Nội dung

Nguồn: diemthi.24h.com.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012-2013 Đề Số 3 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) 2x  1 x 1 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2. Câu II (2 điểm) 17 x  1) Giải phương trình sin(2x  )  16  2 3.s inx cos x  20 sin 2 (  ) 2 2 12 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y  4 3 2 2 x  x y  x y  1 2) Giải hệ phương trình :  3 2 x y  x  xy  1  4 Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I =  0 tan x .ln(cos x ) dx cos x Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh S. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) . Câu V: (1 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a b b c c a   3 ab  c bc  a ca  b PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng  : 2x + 3y + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng  sao cho đường thẳng AB và  hợp với nhau góc 0 45 . Câu VII.a (1 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) x y 1 z x y 1 z  4 và hai đường thẳng (d ) :   và (d ') :   1 2 3 1 2 5 Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. Câu VIII.a (1 điểm) Giải phương trình: log x (24x 1) 2 x  logx 2 (24x 1) x 2  log (24x 1) x Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1 điểm) Điểm thi 24h Xem tra điểm thi tốt nghiệp THPT Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông các năm Đề thi đáp án tốt nghiệp THPT Xem tra đáp án đề thi tốt nghiệp THPT Nguồn: diemthi.24h.com.vn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : x 2  y 2  1 , đường thẳng (d ) : x  y  m  0 . Tìm m để (C ) cắt (d ) tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất. Câu VII.b (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0 x2 y 1 z và đường thẳng 1 : = = . Gọi  2 là giao tuyến của (P) và (Q). 2 1 3 Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng 1 ,  2 . Câu VIII.b (1 điểm) Giải bất phương trình: logx( log3( 9x – 72 ))  1 ----------Hết---------- Điểm thi 24h Xem tra điểm thi tốt nghiệp THPT Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông các năm Đề thi đáp án tốt nghiệp THPT Xem tra đáp án đề thi tốt nghiệp THPT Nguồn: diemthi.24h.com.vn Câu - ý 1.1 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Nội dung *Tập xác định : D  \ 1 *Tính y '  Điểm 0.25 1  0 x  D (x  1)2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng (;1) và (1; ) *Hàm số không có cực trị *Giới hạn Lim y   Lim y   x 1 1.2 0.25 x 1 Lim y  2 Lim y  2 x  x  Đồ thị có tiệm cận đứng :x=1 , tiệm cận ngang y=2 *Bảng biến thiên *Vẽ đồ thị *Tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x 0 ; f (x 0 ))  (C ) có phương trình y  f '(x 0 )(x  x 0 )  f (x 0 ) Hay x  (x 0  1) 2 y  2x 0 2  2x 0  1  0 (*) 0.25 0.25 *Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2  2x 0   2 1  (x 0  1) 4 2.1 0.25 2 0.25 giải được nghiệm x 0  0 và x 0  2 0.25 *Các tiếp tuyến cần tìm : x  y  1  0 và x  y  5  0 0.25 *Biến đổi phương trình đã cho tương đương với  c os2x  3 sin 2x  10c os(x  )  6  0 6    c os(2x  )  5c os(x  )  3  0 3 6    2c os 2 (x  )  5c os(x  )  2  0 6 6  1  Giải được c os(x  )   và c os(x  )  2 (loại) 6 2 6  1  5 *Giải c os(x  )   được nghiệm x   k 2 và x    k 2 6 2 2 6 Điểm thi 24h Xem tra điểm thi tốt nghiệp THPT Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông các năm 0.25 0.25 0.25 0.25 Đề thi đáp án tốt nghiệp THPT Xem tra đáp án đề thi tốt nghiệp THPT Nguồn: diemthi.24h.com.vn 2.2 3 (x 2  xy )2  1  x 3y *Biến đổi hệ tương đương với  3 2 x y  (x  xy )  1 x 2  xy  u u 2  1  v *Đặt ẩn phụ  3 , ta được hệ  x y  v v  u  1 *Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;0) và (-2;-3) 0.25 *Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0) *Đặt t=cosx 1  Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 thì t=1 , x  thì t  4 2 0.25 1 2 Từ đó I    1 ln t dt  t2 1 dt t2 1 1 Suy ra I   ln t 1  t 2 1  1 2 *Kết quả 4 I  2 1  0.25 0.25 ln t dt t2 1 1  d u  d t ;v   t t *Đặt u  ln t ;dv  0.25 1 1 2 1 1 t 2 d t   2 ln 2  t 1 2 2 0.25 1 2 ln 2 2 0.25 *Vẽ hình *Gọi H là trung điểm BC , chứng minh S H  (A B C ) *Xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) , (SAC) với mặt đáy là SEH  SFH  600 *Kẻ H K  S B , lập luận suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng H K A . a 2 a 3 *Lập luận và tính được AC=AB=a , H A  , SH  H F tan 600  2 2 1 1 1 3 *Tam giác SHK vuông tại H có    K H a 2 2 2 HK HS HB 10 a 2 AH 20 *Tam giác AHK vuông tại H có tan A K H   2  KH 3 3 a 10 3  cos A K H  23 Điểm thi 24h Xem tra điểm thi tốt nghiệp THPT Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông các năm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Đề thi đáp án tốt nghiệp THPT Xem tra đáp án đề thi tốt nghiệp THPT Nguồn: diemthi.24h.com.vn 5 a b 1c 1c   ab  c ab  1  b  a (1  a )(1  b ) 1c 1b 1a *Từ đó V T    (1  a )(1  b ) (1  c )(1  a ) (1  c )(1  b ) Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương *áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được *Biến đổi V T  3. 3 1c 1 b 1a . . =3 (đpcm) (1  a )(1  b ) (1  c )(1  a ) (1  c )(1  b ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  6.a 7.a 8.a 15 3 t   13 13 32 4 22 32 *Các điểm cần tìm là A 1 ( ; ), A 2 ( ;  ) 13 13 13 13  *(d) đi qua M 1 (0; 1; 0) và có vtcp u 1  (1; 2; 3)  (d’) đi qua M 2 (0;1; 4) và có vtcp u 2  (1; 2;5)     *Ta có u 1 ; u 2   (4; 8; 4)  O , M 1M 2  (0; 2; 4)    Xét u 1 ; u 2  .M 1M 2  16  14  0  (d) và (d’) đồng phẳng .  *Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) => (P) có vtpt n  (1; 2; 1) và đi qua M1 nên có phương trình x  2y  z  2  0 *Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm *Điều kiện :x>0 *TH1 : xét x=1 là nghiệm *TH2 : xét x  1 , biến đổi phương trình tương đương với 1 2 1   1  2logx (24x  1) 2  logx (24x  1) logx (24x  1) Đặt logx (x  1)  t , ta được phương trình 1 2 1   giải được t=1 và t=-2/3 1  2t 2  t t Điểm thi 24h Xem tra điểm thi tốt nghiệp THPT Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông các năm 0.25 0.25 0.25 1 3  x  1  3t *  có phương trình tham số  và có vtcp u  (3; 2) y  2  2t *A thuộc   A (1  3t ; 2  2t )   A B .u     1 1 *Ta có (AB;  )=450  c os(A B ; u )     2 2 AB.u  169t 2  156t  45  0  t  0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Đề thi đáp án tốt nghiệp THPT Xem tra đáp án đề thi tốt nghiệp THPT Nguồn: diemthi.24h.com.vn *Với t=1  logx (x  1)  1 phương trình này vô nghiệm 2 *Với t=-2/3  logx (x  1)   3 2 3  x .(24x  1)  1 (*) 1 Nhận thấy x  là nghiệm của (*) 8 1 Nếu x  thì VT(*)>1 8 1 1 Nếu x  thì VT(*)<1 , vậy (*) có nghiệm duy nhất x  8 8 *Kết luận : Các nghiệm của phương trình đã cho là x=1 và x  6.b 1 8 *(C) có tâm O(0;0) , bán kính R=1 *(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt  d (O ;d )  1 1 1 1 *Ta có S O A B  O A .O B .sin A O B  .sin A O B  2 2 2 Từ đó diện tích tam giác AOB lớn nhất khi và chỉ khi A O B  900  d (I ;d )  7.b 0.25 1  m  1 2 0.25 0.25 0.25 0.25 x  2  2t  * 1 có phương trình tham số y  1  t z  3t  x  2  s  *  2 có phương trình tham số y  5  3s z  s  *Giả sử d  1  A ;d   2  B  A (2  2t ; 1  t ;3t ) B(2+s;5+3s;s)   * A B  (s  2t ;3s  t  6;s  3t ) , mf(R) có vtpt n  (1; 2; 3)   * d  (R )  A B & n cùng phương s  2t 3s  t  6 s  3t    1 2 3 23 t  24  1 1 23 *d đi qua A ( ; ; ) và có vtcp n  (1; 2; 3) 12 12 8 0.25 0.25 0.25 0.25 Điểm thi 24h Xem tra điểm thi tốt nghiệp THPT Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông các năm Đề thi đáp án tốt nghiệp THPT Xem tra đáp án đề thi tốt nghiệp THPT Nguồn: diemthi.24h.com.vn 23 1 1 z y 8 12  12  1 2 3 x => d có phương trình 8.b x  0  *Điều kiện : log 3 (9x  72)  0 giải được x  log9 73  x 9  72  0 Vì x  log9 73 >1 nên bpt đã cho tương đương với log 3 (9x  72)  x  9x  72  3x 3x  8  x x 2 3  9 *Kết luận tập nghiệm : T  (log 9 72; 2] Điểm thi 24h Xem tra điểm thi tốt nghiệp THPT Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông các năm 0.25 0.25 0.25 0.25 Đề thi đáp án tốt nghiệp THPT Xem tra đáp án đề thi tốt nghiệp THPT