ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP 2009 – TRƯỜNG QUỐC HỌC HUẾ.pdf (tài liệu luyện thi đại học)

Tr−êng T.H.P.T NguyÔn Trung Ng¹n Tæ to¸n – Tin §Ò thi thö ®¹i häc n¨m 2009 M«n to¸n - Khèi A Thêi gian 180 phót ( kh«ng kÓ giao ®Ò ) PhÇn A : Dµnh cho tÊt c¶ c¸c thi sinh . C©u I (2,0 ®iÓm) 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (c) cña hµm sè : y = x3 – 3x2 + 2 m 2 2) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh : x − 2 x − 2 = x −1 C©u II (2,0 ®iÓm ) 1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : cos  11π − 5 x  + sin  7π − x  = 2 sin  3 x + 2009π  2  2   4  4 2  2  30 x 2 − 9 x 2 y − 25 y = 0 2) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :  30 y 2 − 9 y 2 z − 25 z = 0  2 2  30 z − 9 z x − 25 x = 0 C©u III(2,0 ®iÓm ) 1) TÝnh tÝch ph©n : 3 ( x + 4)dx −1 3 x +1 + x + 3 ∫ 2) Cho x , y , z lµ ba sè thùc tháa mAn : 2-x + 2-y +2-z = 1 .Chøng minh r»ng : 4x 4y 4z + + 2x + 2y+z 2y + 2z+x 2z + 2x+y ≥ 2x + 2y + 2z 4 C©u IV ( 1,0 ®iÓm ) : Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt víi AB = a , AD = 2a . C¹nh SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ®¸y , c¹nh bªn SB t¹o víi mÆt ph¾ng ®¸y mét gãc 600 . Trªn c¹nh SA lÊy ®iÓm M sao cho AM = a 3 , mÆt ph¼ng ( BCM) c¾t c¹nh SD t¹i N . TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.BCNM . 3 PhÇn B ( ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét trong hai phÇn ( phÇn 1 hoÆc phÇn 2) PhÇn 1 ( Dµnh cho häc sinh häc theo ch−¬ng tr×nh chuÈn ) C©u V.a ( 2,0 ®iÓm ) Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é 0xyz cho hai ®−êng th¼ng : x −7 y −2 z x − 2 y z +1 = = = = d1 : ; d2 : −6 9 12 4 −6 −8 1) Chøng minh r»ng d1 vµ d2 song song . ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P) qua d1 vµ d2 . 2) Cho ®iÓm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).T×m ®iÓm I trªn ®−êng th¼ng d1 sao cho IA +IB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt 2 C©u VI.a (1.0®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : log 9 ( x + 1) + log 3 2 = log 3 4 − x + log 27 ( x + 4)3 PhÇn 2 ( Dµnh cho häc sinh häc ch−¬ng tr×nh n©ng cao ) C©u V.b (2,0®iÓm) Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é 0xyz cho hai ®−êng th¼ng : x − 2 y −1 z = = , D1 : 1 −1 2  x = 2 − 2t  D2 :  y = 3 z = t  1) Chøng minh r»ng D1 chÐo D2 . ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung cña D1 vµ D2 2) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã ®−êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña D1 vµ D2 2 2 C©uVI.b ( 1,0 ®iÓm) Cho ph−¬ng tr×nh : log5 x + 2 log5 x + 1 − m − 2 = 0 , ( m lµ tham sè ) . T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph−¬ng tr×nh ®A cho cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n 1;5 ……………………………….HÕt ………………………………………… Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm . 3   H−íng dÉn gi¶i : PhÇn A : Dµnh cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh C©u I : 1) ( ThÝ sinh tù kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ ) 2) §å thÞ hµm sè y = ( x 2 − 2 x − 2) x − 1 , víi x ≠ 1 cã d¹ng nh− h×nh vÏ : 1 1- 3 2 -2 1+ 3 y=m m Dùa vµo ®å thÞ ta cã : *) NÕu m < -2 : Ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm *) NÕu m = - 2 : Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm *) NÕu – 2 < m < 0 : Ph−¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt *) nÕu m ≥ 0 : Ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt C©u II : 1) cos  11π − 5 x  + sin  7π − x  = 2 sin  3 x + 2009π  ( 1) 2  2   4  4 2  2 ( 1) ⇔ sin  5x π  3x π 3x 3x  3π x   ⇔ -2 cos  x +  cos −  − sin  −  = 2 cos = 2 cos 2 4 2 2  2 4  4 2  3x π 2 ⇔ cos = 0 hoÆc cos( x + ) = − . Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n t×m ®−îc nghiÖm : 2 4 2 x= π 3 + k 2π 3 , x= π + k 2π , x = k2π 2  30 x 2 y =  9 x 2 + 25   30 x 2 − 9 x 2 y − 25 y = 0  30 y 2 2) Ta cã  30 y 2 − 9 y 2 z − 25 z = 0 ⇔  z = 2 9 y + 25   2 2 30 z − 9 z x − 25 x = 0   30 z 2 x = 2 9 z + 25  ( 2). Tõ hÖ ta cã x, y, z kh«ng ©m *) NÕu x = 0 th× y = z = 0 suy ra ( 0;0;0 ) lµ nghiÖm cña hÖ *) NÕu x>0, y> 0 , z > 0 . XÐt hµm sè : f(t) = Ta cã f’(t) = 1500t ( 9t 2 + 25 ) 2 30t 2 ,t>0 9t 2 + 25 > 0 víi mäi t > 0 . Do ®ã hµm sè f(t) ®ång biÕn trªn kho¶ng ( 0; +∞ ) y = f ( x)  HÖ (2) ®−îc viÕt l¹i  z = f ( y ) .  x = f ( z)  Tõ tÝnh ®ång biÕn cña hµm f ta dÔ dµng suy ra x= y = z . Thay vµo hÖ ph−¬ng tr×nh Ta ®−îc nghiÖm x = y = z = 5 . 3  5 5 5  NghiÖm cña hÖ lµ ( 0;0; 0 ) ,  ; ;   3 3 3   C©u III 1) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ ( x + 4)dx 3 −1 3 x +1 + x + 3 2 2 2 20t + 12 20t + 12 2 2 dt dt = ( t − 6t ) 0 + ∫ 2 2 t + 3t + 2 t + 3t + 2 0 0 x + 1 . Ta cã I = ∫ ( 2t − 6 )dt + ∫ §Æt t = 0 2 =-8+  28 2 8 ∫ t + 2 dt − ∫ t + 1 dt 0 = - 8 + 28ln2 – 8 ln3 0 2) Cho x , y , z lµ ba sè thùc tháa mAn : 2-x + 2-y +2-z = 1 .Chøng minh r»ng : 4x 4y 4z + + 2x + 2y+z 2y + 2z+x 2z + 2x+y 2x + 2y + 2z ≥ 4 x y z §Æt 2 = a , 2 =b , 2 = c . Tõ gi¶ thiÕt ta cã : ab + bc + ca = abc BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh cã d¹ng : ( *) ⇔ a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ ( *) a + bc b + ca c + ab 4 a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a + abc b + abc c + abc 4 3 3 a b c3 a+b+c + + ≥ ⇔ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) 4 Ta cã a3 a+b a+c 3 + + ≥ a (a + b)(a + c) 8 8 4 ( 1) ( BÊt ®¼ng thøc C« si) b3 b+c b+a 3 + + ≥ b ( 2) T−¬ng tù (b + c)(b + a) 8 8 4 3 c c+a c+b 3 + + ≥ c ( 3) . (c + a)(c + b) 8 8 4 Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc ( 1) , ( 2) , (3) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh C©u IV : S H N M D A B C TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SBCMN ( BCM)// AD nªn mÆt ph¼ng nµy c¾t mp( SAD) theo giao tuyÕn MN // AD  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ BM . Tø gi¸c BCMN lµ h×nh thang vu«ng cã BM lµ ®−êng cao  BC ⊥ SA Ta cã :  a 3 a 3− MN SM MN 3 =2 = ⇔ = Ta cã SA = AB tan600 = a 3 , AD SA 2a 3 a 3 4a 2a . BM = DiÖn tÝch h×nh thang BCMN lµ : Suy ra MN = 3 3 4a    2 a + 3  2a 10a2 BC + MN S = BM =  =  2 2   3 3 3   H¹ AH ⊥ BM . Ta cã SH ⊥ BM vµ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH . VËy SH ⊥ ( BCNM) ⇒ SH lµ ®−êng cao cña khèi chãp SBCNM AB AM 1 = . Trong tam gi¸c SBA ta cã SB = 2a , = SB MS 2 0 VËy BM lµ ph©n gi¸c cña gãc SBA ⇒ SBH = 30 ⇒ SH = SB.sin300 = a 10 3a3 1 Gäi V lµ thÓ tÝch chãp SBCNM ta cã V = SH .( dtBCNM ) = 27 3 PhÇn B. (ThÝ sinh chØ ®−îc lµm phÇn I hoÆc phÇn II) PhÇn I. (Danh cho thÝ sinh häc ch−¬ng tr×nh chuÈn) ur C©u V.a.1) VÐc t¬ chØ ph−¬ng cña hai ®−êng th¼ng lÇn l−ît lµ: u1 (4; - 6; - 8) uur u2 ( - 6; 9; 12) ur uur +) u1 vµ u2 cïng ph−¬ng +) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2 A VËy d1 // d2 r *) VÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mp (P) lµ n = ( 5; - 22; 19) (P):uuu5x – 22y + 19z + 9 = 0 H r d 1 2) AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1 I Gäi A1 lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua d1 Ta cã: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B A1 IA + IB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng A1B Khi A1, I, B th¼ng hµng ⇒ I lµ giao ®iÓm cña A1B vµ d Do AB // d1 nªn I lµ trung ®iÓm cña A1B. B 36 33 15 *) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A lªn d1. T×m ®−îc H  ; ;   29 29 29  A’ ®èi xøng víi A qua H nªn A’  43 95 28  ; ;−   29 29 29  65 −21 −43  I lµ trung ®iÓm cña A’B suy ra I  ; ;   29 58 29  C©u VI a) log9(x + 1)2 + log 3 2 = log 3 4 − x + log 27 ( x + 4)3 (1)  −4 < x < 4  x ≠ −1 § K:  (1) ⇔ log3(x + 1) + log34 = log3(4 – x) + log3(x + 4) ⇔ log34 x + 1 = log3(16 – x2) ⇔ 4 x + 1 = 16 – x2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh t×m ®−îc x = 2 hoÆc x = 2 - 24 PhÇn II. ur uur C©u V. b. 1) C¸c vÐc t¬ chØ ph−¬ng cña D1 vµ D2 lÇn l−ît lµ u1 ( 1; - 1; 2) vµ u2 ( - 2; 0; 1) *) Cã M( 2; 1; 0) ∈ D1; N( 2; 3; 0) ∈ D2 ur uur uuuur XÐt u1 ; u2  .MN = - 10 ≠ 0 VËy D1 chÐo D2 *) Gäi A(2 + t; 1 – t; 2t) ∈ D1 B(2 – 2t’; 3; t’) ∈ D2 uuurur 1   AB.u1 = 0 t = − ⇒  3  uuur uur  AB.u2 = 0 t ' = 0 5 4 2 ⇒ A  ; ; −  ; B (2; 3; 0) 3 3 3 D1 ur u1 A B uur u2 D2 §−êng th¼ng ∆ qua hai ®iÓm A, B lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña D1 vµ D2. Ta cã ∆ x = 2 + t :  y = 3 + 5t  z = 2t  *) Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu nhËn ®o¹n AB lµ ®−êng kÝnh cã d¹ng: 2 2 2 11   13   1  5  x − 6  +y − 6  +z+ 3 = 6       b.2) §Æt t = log52 x + 1 ta thÊy nÕu x ∈ 1;5 3  th× t ∈ [1;2] Ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: t2 + 2t – m – 3 = 0; t ∈ [1;2] ⇔ t2 + 2t – 3 = m ; t ∈ [1;2 ] LËp bÊt ph−¬ng r×nh hµm f(t) = t2 + 2t – 3 trªn [1;2] ta ®−îc 0 ≤ f(t) ≤ 5 § K cña m lµ: 0 ≤ m ≤ 5

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP 2009 – TRƯỜNG QUỐC HỌC HUẾ

Nội dung