Nội dung

http://ductam_tp.violet.vn/ Tr­êng THPT NguyÔn HuÖ ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 n¨m 2011 M«n: TO¸N ; Khèi: A,B (Thêi gian lµm bµi: 180 phót) PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 ®iÓm) C©u I (2 ®iÓm) Cho hµm sè y  2x  1 x 1 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè ®· cho. 2. T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm cã tæng kho¶ng c¸ch ®Õn hai tiÖm cËn cña (C) nhá nhÊt. C©u II (2 ®iÓm)  x1  y 1  4 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:   x 6  y  4  6 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 1 2(cos x  sin x )  tan x  cot 2 x cot x  1 C©u III (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®­êng trßn (C) t©m O ®­êng kÝnh AB = 2R.Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (P) t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = R 3 . I lµ ®iÓm thuéc ®o¹n OS víi SI = 2R . M lµ mét 3 ®iÓm thuéc (C). H lµ h×nh chiÕu cña I trªn SM. T×m vÞ trÝ cña M trªn (C) ®Ó tø diÖn ABHM cã thÓ tÝch lín nhÊt.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. C©u IV (1 ®iÓm) 1 TÝnh tÝch ph©n: I= dx  1 x  1 1  x2 C©u V (1 ®iÓm) Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d­¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng 1 1 1   1 x  y 1 y  z 1 z  x 1 PhÇn riªng (3,0 ®iÓm).ThÝ sinh chØ ®­îc lµm mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc B) A.Theo ch­¬ng tr×nh ChuÈn C©u VI.a (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng 3 vµ träng t©m thuéc ®­êng th¼ng  : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C. 2 C©u VII.a (1 ®iÓm) Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,6,7,8,9 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau ( ch÷ sè ®Çu tiªn ph¶i kh¸c 0) trong ®ã ph¶i cã ch÷ sè 7. C©u VIII.a (1 ®iÓm) T×m a ®Ó bÊt ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: log 1 x 2  1  log 1 ( ax  a ) 3 3 B.Theo ch­¬ng tr×nh N©ng cao C©u VI.b (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho elip (E): x2 y2   1 vµ ®­êng th¼ng  :3x + 4y =12. 4 3 Tõ ®iÓm M bÊt k× trªn  kÎ tíi (E) c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng AB lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. x2  4x  3 C©u VII.b (1 ®iÓm) Cho hµm sè y  cã ®å thÞ (C).Gi¶ sö ®­êng th¼ng y = kx + 1 c¾t (C) x2 t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A, B. T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña AB khi k thay ®æi. C©u VIII.b (1 ®iÓm) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:   3 1 ------------ log2 x  x.  ------------- log2 x  3 1  1  x2 http://ductam_tp.violet.vn/ Trêng THPT NguyÔn HuÖ ®¸p ¸n – thang ®iÓm ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 n¨m 2011 M«n: TO¸N ; Khèi: A,B Lu ý:Mäi c¸ch gi¶i ®óng vµ ng¾n gän ®Òu cho ®iÓm tèi ®a C©u §¸p ¸n I 1.(1,0 ®iÓm) Kh¶o s¸t . . . §iÓm (2,0 ®iÓm) * TËp x¸c ®Þnh: D = R\{ - 1} * Sù biÕn thiªn - Giíi h¹n vµ tiÖm cËn: lim y  lim y  2 ; tiÖm cËn ngang: y = 2 x  x  0,25 lim y  ; lim  y   ; tiÖm cËn ®øng: x = - 1 x ( 1)  x ( 1) - B¶ng biÕn thiªn Ta cã y '  x - y’ y 1  0 víi mäi x  - 1 ( x  1) 2 -1 + + + + 2 0,5 2 - Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (-  ; -1) vµ ( -1; +  ) * §å thÞ 0,25 2. (1,0 ®iÓm) T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm. . . Gäi M(x0;y0) lµ mét ®iÓm thuéc (C), (x0  - 1) th× y0  2 x0  1 x0  1 0,25 Gäi A, B lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña M trªn TC§ vµ TCN th× MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | 2 x0  1 1 - 2| = | | x0  1 x0  1 0,25 http://ductam_tp.violet.vn/ Theo Cauchy th× MA + MB  2 x 0  1 . 1 =2 x0  1  MA + MB nhá nhÊt b»ng 2 khi x0 = 0 hoÆc x0 = -2.Nh vËy ta cã hai II (2,0 ®iÓm) 0,25 ®iÓm cÇn t×m lµ (0;1) vµ (-2;3) 0,25 1.(1,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ . . . §iÒu kiÖn: x  -1, y  1 Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ 0,25  x1  x6  y 1  y  4  10   x6  x 1  y  4  y 1  2 §Æt u= x  1  x  6 , v = y  1  y  4 . Ta cã hÖ   u  v 10 u 5  v 5 5 5   2 u v x 3  y 5 lµ nghiÖm cña hÖ  0,25  0,25 2. (1,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh . . . §iÒu kiÖn:sinx.cosx  0 vµ cotx  1 Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng 1 sin x cos 2 x  cos x sin 2 x 2  cosx = 2 0,25 0,25 2 (cos x  sin x ) cos x 1 sin x   x =   k 2 4  0,25 §èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã 1 hä nghiÖm x =  III T×m vÞ trÝ . . . (1,0 ®iÓm) 0,25 S H I O B A M   k 2 4 0,25 http://ductam_tp.violet.vn/ Tø gi¸c IHMO néi tiÕp nªn SH.SM = SI.SO mµ OS = R 3 , SI = 2R , 3 SO 2  OM 2  2 R  SH = R hay H lµ trung ®iÓm cña SM SM = Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H lªn mp(MAB) th× HK = 0,25 1 3 SO= R, 2 2 (kh«ng ®æi)  VBAHM lín nhÊt khi dt(  MAB) lín nhÊt  M lµ ®iÓm gi÷a cña cung AB 3 3 Khi ®ã VBAHM= R (®vtt) 6 0,25 0,5 IV TÝnh tÝch ph©n . . . (1,0 ®iÓm) §Æt u = x+ 1  x2 th× u - x= 1  x2  x 2  2ux  u 2  1  x 2 x u2 1 1 1   dx   1  2  du 2u 2 u  §æi cËn x= - 1 th× u = 2 -1 x = 1 th× u = 2 +1 1 1  1  2  du  1 2 u  I    1 u 2 2 1 2 1 C©u V (1,0 ®iÓm) 2 1 du 1  1 u  2 2 1 2 1 du 1  1 u  2 2 1 2 1 du (1  u )u 2 2 1  0,25 2 1 1   1 1  2   du u u u 1  2 1  0,25 =1 §Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã 0,25 0,25 = 1 2 0,25  a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)  (a+b)ab, do a+b>0 vµ a2+b2-ab  ab  a3 + b3+1  (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0  1 1  3 a  b  1 ab  a  b  c  0,5 3 T¬ng tù ta cã 1 1  , 3 b  c  1 bc  a  b  c  3 1 1  3 c  a  1 ca  a  b  c  3 Céng theo vÕ ta cã 1 1 1 1 1 1   = 3 + 3 3 + 3 3 x  y 1 y  z  1 z  x 1 a  b 1 b  c  1 c  a3 1  1 1 1 1   1   = c  a  b  1   a  b  c   ab bc ca   a  b  c  DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1 VI. a T×m täa ®é . . . 0,25 http://ductam_tp.violet.vn/ (1,0 ®iÓm) Ta cã: AB = 2 , M = ( 5 ;  5 ), pt AB: x – y – 5 = 0 2 2 3 1 3 S ABC = d(C, AB).AB =  d(C, AB)= 2 2 2 Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)=  d(G, AB)= t  (3t  8)  5 2 = 0,25 1 2 1  t = 1 hoÆc t = 2 2 0,5 0,25  G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)   Mµ CM  3GM  C = (-2; 10) hoÆc C = (1; -4) VII. a Tõ c¸c ch÷ sè . . . (1,0 ®iÓm) Gäi sè cã 6 ch÷ sè lµ abcdef NÕu a = 7 th× cã 7 c¸ch chän b, 6 c¸ch chän c, 5 c¸ch chän d, 4 c¸ch chän e, 3 c¸ch chän f. ë ®©y cã 7.6.5.4.3 = 2520sè NÕu b = 7 th× cã 6 c¸ch chän a, 6 c¸ch chän c, 5 c¸ch chän d, 4 c¸ch chän e, 3 c¸ch chän f. ë ®©y cã 6.6.5.4.3 = 2160sè T¬ng tù víi c, d, e, f VËy tÊt c¶ cã 2520+5.2160 = 13320 sè 0,25 0,5 0,25 VIII. a T×m a ®Ó . . . (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn: ax + a > 0 Bpt t¬ng ®¬ng x 2  1  a ( x  1) NÕu a>0 th× x +1 >0.Ta cã x2 1 a x 1 NÕu a<0 th× x +1 <0.Ta cã x2 1 a x 1 0,25 2 XÐt hµm sè y = y’ = x 1 víi x  - 1 x 1 x 1 ( x  1)2 x 2  1 x - y’ -1 =0 khi x=1 0,25 -1 || + - y - + 1 0 + 1 2 2 0,25 a> 2 hoÆc a < - 1 2 0,25 VI. b Chøng minh . . . (1,0 ®iÓm) Gäi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2) TiÕp tuyÕn t¹i A cã d¹ng xx1 yy1  1 4 3 0,25 http://ductam_tp.violet.vn/ TiÕp tuyÕn ®i qua M nªn x0 x1 y0 y1  1 4 3 (1) Ta thÊy täa ®é cña A vµ B ®Òu tháa m·n (1) nªn ®êng th¼ng AB cã pt xx0 yy0   1 do M thuéc  nªn 3x0 + 4y0 =12  4y0 =12-3x0 4 3 4 xx0 4 yy0 4 xx0 y (12  3 x0 )  4  4  4 3 4 3 Gäi F(x;y) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ AB ®i qua víi mäi M th× (x- y)x0 + 4y – 4 = 0  0,5  x  y 0 y 1  4 y 40  x 1 VËy AB lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh F(1;1) 0,25 VII. b T×m tËp hîp . . . (1,0 ®iÓm) y = kx + 1 c¾t (C): y  x2  4x  3 . Ta cã pt x2 x2  4x  3 = kx + 1 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt  k  1 x2 0,25 Trung ®iÓm I cña AB cã täa ®é tháa m·n  x 2k 3 2 x2  5x  2  2k  2  y   y kx1 2x  2  0,5 VËy quÜ tÝch cÇn t×m lµ ®êng cong y  2 x 2  5x  2 2x  2 0,25 Gi¶i ph¬ng tr×nh . . . VIII. b (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn : x>0 §Æt   3 1 log 2 x =u,   3 1 log 2 x  v ta cã pt u +uv2 = 1 + u2 v2  (uv2-1)(u – 1) = 0   u 21 . . . x =1  uv 1 0,25 0,5 0,25