Nội dung

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LẦN THỨ XVIII (2010) Đề thi môn : Đại số Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1.Cho A, B là các ma trận vuông cấp 2010 với hệ số thực sao cho det A = det ( A + B ) = det ( A + 2 B) = ... = det ( A + 2010 B) = 0 . (i) Chứng minh rằng det ( xA + yB ) = 0 với mọi x, y Î ¡ . (ii) Tìm ví dụ chứng tỏ kết luận trên không còn đúng nếu chỉ có det A = det ( A + B ) = det ( A + 2 B) = ... = det ( A + 2009 B) = 0 . Câu 2.Cho {un } , {vn } , {wn } là các dãy số được xác định bởi : u0 = v0 = w0 = 1 và "n Î ¥ , ìun +1 = -un - 7vn + 5wn , ï ívn +1 = -2un - 8vn + 6 wn , ï w = - 4u - 16v + 12 w n n n. î n+1 Chứng minh rằng vn - 2 là số nguyên chia hết cho 2n . Câu 3. (i) Chứng minh rằng ứng với mỗi số n nguyên dương,biểu thức x n + y n + z n có thể biểu diễn dưới dạng đa thức Pn ( s, p, q) bậc không quá n của các biến s = x + y + z , p = xy + yz + zx, q = xyz (ii) Hãy tìm tổng các hệ số của đa thức P2010 ( s, p, q ) Câu 4.Xác định các đa thức thực P( x) thỏa mãn điều kiện P( x) P ( x 2 ) = P( x3 + 2 x), "x Î ¡. Câu 5.Chọn một trong hai câu sau: 5a. Cho A là ma trận thực vuông,cấp n ³ 2 ,có tổng các phần tử trên đường chéo bằng 10 và rank A = 1 .Tìm đa thức đặc trưng và đa thức tối thiểu của A (đa thức tối thiểu của A là đa thức p (t ) ¹ 0 có bậc nhỏ nhất,với hệ số thực và hệ số của lũy thừa bậc cao nhât bằng 1,sao cho p ( A) = 0 ). 5b. Cho A, B, C là các ma trận thực ,vuông cấp n ,trong đó A khả nghịch và đồng thời giao hoán với B và C .Giả sử C ( A + B) = B .Chứng minh rằng B và C giao hoán với nhau. ________________________________________________________________________ Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.