nguyªn n ≥ 3 vµ k ≥ 2, vµ h×nh thµnh c¸c hiÖu sè (sai ph©n tiÕn - forward difference) cña c¸c phÇn tö cña d·y 1, n, n2, ..., nk - 1 vµ cø thÕ lÊy c¸c hiÖu sè liªn tiÕp cña c¸c dßng trªn ®Ó ®−îc dßng d−íi, nh− chØ ra trªn b¶ng d−íi víi (n, k) = (3, 5). Chøng minh r»ng c¸c kÕt qu¶ (sè ë dßng cuèi cïng) lµ kh¸c nhau víi c¸c cÆp (n, k) kh¸c nhau. 1 3 2 9 6 27 18 4 12 8 81 54 36 24 16 Bµi to¸n 3/5. Trong mét trËn bãng chµy "kiÓu to¸n häc" (mathematical version), träng tµi chän mét sè nguyªn d−¬ng m, m ≤ n, vµ b¹n ph¶i ®o¸n mét sè nguyªn d−¬ng ®Ó biÕt ®−îc m. NÕu sè b¹n ®o¸n nhá h¬n sè m cña träng tµi th× «ng ta gäi nã lµ mét "bãng" (ball); nÕu sè ®ã lín h¬n hoÆc b»ng m th× träng tµi gäi ®ã lµ mét "có ®¸nh" (strike). §Ó "®¸nh tróng" (hit) nã, b¹n ph¶i t×m ®−îc ®óng gi¸ trÞ cña m sau có ®¸nh thø 3 hoÆc lÇn ®o¸n thø 6, tuú theo c¸i nµo tr−íc. Gi¸ trÞ lín nhÊt cña n lµ bao nhiªu ®Ó tån t¹i mét chiÕn l−îc cho phÐp b¹n ®¸nh (bat) ®−îc 1000 ®iÓm, nghÜa lµ lu«n t×m ®óng m ? H·y nªu chi tiÕt chiÕn l−îc ®ã. Bµi to¸n 4/5. Chøng minh r»ng nÕu f lµ mét hµm thùc kh¸c hµm h»ng sao cho víi mäi x ta cã f(x + 1) + f(x - 1) = 3 f(x). th× f lµ hµm tuÇn hoµn. T×m sè d−¬ng p nhá nhÊt sao cho f(x + p) = f(x) víi mäi x? Bµi to¸n 5/5. Trong ∆ABC (h×nh vÏ), gäi r lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp. Gäi rA, rB, rC lµ c¸c b¸n kÝnh cña c¸c ®−êng trßn tiÕp xóc víi ®−êng trßn néi tiÕp vµ víi c¸c c¹nh cña tam gi¸c, t−¬ng øng víi c¸c ®Ønh A, B, C. Chøng minh r»ng: r ≤ rA + rB + rC. C rC r rA rB A International Mathematical Talent Search B -5- handuc@hello.to © diendantoanhoc.net T×m kiÕm Tµi n¨ng To¸n häc Quèc tÕ IMTS vßng 6 Bµi to¸n 1/6. ChÝn ®−êng th¼ng, cïng song song víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ chia mçi c¹nh cßn l¹i thµnh 10 ®o¹n b»ng nhau vµ chia diÖn tÝch thµnh 10 phÇn kh¸c nhau. T×m diÖn tÝch cña tam gi¸c ban ®Çu, nÕu diÖn tÝch cña phÇn lín nhÊt lµ 76. Bµi to¸n 2/6. Cã bao nhiªu c¸ch biÓu diÔn 1992 d−íi d¹ng tæng cña mét hoÆc nhiÒu c¸c sè nguyªn liªn tiÕp? Bµi to¸n 3/6. Chøng minh r»ng tån t¹i mét lôc gi¸c cã c¸c gãc b»ng nhau trªn mÆt ph¼ng mµ ®é dµi c¸c c¹nh cña nã lµ 5, 8, 11, 14, 23 vµ 29 ®¬n vÞ, theo mét thø tù nµo ®ã. Bµi to¸n 4/6. Mét c«ng ty quèc tÕ cã 250 nh©n viªn, mçi ng−êi cã thÓ nãi vµi ng«n ng÷. Trong mçi cÆp nh©n viªn (A, B), cã mét ng«n ng÷ ®−îc A nãi mµ B kh«ng vµ cã mét ng«n ng÷ ®−îc B nãi mµ A kh«ng. Cã Ýt nhÊt bao nhiªu ng«n ng÷ ®−îc nãi trong c«ng ty? Bµi to¸n 5/6. Mét bµn cê v« h¹n (infinite checker-board) ®−îc chia bëi mét ®−êng kÎ n»m ngang thµnh nöa trªn vµ nöa d−íi nh− h×nh vÏ. Mét sè qu©n cê ®· ®−îc ®Æt vµo bµn cê bªn d−íi ®−êng kÎ (trong c¸c «). Mét "b−íc ®i" (move) lµ mét qu©n cê nh¶y däc hoÆc ngang qua mét qu©n cê kh¸c vµ ¨n qu©n cê ®ã. Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña n ®Ó cã thÓ ®Æt qu©n cê cuèi cïng vµo dßng thø 4 phÝa trªn ®−êng kÎ ngang sau n - 1 b−íc ®i lµ bao nhiªu? H·y m« t¶ vÞ trÝ ban ®Çu cña c¸c qu©n cê vµ tõng b−íc ®i. International Mathematical Talent Search -6- handuc@hello.to © diendantoanhoc.net T×m kiÕm Tµi n¨ng To¸n häc Quèc tÕ IMTS vßng 7 Bµi to¸n 1/7. Trong mét h×nh thang ABCD, hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i E. DiÖn tÝch cña ∆ABE lµ 72, vµ diÖn tÝch cña ∆CDE lµ 50. DiÖn tÝch cña h×nh thang ABCD lµ bao nhiªu? Bµi to¸n 2/7. Chøng minh r»ng nÕu a, b vµ c lµ c¸c sè nguyªn d−¬ng sao cho c2 = a2 + b2, th× c¶ c2 + ab vµ c2 - ab ®Òu cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng tæng cña hai sè chÝnh ph−¬ng. Bµi to¸n 3/7. Víi n lµ mét sè nguyªn d−¬ng, kÝ hiÖu P(n) lµ tÝch cña tÊt c¶ c¸c −íc sè nguyªn d−¬ng cña n. T×m n nhá nhÊt ®Ó P(P(P(n))) > 1012. Bµi to¸n 4/7. Khi chÐp l¹i trªn b¶ng mét d·y 6 sè nguyªn d−¬ng lµ mét cÊp sè céng, mét sinh viªn viÕt 5 sè: 113, 137, 149, 155, 173, vµ bá sãt mét sè. Sau ®ã cËu ta nhËn ra r»ng còng ®· chÐp sai mét sè trong chóng. B¹n h·y gióp cËu ta vµ t×m l¹i d·y ban ®Çu. Bµi to¸n 5/7. Cho T = (a, b, c) lµ mét tam gi¸c víi c¸c c¹nh a, b, vµ c vµ diÖn tÝch ∆. KÝ hiÖu T' = (a', b', c') lµ tam gi¸c víi c¸c c¹nh lµ ®−êng cao cña T (nghÜa lµ a' = ha, b' = hb, c' = hc) vµ kÝ hiÖu diÖn tÝch cña nã lµ ∆'. T−¬ng tù kÝ hiÖu T'' = (a'', b'', c'') lµ tam gi¸c t¹o bëi c¸c ®−êng cao cña T', vµ kÝ hiÖu diÖn tÝch cña nã lµ ∆''. Cho ∆' = 30 vµ ∆'' = 20. H·y t×m ∆. International Mathematical Talent Search -7- handuc@hello.to © diendantoanhoc.net T×m kiÕm Tµi n¨ng To¸n häc Quèc tÕ IMTS vßng 8 Bµi to¸n 1/8. Chøng minh r»ng kh«ng cã tam gi¸c nµo cã ®é dµi c¸c ®−êng cao lµ 4, 7 vµ 10 ®¬n vÞ. Bµi to¸n 2/8. Nh− trªn h×nh vÏ, cã mét sè thùc x, 0 < x < 1, sao cho ta cã thÓ chia h×nh vu«ng ®¬n vÞ thµnh 7 tam gi¸c ®ång d¹ng. Khi ®ã x ph¶i tho¶ m·n mét ®a thøc d¹ng chuÈn bËc 5. T×m ®a thøc ®ã. (§a thøc d¹ng chuÈn lµ ®a thøc cã hÖ sè cña bËc cao nhÊt cña x lµ 1.) Bµi to¸n 3/8. (i) Cã thÓ s¾p xÕp l¹i c¸c sè 1, 2, ..., 9 thµnh a(1), a(2), ..., a(9) sao x 1 1 cho c¸c sè sau ®©y ®«i mét kh¸c nhau hay kh«ng? Chøng minh kh¼ng ®Þnh cña b¹n: |a(1) - 1|, |a(2) - 2|, ..., |a(9) - 9|. (ii) Cã thÓ s¾p xÕp l¹i c¸c sè 1, 2, ..., 10 thµnh a(1), a(2), ..., a(10) sao cho c¸c sè sau ®©y ®«i mét kh¸c nhau hay kh«ng?. Chøng minh kh¼ng ®Þnh cña b¹n: |a(1) - 1|, |a(2) - 2|, ..., |a(10) - 10|. Bµi to¸n 4/8. Trong mét cuéc ch¹y 50 mÐt, Anita cã thÓ chÊp Bob nhiÒu nhÊt 4 mÐt vµ ®uæi kÞp cËu ta t¹i v¹ch ®Ých. Trong mét cuéc ch¹y 200 mÐt, Bob cã thÓ chÊp Carol nhiÒu nhÊt 15 mÐt vµ ®uæi kÞp c« ta t¹i v¹ch ®Ých. Gi¶ sö r»ng tÊt c¶ 3 ng−êi lu«n ch¹y víi mét vËn tèc kh«ng ®æi. Hái Anita cã thÓ chÊp Carol nhiÒu nhÊt bao nhiªu mÐt trong mét cuéc ch¹y ®ua 1000 mÐt mµ vÉn cã thÓ ®uæi kÞp c« ta. Bµi to¸n 5/8. Cho c¸c sè thùc a, b, x vµ y tho¶ m·n: a + b = 23, ax + by = 79, ax2 + by2 = 217, ax3 + by3 = 691, H·y tÝnh ax4 + by4. International Mathematical Talent Search -8- handuc@hello.to © diendantoanhoc.net T×m kiÕm Tµi n¨ng To¸n häc Quèc tÕ IMTS vßng 9 Bµi to¸n 1/9. Mét l−íi m x n ®−îc ®Æt sao cho mét gãc cña nã t¹i (0, 0) vµ mét gãc t¹i (m, n). Mét b−íc ®i hîp lÖ ®−îc ®Þnh nghÜa lµ mét b−íc chuyÓn mét ®¬n vÞ theo h−íng d−¬ng cña y hoÆc mét ®¬n vÞ theo h−íng d−¬ng cña x. §iÓm (i, j) cña l−íi, víi 0 ≤ i ≤ m vµ 0 ≤ j ≤ n, bÞ bá ®i vµ kh«ng cã ®−êng ®i nµo qua nã b»ng c¸c b−íc ®i ®Ó ®Õn ®iÓm (m, n). Cã bao nhiªu con ®−êng cã thÓ ®i tõ (0, 0) ®Õn (m, n), b»ng c¸c b−íc ®i nh− vËy? Bµi to¸n 2/9. Cho mét ®iÓm P vµ hai ®o¹n th¼ng trªn mét m¶nh giÊy h×nh ch÷ nhËt sao mµ giao ®iÓm Q cña c¸c ®−êng th¼ng chøa chóng kh«ng n»m trªn m¶nh giÊy. Lµm thÕ nµo ®Ó dùng ®−êng th¼ng PQ víi mét c¸i th−íc nÕu chØ ®−îc phÐp vÏ trong ph¹m vi cña m¶nh giÊy? (*) Bµi to¸n 3/9. Mét ®a gi¸c låi cã 1993 ®Ønh ®−îc t« mµu sao cho hai ®Ønh kÒ nhau cã mµu kh¸c nhau. Chøng minh r»ng ng−êi ta cã thÓ chia ®a gi¸c thµnh c¸c tam gi¸c b»ng c¸c ®−êng chÐo kh«ng giao nhau mµ hai ®Çu mót cã mµu kh¸c nhau. Bµi to¸n 4/9. Mét tam gi¸c ®−îc gäi lµ Heronian nÕu sè ®o c¸c c¹nh vµ diÖn tÝch cña nã lµ c¸c sè nguyªn. X¸c ®Þnh tÊt c¶ 5 tam gi¸c Heronian cã chu vi vµ diÖn tÝch cïng b»ng mét sè nguyªn. Bµi to¸n 5/9. Mét bé gåm 5 "H×nh lËp ph−¬ng k× ¶o" (con xóc s¾c - Trick Math Cubes) ®−îc cho d−íi d¹ng khai triÓn ph¼ng nh− h×nh vÏ. Mét "Ph¸p s−" (magician) yªu cÇu b¹n gieo chóng vµ céng 5 sè ë mÆt trªn l¹i. ¤ng ta còng nhÈm vµ viÕt ngay ra kÕt qu¶ vµo mét tê giÊy tr−íc khi b¹n céng xong! ¤ng ta ®· lµm thÕ nµo? Tr×nh bµy vµ gi¶i thÝch trß mÑo nµy. 179 278 377 872 971 773 741 147 543 840 642 345 International Mathematical Talent Search 780 483 186 285 384 681 -9- 564 762 366 861 168 960 756 855 558 459 954 657 handuc@hello.to