Nội dung

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LẦN THỨ XVIII (2010) Đề thi môn : Giải tích Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1.Cho hàm số f ( x) = ln( x + 1) . a) Chứng minh rằng với mọi x > 0 ,tồn tại duy nhất số thực c thỏa mãn điều kiện f ( x) = xf '(c) mà ta kí hiệu là c( x) . c( x) b) Tìm lim+ . x ®0 x Câu 2.Cho dãy số {xn } được xác định bởi: x1 = 1, x n +1 = xn (1 + xn2010 ), n ³ 1 . Tìm æ x 2010 x 2010 x 2010 ö lim ç 1 + 2 + ... + n ÷ n ®¥ x3 xn+1 ø è x2 Câu 3.Cho a Î ¡ và hàm số f ( x) khả vi trên [0, ¥) thỏa mãn các điều kiện f (0) ³ 0 và f '( x) + af ( x) ³ 0, "x Î [0, ¥) . Chứng minh rằng f ( x) ³ 0, "x ³ 0 . Câu 4. Cho hàm f ( x) khả vi liên tục trên [0,1] .Giả sử rằng 1 ò 0 1 f ( x)dx = ò xf ( x )dx = 1. 0 Chứng minh rằng tồn tại c Î (0,1) sao cho f '(c) = 6 . Câu 5. Cho đa thức P( x) bậc n với hệ số thực sao cho P(-1) ¹ 0 và - P '(-1) n £ . P(-1) 2 Chứng minh rằng P( x) có ít nhất một nghiệm x0 với | x0 | ³ 1 . Câu 6. Chọn một trong hai câu sau: 6a. Tìm tất cả các hàm số dương f ( x) khả vi liên tục trên [0,1] thỏa mãn các điều kiện f (1) = ef (0) và 2 æ f '( x) ö ò0 çè f ( x) ÷ø dx £ 1 . 6b. Tìm tất cả các hàm f ( x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn các điều kiện f (1) = 2010 , f ( x + y ) = 2010 x f ( y ) + 2010 y f ( x), "x, y Î ¡ . _______________________________________________________________________ 1 Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.