ĐỀ THI THỬ ĐH 2011.pdf (tài liệu luyện thi đại học)

www.VNMATH.com TRƯỜNG THPT PHAN ðÌNH PHÙNG HÀ NỘI __________ ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC NĂM 2011 MÔN THI: TOÁN – KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu I (2 ñiểm) có ñồ thị (C) Cho hàm số: y = x3 – 6x2 + 9x – 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m ñể phương trình: e3t – 2.e2t + ln3 + et + ln9 + m = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt thuộc (–ln2; +∞). Câu II (2 ñiểm). Giải phương trình: 1) sinx(1+2cos2x) + 3 cos3x = 2(cos4x + sin3x) 2) 2x + 4 − 2 2 − x = 6x − 4 x2 + 4 Câu III. (1,0 ñiểm) 2π TÝnh I= ∫( 0 x 1 + cos x − x cos )dx 2 Câu IV. (1,0 ñiểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a,ñỉnh A’ cách ñều A,B,C và cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600. Gọi I là trung ñiểm cạnh BC. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ . b) Tính khoảng cách giữa AI và BA’. Câu V. (1,0 ñiểm)  a , b, c > 0  abc = 1 Cho ba sè a, b, c sao cho  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = bc ac ab + 2 + 2 a (b + c ) b ( a + c ) c (b + a ) 2 www.VNMATH.com B. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần a, hoặc b). a.Theo chương trình chuẩn: C©u VI.a (2 ®iÓm) 1) Cho hai ®−êng trßn: (C1): x2+y2-2x-2y-2=0; (C2): x2+y2-8x-2y+16=0 . Gäi I, K lÇn l−ît lµ t©m cña (C1) vµ (C2) ; M lµ ®iÓm tiÕp xóc gi÷a (C1) vµ (C2). Gäi d lµ tiÕp tuyÕn chung kh«ng ®i qua M cña (C1) vµ (C2). d c¾t ®−êng th¼ng IK t¹i A. LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®−êng kÝnh AM. 2)Trong kh«ng gian (Oxyz) cho hai ®iÓm A(0;0;-3); B(2;0;-1) và mặt cầu (S) :(x-2)2+(y+1)2+z2=10. Hãy tìm trên (S) ñiểm C sao cho ABC là tam giác ñều. C©u VII.a (1 ®iÓm) Khai triển và rút gọn biểu thức : P ( x) = 1 − x + 2(1 − x) 2 + ... + n(1 − x) n , n ∈ N * thu ñược ña thức P( x) = a 0 + a1 x + ... + a n x n . Tính hệ số a8 biết n thoả mãn: 1 7 1 + 3 = . 2 Cn Cn n b.Theo chương trình nâng cao: Câu VIb. (2 ®iÓm) 1)Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, xét elíp (E ) ñi qua ñiểm M (−2; − 3) và có phương trình một ñường chuẩn là x + 8 = 0. Viết phương trình chính tắc của (E ). 2)Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz, cho các ñiểm A(1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 3; 2) và mặt phẳng (α ) : x + 2 y + 2 = 0. Tìm toạ ñộ của ñiểm M biết rằng M cách ñều các ñiểm A, B, C và mặt phẳng (α ). Câu VIIb. (1,0 ñiểm) Cho n là số tự nhiên, n ≥ 2.Tính n S = ∑ k 2Cnk 2k = 12.Cn1 .2 + 22.Cn2 .22 + ... + n 2 .Cnn .2n k =1 …………..Hết………… www.VNMATH.com ðáp án ðề thi thử ñại học khối A năm 2011 Câu I ðáp án ðiểm 1 * Tập xác ñịnh: R * Sự biến thiên - Chiều biến thiên y’ = 3x2 – 12x + 9 y’ = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3 - Hàm ñồng biến trên mỗi khoảng (–∞; 1) và (3; +∞) Hàm nghịch biến trên khoảng (1; 3) - Cực trị: Hàm số ñạt tới cực ñại tại x = 1, ycñ = 2 Hàm số ñạt tới cực tiểu tại x = 3, yct = –2 lim y = +∞ - Giới hạn: lim y = −∞ ; x → −∞ - Bảng biến thiên x –∞ y’ y 1 ñiểm 0,25 0,25 x → +∞ + 1 0 2 3 0 – 0,25 + +∞ –2 –∞ * ðồ thị Tâm ñối xứng I(2; 0) ðiểm phụ x=4 y=2 x = 0, y = -2 1 9 x= y= 8 2 +∞ 0,25 y 2 0 1 2 3 4 x -2 2. (1) ⇔ e3t – 6e2t + 9et + m = 0 1 ñiểm 1 www.VNMATH.com ðặt x = et > 0 ta ñược (1) trở thành 0,25 3 2 x – 6x + 9x + m = 0 ⇔ x3 – 6x2 + 9x – 2 = – m – 2 (2) Ta có phương trình (2) là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị 0,25 (C) và ñường thẳng (d): y = –m – 2 ⇒ số nghiệm của (2) chính là số giao ñiểm của (C) và d. Mỗi nghiệm t ∈ (–ln2; +∞) của phương trình (1) cho một nghiệm x ∈ 0,25 1 2 ( ; +∞) của phương trình (2) và ngược lại. Do ñó (1) có 3 nghiệm phân biệt ∈ (–ln2; +∞) 1 ⇔ (2) có 3 nghiệm x ∈ ( ; +∞) 2 1 (2) có 3 nghiệm x ∈ ( ; +∞) khi d cắt (C) tại 3 ñiểm có hoành ñộ 2 1 1 9 thuộc khoảng ( ; +∞) , f( ) = 8 2 2 9 Dựa vào ñồ thị < –m – 2 < 2 8 25 –4 < m < – 8 II 1. Phương trình ⇔ sinx(1 – 2sin2x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x ⇔ sinxcos2x + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x ⇔ sin3x + 3 cos3x = 2cos4x 1 3 ⇔ sin3x + cos3x = cos4x 2 2 π ⇔ cos(3x – ) = cos4x 6 π π ⇔ 3x – = 4x + k2π x = – + k2π 6 6 π π 2π 3x – = –4x + k2π x= +k (k ∈ z) 6 42 7 2. ðiều kiện –2 ≤ x ≤ 2 Phương trình ñã cho tương ñương với 2x + 4 − 2 2 − x 2x + 4 + 2 2 − x 6x − 4 = 2x + 4 + 2 2 − x x2 + 4 ( )( 0,25 1 ñiểm 0,25 0,25 0,25 0,25 1 ñiểm 0,25 ) 2 www.VNMATH.com ⇔ ⇔ 6x − 4 6x − 4 = 2x + 4 + 2 2 − x x2 + 4 0,25 ⇒ x= 6x – 4 = 0 2 3 2 x + 4 + 2 2 − x = x 2 + 4 (1) (1) ⇔ 2x + 4 + 4(2 – x) + 4 2 x + 4. 2 − x = x2 + 4 ( ) ⇔ 4 2 x + 4. 2 − x – ( x2 + 2x – 8) = 0 ⇔ 4 2 x + 4 . 2 − x – ( x – 2) (x + 4) = 0 ⇒ 2 − x 4 2 x + 4 + ( x + 4) 2 − x = 0 ⇒ x =2 4 2 x + 4 + ( x + 4) 2 − x = 0 ( 0,25 ) 0,25 Với x ∈ [-2; 2]: 4 2 x + 4 + ( x + 4) 2 − x > 0 ⇒ x=2 ðáp số: Phương trình có 2 nghiệm x = Câu III 2 , x=2 3 ðáp án ðiểm 1 1 ñiểm 2π I= 2π ∫ 1 + cos xdx − 0 x ∫ x cos 2dx = I 1 − I2 0,25 0 2π I1 = 2 ∫ 0 π x x cos dx = 2( ∫ cos dx − 2 2 0 2π I 2 = ∫ 2 xd sin 0 I = 4 2 +8 x = ... = −8 2 2π x ∫ cos 2 dx) = 4 π 2 0,25 0,25 0,25 3 www.VNMATH.com IV V a) -Gọi O là tâm ñáy ABC, cm A’O ⊥(ABC), a 3 . 3=a tính A’O=OA.tan600= 3 a2 3 a3 3 .a = => V ABC . A'B 'C ' = 4 4 b) Kẻ Bx//IA ; OK⊥Bx; OH⊥A’K. Chứng minh OH⊥IA và d(IA;BA’)=OH -Xét tam giác vuông A’OK: 1 1 1 4 1 5 = + = 2+ 2 = 2 2 2 2 OH OK OA' a a a a ⇒ d ( IA; BA' ) = 5 §Æt x = 0,25 0,25 0,25 0,25 1 1 1 , y = , z = . Khi ®ã: a b c Do abc = 1 ⇒ xyz = 1 nªn ta cã A = x2 y2 z2 + + y+z z+x x+ y (1) 0,25 Aps dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho c¸c sè d−¬ng ta cã: 3 x2 y2 z2 x+ y+ z 33 A= + + ≥ ≥ xyz = 2 2 2 y+z z+x x+ y 0,25 0,25 DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z = 1. VËy minA = 3 khi a = b = c =1 . 2 0,25 Câu B. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) VI.a 1 I(1;1); R=2; K(4;1), R’=1; Ph−¬ng tr×nh IK: y=1. A∈IK => A(a ;1). AK R ' 1 = = ⇒ AI = 2 AK ⇒ A(7;1) AI R 2 T×m täa ®é ®iÓm M(3;1) ⇒ Ph−¬ng tr×nh (AM) : (x-5)2+ (y-1)2 = 4 0,25 0,25 0,25 y 0,25 x 4 www.VNMATH.com 2 VII.a  x 2 + y 2 + ( z + 3) 2 = 8 (1)  Gäi C(x;y;z) => ( x − 2)2 + y 2 + ( z + 1) 2 = 8 (2) ( x − 2)2 + ( y + 1) 2 + z 2 = 10 (3)  (2)-(3): 2z - 2y= - 2 => y= z + 1 (1)-(2) : 4x + 4z + 4 = 0 => x = -z - 1. Thay vµo (1) => 3z2 + 10z + 3=0 => z = -3 − 2 2 −1 hoÆc z = -1/3 => C (2;−2;−3); C ' ( ; ; ) 3 3 3 n ≥ 3 1 7 1 Ta cã 2 + 3 = ⇔  2 7.3! 1 Cn Cn n  n(n − 1) + n(n − 1)(n − 2) = n  0,25 0,25 0,25 0,25 §ã lµ 8.C88 + 9.C98 = 89. 0,25 1.- Gäi ph−¬ng tr×nh ( E ) : x2 y 2 + =1 a2 b2 ( a > b > 0) . 9 4 (1)  a 2 + b 2 = 1 - Gi¶ thiÕt ⇔  2 a = 8 ( 2)  c Ta cã (2) ⇔ a 2 = 8c ⇒ b 2 = a 2 − c 2 = 8c − c 2 = c(8 − c). Thay vµo (1) ta ®−îc 0,25 0,25 n ≥ 3 ⇔ n = 9. ⇔ 2 n − 5n − 36 = 0 Suy ra a8 lµ hÖ sè cña x8 trong biÓu thøc 8(1 − x)8 + 9(1 − x)9 . VI.b 1 0,25 0,25 4 9 + =1. 8c c(8 − c) 0,25 c = 2 ⇔ 2c − 17c + 26 = 0 ⇔  13 c =  2 2 2 x y * NÕu c = 2 th× a 2 = 16, b 2 = 12 ⇒ ( E ) : + = 1. 16 12 13 39 x2 y2 2 2 * NÕu c = th× a = 52, b = ⇒ ( E ) : + = 1. 2 4 52 39 / 4 2 0,25 0,25 Gi¶ sö M ( x0 ; y0 ; z0 ) . Khi ®ã tõ gi¶ thiÕt suy ra ( x0 − 1) 2 + y02 + z02 = x02 + ( y0 − 1) 2 + z02 = x02 + ( y0 − 3) 2 + ( z0 − 2) 2 = x0 + 2 y0 + 2 5 0,25 2 5 www.VNMATH.com  ( x0 − 1) 2 + y02 + z02 = x02 + ( y0 − 1) 2 + z02  ⇔  x02 + ( y0 − 1) 2 + z02 = x02 + ( y0 − 3) 2 + ( z0 − 2) 2  2 ( x0 − 1) 2 + y02 + z02 = ( x0 + 2 y0 + 2)  5 y = x Tõ (1) vµ (2) suy ra  0 0  z0 = 3 − x0 (1) ( 2) 0,25 (3) 0,25 Thay vµo (3) ta ®−îc 5(3x02 − 8 x0 + 10) = (3x0 + 2) 2 0,25  x0 = 1  M (1; 1; 2)  ⇔ ⇒  23 23 14  x0 = 23  M ( ; ; − ). 3 3 3 3   VII.b n 0,25 S = ∑ k 2Cnk 2k = 12.Cn1 .2 + 22.Cn2 .22 + ... + n 2 .Cnn .2n k =1 n n k =1 k =1 = ∑ k (k − 1)Cnk 2k + ∑ kCnk 2k Xét khai triển n (1+x)n= ∑ Cnk x k k =0 n ∑ kC +) n(1+x)n-1= k n 0,25 x k −1 , lấy x=2 ta ñược k =1 n n n.3n-1= ∑ kCnk 2k −1 ⇔ 2n.3n-1= ∑ kCnk 2k k =1 k =1 n-2 +) n(n-1)(1+x) n = ∑ k (k − 1)C x k n 0,25 k −2 , lấy x=2 ta ñược k =2 n n(n-1)3 = ∑ k (k − 1)C 2 n-2 k n k =2 k −2 0,25 n ⇔ 4n(n-1)3 = ∑ k (k − 1)C 2 n-2 k n k k =2 n-2 Vậy S=n.3 (2+4n) 6

ĐỀ THI THỬ ĐH 2011

Nội dung